量子力学讲义1

量⼦⼒学讲义1
第⼀章绪论
前⾔
⼀、量⼦⼒学的研究对象
量⼦⼒学是现代物理学的理论基础之⼀，是研究微观粒⼦运动规律的科学。

量⼦⼒学的建⽴使⼈们对物质世界的认识从宏观层次跨进了微观层次。

综观量⼦⼒学发展史可谓是群星璀璨、光彩纷呈。

它不仅极⼤地推动了原⼦物理、原⼦核物理、光学、固体材料、化学等科学理论的发展，还引发了⼈们在哲学意义上的思考。

⼆、量⼦⼒学在物理学中的地位
按照研究对象的尺⼨，物理学可分为宏观物理、微观物理和介观物理三⼤领域。

量⼦理论不仅可以正确解释微观、介观领域的物理现象，⽽且也可以正确解释宏观领域的物理现象，因为经典物理是量⼦理论在宏观下的近似。

因此，量⼦理论揭⽰了各种尺度下物理世界的运动规律。

三、量⼦⼒学产⽣的基础
旧量⼦论诞⽣于1900年，量⼦⼒学诞⽣于1925年。

1．经典理论
⼗九世纪末、⼆⼗世纪初，经典物理学已经发展到了相当完善的阶段，但在⼀些问题上经典物理学遇到了许多克服不了的困难，如⿊体辐射等。

2．旧量⼦论
旧量⼦论= 经典理论+ 特殊假设（与经典理论⽭盾）旧量⼦论没有摆脱经典的束缚，⽆法从本质上揭露微观世界的规律，有很⼤局限性。

但旧量⼦论为量⼦⼒学理论的建⽴提供了线索，促进了量⼦⼒学的快速诞⽣。

四、量⼦⼒学的研究内容
1．三个重要概念：波函数，算符，薛定格⽅程。

2．五个基本假设：波函数假设，算符假设，展开假定，薛定格⽅程，全同性原理。

五、量⼦⼒学的特征
1．抛弃了经典的决定论思想，引⼊了概率波。

⼒学量可以不连续地取值，且不确定。

2．只有改变观念，才能真正认识到量⼦⼒学的本质。

它是⼈们的认识从决定论到概率论的⼀次巨⼤的飞跃。

六、量⼦⼒学的应⽤前景
1．深⼊到诸多领域：本世纪的三⼤热门科学（⽣命科学、信息科学和材料科学）的深⼊发展都离不开它。

2．派⽣出了许多新的学科：量⼦场论、量⼦电动⼒学、量⼦电⼦学、量⼦光学、量⼦通信、量⼦化学等。

3．前沿应⽤：研制量⼦计算机已成为科学⼯作者的⽬标之⼀，⼈们期望它可以实现⼤规模的并⾏计算，并具有经典计算机⽆法⽐拟的处理信息的功能。

七、量⼦⼒学的奠基⼈
对量⼦⼒学有卓越贡献（获Nobel奖）的科学家有：
⼋、为什么要学习量⼦⼒学？
这个问题⼤致可以从五个⽅⾯来阐明。

1．量⼦⼒学是近代物理两⼤理论⽀柱之⼀，是现代物理学重要的理论基础。

量⼦⼒学的建⽴开创了物理学的新时代。

⼗九世纪末期，物理学理论⼀⽅⾯被看成是发展到了相当完善的阶段，但另⼀⽅⾯⼜在⽣产与科学实验⾯前遇到了不少严重的困难（见下⼀节内容）。

量⼦⼒学的发现在物理学史上是⼀件划时代的⼤事。

在此以前的物理学统称为经典物理学，以后的就叫做近代物理学。

⽽所谓的近代物理学，实际上可定义为需要⽤量⼦⼒学和相对论解释的物理学。

相对论的建⽴从根本上改变了⼈们原有的空间和时间的概念，指明了⽜顿⼒学的适⽤范
v ）。

⽽量⼦⼒学的建⽴，开辟了⼈们认识微观世界的道路，并围（即物体的运动速度c
由此开创了物理学的新时代。

2．微观现象必须⽤量⼦⼒学去描述。

⼤量的科学实验，如⿊体辐射、卢瑟福的散射实验、光电效应、固体在低温下的⽐热等等，彻底粉碎了⼀切想将经典物理学⽤到微观领域的企图。

解释这些微观现象必须⽤量⼦⼒学。

3．对宏观现象的研究也应⽴⾜于量⼦⼒学。

这是因为既然宏观物体是由⼤量微观粒⼦组成的，那么⼀些已知的宏观现象原则上也应该可以由微观现象的规律推导出来。

可以说，⼀切宏观理论都可以由微观量⼦理论在⼀定的近似条件下推导出来。

4．存在着宏观量⼦现象。

即使经典理论，也不能完全解决所有的宏观现象，还存在着⼤量的⽤经典理论⽆法解释
的宏观现象，这些现象往往就是量⼦⼒学现象的宏观表现。

如：超导、超流、半导体的导电⾏为、宏观量⼦隧道效应等等。

5．考研需要。

基于上述理由，可见学习量⼦⼒学是深⼊研究物理世界的必然要求。

事实上，量⼦⼒学早已成为现代物理学的基础课程之⼀，它是过渡到其它许多专门课程的预备知识。

九、主要参考书
1．量⼦⼒学（卷Ⅰ）（第三版）曾谨⾔科学出版社（2000年）
2．量⼦⼒学苏汝铿复旦⼤学出版社（1997年）
3．量⼦⼒学基础关洪⾼等教育出版社（1999年）
4．量⼦⼒学教程曾谨⾔科学出版社（2003年）
5．量⼦⼒学习题精选与剖析钱伯初，曾谨⾔科学出版社
§1-1 经典物理学的困难
⼀、⿊体辐射问题——普朗克公式
到了⼗九世纪末，⼈们已认识到热辐射与光辐射都是电磁波。

于是，开始研究辐射能量在不同频率（波长）范围中的分布问题，特别是对⿊体辐射进⾏了较深⼊的理论和实验研究。

热辐射：任何物体都不停地向周围辐射电磁波。

⿊体：能全部吸收辐射在它上⾯的电磁波⽽⽆反射的物体。

辐射平衡：⿊体在单位时间内单位⾯积上吸收的电磁波
能量与辐射的电磁波能量相等。

⿊体处于热辐射平衡状态时，辐射能量密度随波长变化
的实验结果如图所⽰。

实验得出的平衡时辐射能量按频率（或波长）分布的曲
线只与⿊体的绝对温度有关，⽽与空腔的形状及组成的物质
⽆关。

许多⼈企图⽤经典物理学来说明这种能量分布的规律，推导与实验结果符合的能量分布公式，但都未成功。

（1）1894年，维恩（Wien ）分析了实验数据从热⼒学得出⼀个经验公式，即维恩公式
νννρννd e c d T c 3/12
-= 其中1c 、2c 是两个经验参数，T 为平衡时的温度。

结果表明：公式与实验曲线在⾼频部分符合，但在低频部分不符合。

（2）1900年，瑞利（Rayleigh ）和⾦斯（Jeans ）根据经典电动⼒学和统计物理学，得出了⼀个⿊体辐射能量公式，即瑞利—⾦斯公式：
ννπνρνd c
kT d 238= 其中c 为光速，k 为玻⽿兹曼常数。

结果表明，此公式在低频部分与实验⽐较符合，但当
∞→ν时，∞→νρ是发散的，与实验明显不符（即所谓的“紫外发散灾难”
）。

（3）1900年，普朗克（Planck ）在瑞利——⾦斯公式和
维恩公式的基础上，进⼀步分析了实验曲线，得到了⼀个很
好的经验公式，即有名的普朗克公式：
νννρννd e c d T c 1
/312-=
显然，维恩公式和瑞利-⾦斯公式是普朗克公式的极限情况：
①当ν→∞时（⾼频区）
22//1c T c T e e νν-= νννρννd e c d T c 3/12-=
②当0ν→时（低频区）
2/2211/1/c T e c T c T ννν-=+-= 321122
c T
d c d T d c c νρνννννν== 普朗克提出这个公式后，许多实验物理学家⽤它来分析当时最精确的实验数据，发现符合得很好。

于是，⼈们开始认识到，这绝⾮偶然的巧合，在这公式中⼀定蕴藏着⼀个⾮常重要、但尚未被⼈们揭⽰出的科学原理。

这就是有名的⿊体辐射问题。

⼆、光电效应问题
1888年，赫兹（Hertz ）发现了光电效应，但对其机制
还不清楚。

直到1897年，汤姆逊（Thomson ）通过⽓体放
电现象及阴极射线的研究发现了电⼦，才认识到：“这是由
于紫外线照射，⼤量电⼦从⾦属表⾯逸出的现象。

”经过实
验研究，发现光电效应呈现下列⼏个特点：
（1）对于⼀定的⾦属材料做成的电极，有⼀个确定的
临界频率0ν，当照射光频率0νν<时，⽆论光的强度多⼤，
都不会观测到光电⼦从电极逸出。

（2）每个光电⼦的能量只与照射光的频率ν有关（呈线性关系），⽽与光强度⽆关。

光强度只影响到光电流的强度。

（3）当⼊射光频率0νν>时，不管光多微弱，只要光⼀照上，⼏乎⽴即观测到光电⼦。

这与经典电磁理论计算结果很不⼀致。

⽤经典物理的受迫理论⽆法解释以上实验结果。

三、原⼦的线状光谱及规律问题
到⼗九世纪中叶，由于光谱分析积累了相当丰富的资料，不少⼈对它们进⾏了整理与分析。

1885年，巴⽿末发现：氢原⼦可见光谱线的波数ν
~具有下列规律 ??? ??-=2212
1~n R ν =n 3、4、5、… 其中R 为⾥德堡常数。

巴⽿末公式与观测结果的惊⼈符合，引起了光谱学家的注意。

1908年，⾥兹（Ritz ）给出了更普遍的结合原则：每⼀种原⼦都有它特有的⼀系列光谱项)(n T ，⽽原⼦发出的光谱线的波数ν~总可以表成两个光谱项之差： )()(~n T m T m n
-=ν其中m 、n 是某些整数。

于是，⼈们⾃然会问：原⼦的分⽴的线状光谱产⽣的机制是什么？这些谱线的波长（数）为什么有这样简单的规律？光谱项的本质⼜是什么？……
四、原⼦结构问题
1911年，卢瑟福⽤α粒⼦去轰击原⼦的实验，导致了今天众所周知的“原⼦有核模型”，即原⼦是由原⼦核和核外⾼速运动着的电⼦组成的。

由于电⼦在原⼦核外作加速运动，⽽按经典电动⼒学的理论可知，加速运动的带电粒⼦将不断辐射电磁波⽽丧⽣能量。

因此，围绕原⼦核外运动的电⼦，终究会因⼤量丧失能量⽽
“掉到”原⼦核中去，这样，原⼦也就“塌缩”了；⽽且在“塌缩”的过程中，能量是连续
减⼩的，所以应辐射连续光谱。

但实际上，原⼦是稳定的，⽽且辐射线状光谱。

现实与理论的⽭盾⼗分尖锐地摆在⾯前，如何解决这个问题便成了⼴⼤科学家⼗分关注的问题。

五、固体与分⼦的⽐热问题
固体中每个原⼦在其平衡位置附近作⼩振动，可以看成是具有三个⾃由度的粒⼦。

按照
经典统计⼒学，其平均动能与平均势能均为kT
21，总能量为kT 3。

因此，⼀摩尔固体物质的平均热能为
RT NkT 33=（N 为阿伏加德罗常数，R 为⽓体普适常
数），因⽽，固体的定容⽐热为
324.9J /K mol V C R ==?
这就是杜隆——珀替经验定律。

但后来实验发现，在极低温下，固体⽐热都趋于0，如图所⽰。

这是为什么呢？此外，若考虑到原⼦由原⼦核与若⼲电⼦组成，为什么原⼦核与电⼦的这样多⾃由度对固体⽐热都没有贡献？
多原⼦分⼦的⽐热也存在类似的问题，如：2N 、2O 、2H 、CO 等。

量⼦理论就是在解决这些⽣产实践和科学实验同经典物理的⽭盾中逐步建⽴起来的。

⼩结
⼀、前⾔
1．量⼦⼒学在物理学中的地位
2．量⼦⼒学的诞⽣及产⽣基础
3．量⼦⼒学的应⽤前景、内容及特点
4．量⼦论的奠基⼈
5．为什么要学习量⼦⼒学⼆、经典物理的困难
1．⿊体辐射问题
2．光电效应问题
3．原⼦的线状光谱及规律问题4．原⼦结构问题
5．固体与分⼦的⽐热问题。