福建省莆田市2023-2024学年高一下学期期末质量检测数学试题

莆田市2023－2024学年下学期期末质量监测
高一数学
本试卷共5页，19小题，满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在以下调查中，适合用全面调查的是（ ）
A ．调查一个班级学生的视力情况
B ．调查一批玉米种子的发芽率
C ．调查某城市居民的食品消费结构
D ．调查一批待售袋装牛奶的细菌数
2．已知向量，，则在上的投影向量为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．3．已知正四棱台的上底面边长为1，下底面边长为3，高为2，则该正四棱台的体积为（ ）
A
．
B ．
C ．13
D ．26
4．某同学坚持跑步锻炼身体，他记录了10周的跑量，将跑量数据（单位：千米）按从小到大排序如下：6，8，8，9，10，11，13，14，15，16，则这组数据的第40百分位数为（ ）
A ．7
B ．8
C ．8.5
D ．9.5
5．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，则两次的点数都是偶数的概率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．已知向量，，在坐标纸（规定小方格的边长为1）中的位置如图所示，则（
）
A ．
B ．
C ．
D ．7．设，是两个平面，，是两条直线，则下列命题为真命题的是（
）
()1,2m = ()1,0n =
m n m
n
2m 2n
133
263
136
112141
2a b c
0a b c ++=0a b c -+=20
a b c ++=20
a b c -+=αβm l
A ．若，，，则
B ．若，，，则
C ．若，，，则
D ．若，，，则8．已知点Ａ，Ｂ，Ｃ不共线，点满足，．若直线过线段的中点，则（ ）A ．B
．
C ．
D ．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．如图是一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，
，则（ ）
Ａ．B ．C ．事件与相互独立
D ．证事件与互斥
10．在棱长为6的正方体中，点为棱的中点，则（ ）
A ．
B ．平面平面
C ．平面平面
D ．平面截该正方体外接球的截面面积为11．在中，，（为常数），的最大值为12，则（ ）A ．为锐角B ．面积的最大值为8C ．D ．周长的最大值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知向量与的夹角为
，，，则___________．
13．写出满足的一个复数__________．
αβ⊥m α∥m l ⊥l β∥m α⊥l β∥m l ⊥αβ
⊥m αβ= l α∥l β∥m l
∥m α⊂l β⊂m l ∥αβ
∥,M N AM AB λ= (),AN AC μλμ=∈R
MN BC 2
λμ+=1
1
2λ
μ
+
=2λμ=1
λμ=ΩA B ()24n Ω=()12n A =()8n B =()16n A B = ()8
n AB =()23
P A B =
A B A B 1111ABCD A B C D -E 1AA 11
AC CD ⊥BDE ∥1B CD BDE ⊥11
ACC A 11B CD 24π
ABC △4BC =sin A m =m AB AC ⋅
A ABC △3
5
m =
ABC △4+a b 120︒3a = 5b = a b -=
2z z =z
14．已知是边长为3的等边三角形，空间中动点满足，且
．当平面平面时，三棱锥的体积是____________；直线与平面所成角的正弦值的最大值是____________．（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知，，，，．
（1）求的值；（2）求与的夹角．16．（本小题满分15分）
设的内角，，所对的边分别为，，．（1）证明：；（2）若，，，求．17．（本小题满分15分）
目前，国际上常用身体质量指数（缩写BMI ）来衡量人体胖瘦程度．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从该公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了50名女员工、100名男员工的体检数据，通过计算他们的BMI 值，得到女员工频数分布表和男员工频率分布直方图如下：
女员工频数分布表
BMI 值区间
合计频数
3
8
13
16
6
4
50
（1）估计样本中女员工BMI 值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）已知样本中女员工BMI 值的平均数为，方差为14.5；样本中男员工BMI 值的平均数为22.56，方差为14.8．用样本估计该公司全体员工BMI 值的方差；
（3）根据男员工频率分布直方图，比较样本中男员工BMI 值的平均数与中位数的大小．（只需写出结论，不用说明理由）
参考公式：总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，
ABC △P PA PB =PAB △PAB ⊥ABC P ABC -PC ABC ()0,0A ()4,0B ()4,3C ()0,3D 1243
AP AB AD =+ 2222PA PC PB PD ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
PA PC
ABC △A B C a b c cos cos c a B b A =+5a =3
B π
=
57cos 2c A =
+()()11
5.1112212m m c m m m m m m ⎡⎤⎡⎤---+-+=⎢⎥
⎢⎥++⎣⎦⎣⎦
[)
12,15[)
15,18[)
18,21[)
21,24[24,27）[]
27,30x x m
，；，
，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则
．
18．（本小题满分17分）
如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为棱的中点，，
，直线与所成的角的大小为．
（1）证明：平面；（2）证明：平面；（3）求二面角的正切值．19．（本小题满分17分）
数据传输包括发送与接收两个环节．在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字．发送数字1时，收到的数字是1的概率为，收到的数字是0的概率为
；发送数字0时，收到的数字是0的概率为，收到的数字是1的概率为．假设每次
数字的传输相互独立，且．（1）当时，若发送的数据为“10”，求收到的所有数字都正确的概率；
（
2）用表示收到的数字串，将中数字1的个数记为，如“1011”，则．（ⅰ）若发送的数据为：“100”，且，求；（ⅱ）若发送的数据为“1100”，求的最大值．
x 21s n y 2
2s ω2s ()()22
22212m n s m x y s s n m n ωω⎡⎤⎡⎤=
+-++-⎣
⎦⎣⎦++P ABCD -ABCD 120ABC ∠=︒E PA 4PA PB ==PD =PA BC 60︒PC ∥BDE PD ⊥ABCD E BD A --()01αα<<1α-()01ββ<<1β-3
2
αβ+=
αβ=X X ()n X X =()3n X =()()()()0:13:11P n X P n X ===β()()2P n X =。