浙江省金华十校2023-2024学年高三上学期11月模拟考试数学答案

金华十校2023年11月高三模拟考试

评分标准与参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

题号12345678答案

C

D

C

A

B

A

D

C

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

题号9101112答案

ABC

AC

ABD

BD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.10．

14．7π

15．

3281

16.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.解：(Ⅰ)因为sin 2A +sin 2B －sin 2C =sin A sin B ，由正弦定理可得222a b c ab +-=，

由余弦定理可得2221

cos 22

a b c C ab +-==，所以3C π=.……………………………5分

(Ⅱ)方法一：不妨取AC =1，则CD =BD =2，在△ABC 中，由余弦定理可求得

AB =

.………………………………………

6分

在△CAD 中，由余弦定理可求得

AD =………………………………………8分

在△ADB 中，由余弦定理可得

222

cos 213

DA AB DB DAB DA DB +-∠==

⋅.…………………………………………10分

方法二：不妨取AC =1，则CD =BD =2，在△CAD 与△ABC 中由余弦定理可求得

90CAD ∠= ，AB =.…………………………………………………………

8分

在△ABC 中由正弦定理可得239

sin 13

CAB ∠=

，

又因为90CAD ∠= ，所以239

cos 13

DAB ∠=

.…………………………………10分

18．解：(Ⅰ)证明：因为P A ⊥底面ABCD ，所以P A ⊥BC ，

①又因为ABCD 为正方形，所以AB ⊥BC ，②

由①②可得BC ⊥平面P AB ,所以BC ⊥AE ，

③………2分又因为P A =AB ，点E 为PB 的中点，所以PB ⊥AE .

④

由③④可得AE ⊥平面PBC ，所以AE ⊥PC .………………………………………4分同理可得AF ⊥PC ，所以PC ⊥平面AEF .……………………………………………6分(Ⅱ)如图，以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正方向，AD 为y 轴正方向，AP 为z 轴正方向，建立空间直角坐标系，设AB =2，则各点坐标分别为B (2,0,0)，D (0,2,0)，C (2,2,0)，P (0,0,2)，E (1,0,1)，F (0,1,1).

……8分

由(Ⅰ)可知PC 是平面AEF 的一个法向量，记为n 1

=(2,2,-2)，

又平面ABCD 的一个法向量为n 2=(0,0,1).……10分

所以12

12

12cos ,⋅==⋅n n n n n n 所以平面AEF 与平面ABCD .………………………………12分19.解：(Ⅰ)当n =1时，211

12

a a a +=，所以a 1=1；………………………………………1分

当n ≥2时，22n n n a a S +=且211

12

n n n a a S ---+=，两式相减并整理可得

11()(1)0n n n n a a a a --+--=.…………………………………………………………3分

因为{a n }为正项数列，所以11n n a a --=，所以a n =n.……………………………5分(Ⅱ)有(Ⅰ)可知2(1)

22

n n n n n S ++==

，P

F

E

D A

B C

x

y

z

∴

12(2)(1)(2)n n S n n n =+++11

(1)(1)(2)n n n n =-

+++，……………………7分

∴

1211111

34(2)2(1)(2)

n S S n S n n +++=-

+++ ，故

12111134(2)2n n

S S n S S λ+++>-

+ ，可化为2(2)n

n λ>+，…………………9分因为1

2(2)2n n <+恒成立，所以12

λ≥.…………………………………………

12分

20.解：(Ⅰ)零假设为：

H 0：全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联），根据列联表中的数据，计算得到

2

2100(1535545)==2.34<2.70620804060

χ⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=x 0.1，……………………………………3分

所以根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，没有充分证据推断H 0不成立，因此可以认定为H 0成立，全省火炬手性别与年龄满或未满50周岁相互独立（没有关联）.……………5分

(Ⅱ)设A 表示火炬手为男性，B 表示火炬手喜欢足球，……………………………7分

则：()(|)()0.3636

(|)=

===()0.4343

(|)()(|)()P AB P B A P A P A B P B P B A P A P B A P A +，所以这位火炬手是男性的概率约为

36

43

.……………………………………………12分21.解：(Ⅰ)双曲线C 的渐近线方程为y x =.……………………………………………3分

(Ⅱ)设直线AB 方程为x =ty +2，代入双曲线22

:122x y C -=程中，

化简可得：(t 2−1)y 2+4ty +2=0，则12241t y y t -+=-，1222

1y y t =-.

∴线段AB 中点S 的坐标为222211t t t --⎛⎫

⎪--⎝⎭

，，

直线ST 方程为22

2211t y t x t t ⎛

⎫+

=-+ ⎪--⎝⎭

.…………………………………………6分(ⅰ)当t =0时，S 点恰好为焦点F ，此时存在点T 使得80

9

TS TB ⋅= .

此时直线AB 方程为x =2.………………………………………………………………7分