复习笔记3 三角函数、解三角形、平面向量
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π π 5π f(x)＝2sin 3－x 的单调递减区间为[－6＋2kπ， 6
＋2kπ]，k∈Z.
π 5π 答案：[－6＋2kπ， 6 ＋2kπ]，k∈Z
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4．由于相位变换和周期变换是相对于 x 而言的，所以 处理图象变换问题时务必注意图象的变换顺序． [ 针对练 4] 要得到 y ＝ sin( － 3x) 的图象，需将 y ＝
2
sin
2
x＝sin
12 11 x－2 － . 12
2 x∈－3，1，∴当
又 sin
2 4 sin x＝－3时，取最大值9.
4 答案：9
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3．求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意 ω，A 的符 号．ω<0 时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再 求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加 2kπ 时，不要忘掉 k∈Z，所求区间一般为闭区间． [ 针对练 3] ________． 函数
2 π 即可，因而是将 y＝ 2 (cos 3x－sin 3x)向左平移12个单位．
π 答案：左 12
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5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围 内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若
π 角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)， π π 选余弦较好；若角的范围是－2，2，选正弦较好．
4．两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α± β)＝sin αcos β± cos αsin β. ②cos(α± β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α± β)＝ tan α± tan β . 1∓tan αtan β
辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)．
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(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 降幂公式 sin α＝ ，cos α＝ . 2 2
2
2tan α ③tan 2α＝ . 1－tan2α
不管 a 与 b 的大小与方向如何， 都有 λa＝λb， 此时不一定有 a＝b. 答案：①②③④⑤⑥
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8．两向量夹角的范围为 [0，π]，向量的夹角为锐角与 向量的数量积大于 0 不等价．
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[查缺补漏不可少]
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4 ∴b＝± 4，∴sin α＝± 5. 4 答案：± 5
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2．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正 弦函数、余弦函数的有界性． 1 [针对练 2] 已知 sin x＋sin y＝3，则 sin y－cos2x 的最 大值为________．
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π 答案：4
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6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可 能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A>B⇔sin A>sin B. [针对练 6] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 π a，b，c，且 a＝1，c＝ 3，A＝6，则 b＝________. csin A 3 π a c 解析： 由sin A＝sin C， 得 sin C＝ a ＝ 2 ， 得 C＝3或
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8．平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 9．平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a· a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| |＝ x2－x12＋y2－y12.
2 2 2 a ＋ c － b 17 中 得 b2 ＝ 2 a2 ， 由 余 弦 定 理 可 得 cos B ＝ ＝ 2ac
17 2 a ＋9a － 2 a 1 ＝4. 6a2
2 2
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3 1 4．若 α，β 为锐角且 cos α＝5，tan(α－β)＝－3，则 tan β ＝( ) 1 A.3 9 C.13 B．3 13 D. 9
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(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， x1x2＋y1y 2 . |a||b| x1＋y1 x2＋y2 (4)|a· b|≤|a|· |b|.
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4 4 解析：选 B 依题意得 sin α＝5，tan α＝3，tan β＝tan[α 4 1 tan α－tanα－β 3＋3 －(α－β)]＝ ＝ 4 1＝3. 1＋tan α· tanα－β 1－3×3
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6．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－ 2abcos C. b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 推论： cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ 2bc 2ac a2＋b2－c2 2ab . 7．面积公式 1 1 1 S△ABC＝2bcsin A＝2acsin B＝2absin C.
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复习笔记 3
三角函数、解三角形、平面 向量
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[基础知识要记牢] 1．三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义： 设 α 是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点 P(x， y y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角函数值的符 号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． sin α (2)同角关系：sin α＋cos α＝1，cos α＝tan α.
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5．正弦定理 a b c sin A＝sin B＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； a b c sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
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2 1 2 解析：选 A 依题意得 f(x)＝ 2 (cos xsin x－sin x)＝2
π sin2x＋4－ π 2 π π π 且当 x＝8时， sin 2x＋4 ＝sin2×8＋4＝1， 4，
π 因此函数 f(x)的图象关于直线 x＝8对称．
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[易错易混要辨明] 1．当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意 分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误． [针对练 1] 已知角 α 的终边经过点 P(－3， b) ， 且 cos α
3 ＝－5，则 sin α＝________. －3 3 3 解析：∵cos α＝－5，∴ 2 2＝－5， －3 ＋b
5 10 [针对练 5] 若 α， β 为锐角， 且 sin α＝ 5 ， sin β＝ 10 ， 则 α＋β＝________.
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解析：由题意可知 f(0)＝0，即 lg(2＋a)＝0，解得 a＝－ 1＋x 1，故 f(x)＝lg ，函数 f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义 1－x 1＋x 域中，f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数 y1＝lg(1＋x) 1－x 是增函数，函数 y2＝lg(1－x)是减函数，故 f(x)＝y1－y2 是增 函数．
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1 1 解析：∵sin x＋sin y＝3，∴sin y＝3－sin x. 1 2 又－1≤sin y≤1， ∴－1≤3－sin x≤1， 即－3≤sin x≤1， 1 2 2 ∴ sin y － cos x ＝ 3 － sin x － (1 － sin x) ＝－ 3 － sin x ＋
⑥若 λa＝λb，则 a＝b.
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解析：这六个命题都是错误的，因为对于①，当 b＝0 时，a 不一定与 c 平行；对于②，当 a＋b＝0 时，其方向任 意，它与 a、b 的方向都不相同；对于③，当 a、b 之一为零 向量时结论不成立；对于④，当 a＝0 且 b＝0 时，λ 有无数 个值；当 a＝0 但 b≠0 时，λ 不存在．对于⑤，由于两个向 量之和仍是一个向量，所以 ＝0.对于⑥，当 λ＝0 时，
2 (cos 3x－sin 3x)的图象向________平移________个单位 2· (写出其中的一种特例即可)．
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π 2 解析：y＝ 2 (cos 3x－sin 3x)＝sin4－3x＝sin－3· x－ π π π 要由 y＝sin －3 x－12 得到 y＝sin(－3x)只需对 x 加上12 12，
π f(x) ＝ 2sin 3－x 的单调递减区间为
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解析：由
π π f(x)＝2sin3－x＝－2sinx－3，
π π π 令－2＋2kπ≤x－3≤2＋2kπ， π 5π 则－6＋2kπ≤x≤ 6 ＋2kπ，k∈Z. ∴函数
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sin C 5 2 2 3．在△ABC 中，若 sin A＝3，b －a ＝2ac，则 cos B 的值 为( ) 1 A.3 1 B.2 1 C.5 1 D.4
sin C 5 2 2 解析：选 D 由sin A＝3 可得 c＝3a，代入 b －a ＝2ac
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2．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半 1 轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 sin 2θ＝( 1 A.5 2 B.5 3 C.5 ) 4 D.5
1 2sin θcos θ 解析： 选 D 依题意得 tan θ＝2， sin 2θ＝ 2 sin θ＋cos2θ ＝ 2tan θ 4 ＝ . 2 5 tan θ＋1
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[针对练 7] 下列叙述错误的是________． ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c. ②若非零向量 a 与 b 方向相同或相反，则 a＋b 与 a、b 之一的方向相同． ③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a 与 b 方向相同． ④向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa. ⑤ ＝0.
2π π π 2π π 3 .当 C＝3时，B＝2，可得 b＝2；当 C＝ 3 时，B＝6，此时 b＝1.
答案：2 或 1
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7．要特别注意零向量带来的问题：0 的模是 0，方向任 意， 并不是没有方向； 0 与任意非零向量平行； λ0＝0(λ∈R)， 而不是等于 0；0 与任意向量的数量积等于 0，即 0· a＝0； 但不说 0 与任意非零向量垂直． 当 a· b＝0 时，不一定得到 a⊥b，当 a⊥b 时，a· b＝0； a· b＝c· b，不能得到 a＝c，消去律不成立；(a· b)· c 与 a· (b· c) 不一定相等；(a· b)· c 与 c 平行，而 a· (b· c)与 a 平行．
2 2
kπ (3)诱导公式：在 2 ＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变， 符号看象限”．
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＋2kπ]，k∈Z.
π 5π 答案：[－6＋2kπ， 6 ＋2kπ]，k∈Z
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4．由于相位变换和周期变换是相对于 x 而言的，所以 处理图象变换问题时务必注意图象的变换顺序． [ 针对练 4] 要得到 y ＝ sin( － 3x) 的图象，需将 y ＝
2
sin
2
x＝sin
12 11 x－2 － . 12
2 x∈－3，1，∴当
又 sin
2 4 sin x＝－3时，取最大值9.
4 答案：9
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3．求 y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，要注意 ω，A 的符 号．ω<0 时，应先利用诱导公式将 x 的系数转化为正数后再 求解；在书写单调区间时，不能弧度和角度混用，需加 2kπ 时，不要忘掉 k∈Z，所求区间一般为闭区间． [ 针对练 3] ________． 函数
2 π 即可，因而是将 y＝ 2 (cos 3x－sin 3x)向左平移12个单位．
π 答案：左 12
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5．对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围 内是单调函数，这样，由三角函数值才可以唯一确定角，若
π 角的范围是0，2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)， π π 选余弦较好；若角的范围是－2，2，选正弦较好．
4．两组三角公式 (1)两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ①sin(α± β)＝sin αcos β± cos αsin β. ②cos(α± β)＝cos αcos β∓sin αsin β. ③tan(α± β)＝ tan α± tan β . 1∓tan αtan β
辅助角公式：asin α＋bcos α＝ a2＋b2sin(α＋φ)．
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(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 ①sin 2α＝2sin αcos α. ②cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α. 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 降幂公式 sin α＝ ，cos α＝ . 2 2
2
2tan α ③tan 2α＝ . 1－tan2α
不管 a 与 b 的大小与方向如何， 都有 λa＝λb， 此时不一定有 a＝b. 答案：①②③④⑤⑥
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8．两向量夹角的范围为 [0，π]，向量的夹角为锐角与 向量的数量积大于 0 不等价．
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4 ∴b＝± 4，∴sin α＝± 5. 4 答案：± 5
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2．在解决三角问题时，应明确正切函数的定义域，正 弦函数、余弦函数的有界性． 1 [针对练 2] 已知 sin x＋sin y＝3，则 sin y－cos2x 的最 大值为________．
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π 答案：4
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6．利用正弦定理解三角形时，注意解的个数讨论，可 能有一解、两解或无解．在△ABC 中，A>B⇔sin A>sin B. [针对练 6] 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 π a，b，c，且 a＝1，c＝ 3，A＝6，则 b＝________. csin A 3 π a c 解析： 由sin A＝sin C， 得 sin C＝ a ＝ 2 ， 得 C＝3或
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8．平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)⇔x1y2－x2y1＝0. (2)a⊥b⇔a· b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 9．平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a· a＝ x2＋y2. (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则| |＝ x2－x12＋y2－y12.
2 2 2 a ＋ c － b 17 中 得 b2 ＝ 2 a2 ， 由 余 弦 定 理 可 得 cos B ＝ ＝ 2ac
17 2 a ＋9a － 2 a 1 ＝4. 6a2
2 2
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3 1 4．若 α，β 为锐角且 cos α＝5，tan(α－β)＝－3，则 tan β ＝( ) 1 A.3 9 C.13 B．3 13 D. 9
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(3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角， x1x2＋y1y 2 . |a||b| x1＋y1 x2＋y2 (4)|a· b|≤|a|· |b|.
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4 4 解析：选 B 依题意得 sin α＝5，tan α＝3，tan β＝tan[α 4 1 tan α－tanα－β 3＋3 －(α－β)]＝ ＝ 4 1＝3. 1＋tan α· tanα－β 1－3×3
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6．余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－ 2abcos C. b2＋c2－a2 a2＋c2－b2 推论： cos A ＝ ， cos B ＝ ， cos C ＝ 2bc 2ac a2＋b2－c2 2ab . 7．面积公式 1 1 1 S△ABC＝2bcsin A＝2acsin B＝2absin C.
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[基础知识要记牢] 1．三角函数定义、同角关系与诱导公式 (1)定义： 设 α 是一个任意角， 它的终边与单位圆交于点 P(x， y y)，则 sin α＝y，cos α＝x，tan α＝x.各象限角的三角函数值的符 号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． sin α (2)同角关系：sin α＋cos α＝1，cos α＝tan α.
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5．正弦定理 a b c sin A＝sin B＝sin C＝2R(2R 为△ABC 外接圆的直径)． 变形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； a b c sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
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2 1 2 解析：选 A 依题意得 f(x)＝ 2 (cos xsin x－sin x)＝2
π sin2x＋4－ π 2 π π π 且当 x＝8时， sin 2x＋4 ＝sin2×8＋4＝1， 4，
π 因此函数 f(x)的图象关于直线 x＝8对称．
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[易错易混要辨明] 1．当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意 分情况解决，机械地使用三角函数的定义就会出现错误． [针对练 1] 已知角 α 的终边经过点 P(－3， b) ， 且 cos α
3 ＝－5，则 sin α＝________. －3 3 3 解析：∵cos α＝－5，∴ 2 2＝－5， －3 ＋b
5 10 [针对练 5] 若 α， β 为锐角， 且 sin α＝ 5 ， sin β＝ 10 ， 则 α＋β＝________.
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解析：由题意可知 f(0)＝0，即 lg(2＋a)＝0，解得 a＝－ 1＋x 1，故 f(x)＝lg ，函数 f(x)的定义域是(－1,1)，在此定义 1－x 1＋x 域中，f(x)＝lg ＝lg(1＋x)－lg(1－x)，函数 y1＝lg(1＋x) 1－x 是增函数，函数 y2＝lg(1－x)是减函数，故 f(x)＝y1－y2 是增 函数．
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1 1 解析：∵sin x＋sin y＝3，∴sin y＝3－sin x. 1 2 又－1≤sin y≤1， ∴－1≤3－sin x≤1， 即－3≤sin x≤1， 1 2 2 ∴ sin y － cos x ＝ 3 － sin x － (1 － sin x) ＝－ 3 － sin x ＋
⑥若 λa＝λb，则 a＝b.
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解析：这六个命题都是错误的，因为对于①，当 b＝0 时，a 不一定与 c 平行；对于②，当 a＋b＝0 时，其方向任 意，它与 a、b 的方向都不相同；对于③，当 a、b 之一为零 向量时结论不成立；对于④，当 a＝0 且 b＝0 时，λ 有无数 个值；当 a＝0 但 b≠0 时，λ 不存在．对于⑤，由于两个向 量之和仍是一个向量，所以 ＝0.对于⑥，当 λ＝0 时，
2 (cos 3x－sin 3x)的图象向________平移________个单位 2· (写出其中的一种特例即可)．
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π 2 解析：y＝ 2 (cos 3x－sin 3x)＝sin4－3x＝sin－3· x－ π π π 要由 y＝sin －3 x－12 得到 y＝sin(－3x)只需对 x 加上12 12，
π f(x) ＝ 2sin 3－x 的单调递减区间为
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解析：由
π π f(x)＝2sin3－x＝－2sinx－3，
π π π 令－2＋2kπ≤x－3≤2＋2kπ， π 5π 则－6＋2kπ≤x≤ 6 ＋2kπ，k∈Z. ∴函数
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sin C 5 2 2 3．在△ABC 中，若 sin A＝3，b －a ＝2ac，则 cos B 的值 为( ) 1 A.3 1 B.2 1 C.5 1 D.4
sin C 5 2 2 解析：选 D 由sin A＝3 可得 c＝3a，代入 b －a ＝2ac
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2．已知角 θ 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半 1 轴重合，终边在直线 y＝2x 上，则 sin 2θ＝( 1 A.5 2 B.5 3 C.5 ) 4 D.5
1 2sin θcos θ 解析： 选 D 依题意得 tan θ＝2， sin 2θ＝ 2 sin θ＋cos2θ ＝ 2tan θ 4 ＝ . 2 5 tan θ＋1
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[针对练 7] 下列叙述错误的是________． ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c. ②若非零向量 a 与 b 方向相同或相反，则 a＋b 与 a、b 之一的方向相同． ③|a|＋|b|＝|a＋b|⇔a 与 b 方向相同． ④向量 b 与向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ，使得 b＝λa. ⑤ ＝0.
2π π π 2π π 3 .当 C＝3时，B＝2，可得 b＝2；当 C＝ 3 时，B＝6，此时 b＝1.
答案：2 或 1
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7．要特别注意零向量带来的问题：0 的模是 0，方向任 意， 并不是没有方向； 0 与任意非零向量平行； λ0＝0(λ∈R)， 而不是等于 0；0 与任意向量的数量积等于 0，即 0· a＝0； 但不说 0 与任意非零向量垂直． 当 a· b＝0 时，不一定得到 a⊥b，当 a⊥b 时，a· b＝0； a· b＝c· b，不能得到 a＝c，消去律不成立；(a· b)· c 与 a· (b· c) 不一定相等；(a· b)· c 与 c 平行，而 a· (b· c)与 a 平行．
2 2
kπ (3)诱导公式：在 2 ＋α，k∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变， 符号看象限”．
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