微专题12 导数解答题之证明不等式问题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分(原卷版

微专题12 导数解答题之证明不等式问题
【秒杀总结】
利用导数证明不等式问题，方法如下：
（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或
()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；
（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；
（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数. （4）对数单身狗，指数找基友
（5）凹凸反转，转化为最值问题 （6）同构变形 【典型例题】
例1．（2024·高三·北京·开学考试）已知()()1e ,0kx
f x x k =+≠.
(1)若1k =，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求()g x 的单调区间；
(3)求证：当0k >时，()()()(),0,,1m n f m n f m f n ∞∀∈+++>+.
例2．（2024·广东湛江·一模）已知函数()()1ln 1ln e ax
f x x =+．
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)若方程()1f x =有两个根1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：121x x >．
例3．（2024·高三·北京·阶段练习）设函数()ln(1),R f x ax x a =+-∈，曲线()y f x =在原点处的切线为x 轴，
(1)求a 的值；
(2)求方程2()2
x f x x =-+的解；
(3)证明：2023.5
2024e 2023⎛⎫
< ⎪
⎝⎭
例4．（2024·广西柳州·三模）已知函数()1ln e x
x
f x +=． (1)求函数()f x 在点()()1,f x 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；
(3)若()f x '为()f x 的导函数，设()()()2g x x x f x '=+．证明：对任意0x >，()2
1e g x -<+．
例5．（2024·云南贵州·二模）已知函数()()1
ln R f x a x x a x
=-+∈. (1)若2a =，求证：当1x ≥时，()0f x ≤
(2)若()f x 有两个不同的极值点()1212x x x x <，且124x x +≤. （i ）求a 的取值范围；
（ii ）求证：()2f x <.
例6．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数()1ln ,R x
f x a x a x
-=+
∈． (1)当2a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；
(2)当0x ≥时，证明：()e ln 1e cos 0x x
x x -++-≥．
例7．（2024·高三·山东潍坊·阶段练习）已知函数()2
1e 2
x
f x a x x =-
-． (1)若()f x 在R 上单调递增，求实数a 的取值范围； (2)当1a =时，证明：(2,)x ∀∈-+∞，()sin f x x >．
例8．（2024·高三·青海海南·开学考试）已知函数 ()1
e 1.x
f x a x -=--
(1)讨论()f x 的单调性;
(2)证明:当1a ≥时， ()22
ln .1
a f x x x a -+-≥+
例9．（2024·四川广安·二模）已知函数()e 1x f x ax =--.
(1)若()f x 存在极值，求a 的取值范围； (2)若1a ≤，()0,x ∈+∞，证明：()sin f x x x >-.
【过关测试】
1．（2024·高三·山东·开学考试）已知函数()()2
1ln ,,2
f x x a x a f x =∈'-R 是()f x 的导函数，()e x
g x x =. (1)求()f x 的单调区间； (2)若()f x 有唯一零点. ①求实数a 的取值范围；
②当0a >时，证明：()()4g x f x >'+.
2．（2024·江西上饶·一模）已知函数()ln 1
x f x x
+=
，若a 为实数，且方程()f x a =有两个不同的实数根12,x x ．
(1)求a 的取值范围：
(2)①证明：对任意的1,1e x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭都有()e 1e 1x f x ->-；
②求证：()12111e x x a ⎛⎫
->-- ⎪⎝⎭
．
3．（2024·高二·河北邢台·阶段练习）已知()f x '为函数()()()ln 1f x x a x =++的导函数． (1)讨论()f x '的单调性；
(2)若2a ≥，证明：当0x >时，()2f x x >．
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知函数()e x f x =的反函数为()y g x =，令()()()F x f x g x =-
(1)求曲线()y F x =在1x =处的切线的方程； (2)证明：()2F x >.
5．（2024·广东广州·一模）已知函数()cos sin f x x x x =+，(π,π)x ∈-. (1)求()f x 的单调区间和极小值； (2)证明：当[0,π)x ∈时，2()e e x x f x -≤+.
6．（2024·安徽合肥·一模）已知函数()e x
ax b f x +=，当1x =时，()f x 有极大值
1
e . (1)求实数,a b 的值； (2)当0x >时，证明：()1x
f x x
<+.
7．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数()f x =
(1)若0a =，求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； (2)当2a >时，证明：1()e x f x a -<．
8．（2024·高三·浙江·开学考试）设π
02
x <<. (1)若1tan 2
x =，求cos 44cos 23cos 44cos 23x x x x -+++；
(2)证明：
tan 2sin x x
x x
->-；
(3)若tan 2sin 0x x ax +->，求实数a 的取值范围.
9．（2024·高三·山东青岛·期末）已知函数e ()ln (R)x
a f x x x a x
=-+∈．
(1)当0a =时，求()f x 的单调区间； (2)当1a =时，证明：()e 1f x ≥-．
10．（2024·高三·安徽合肥·期末）已知函数()()2
ln 21f x x ax a x =+++.
(1)当1a =-时，求()f x 的单调区间 (2)讨论()f x 的单调性； (3)当a<0时，证明()3
24f x a
≤--.
11．（2024·高三·广东深圳·期末）已知定义在()0,∞+上的函数()e x m
f x x
-=
.
(1)若()f x 为单调递增函数，求实数m 的取值范围； (2)当0m =时，证明：()1
12x f x x
>++.
12．（2024·高三·山东潍坊·期末）已知函数()()()e 2ln 0x
f x a a x a =+->，()f x 的导函数为()f x '.
(1)当1a =时，解不等式()e x
f x >；
(2)判断()f x '的零点个数； (3)证明：()2
2
4ln 4
a f x a ++≥.
13．（2024·广西来宾·一模）已知函数()e 1x
f x mx =+-.
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)当0m >时，证明：()()ln 1sin f x x x m x >-+.
14．（2024·天津河东·一模）已知函数()()2ln ,ln 12
x f x x g x x x =-=--．
(1)求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求函数()g x 的最小值；
(3)函数()()()()()()()2,11F x f x mg x m F F n n =->=≠，证明：(]()1,,1ln 1x n m x x ∀∈->-．
15．（2024·北京石景山·一模）已知函数()()e 0ax
f x x a =>．
(1)求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；
(2)求()f x 在区间[]1,1-上的最大值与最小值； (3)当1a =时，求证：()ln 1f x x x ≥++．
16．（2024·四川·模拟预测）已知函数1
()2ln (01)f x x x x x
=+-<≤． (1)求函数()f x 的最小值；
(2)当01a <<，01x <≤时，求证：321ln e x
x x x x x a +--≤．
17．（2024·吉林·模拟预测）已知函数21()ln ,()e 144x a x f x x x g x x x ⎛⎫
=-+=--
⎪⎝⎭． (1)求函数()g x 的单调区间和最小值；
(2)若12a x <≤，证明：2
2e ()2a a f x -<．
18．（2024·湖南·模拟预测）已知函数()2e 3(,0,e x
f x a ax a a =-∈≠R 是自然对数的底数，e 2.71828)=.
(1)当1a =时，求函数()f x 的零点个数； (2)当1a =时，证明：()cos 2f x x x ≥-； (3)证明：若[)1,,a x ∞∈+∈R ，则()12sin f x x ≥-.
19．（2024·全国·模拟预测）“让式子丢掉次数”：伯努利不等式
伯努利不等式（Bernoulli’sInequality ），又称贝努利不等式，是高等数学的分析不等式中最常见的一种不等
式，由瑞士数学家雅各布·伯努利提出：对实数() 1,x ∈-+∞，在[) 1,n ∈+∞时，有不等式() 11n
x nx +≥+成
立；在() 0,1n ∈时，有不等式() 11n
x nx +≤+成立．
(1)猜想伯努利不等式等号成立的条件； (2)当 1n ≥时，对伯努利不等式进行证明；
(3)考虑对多个变量的不等式问题．已知()
*12 ,,,N n a a a n ∈是大于1-的实数（全部同号），证明
()()()12121111n n a a a a a a +++≥+++
+
20．（2024·福建福州·模拟预测）已知函数()2
ln 1f x x x x =--．
(1)讨论()f x 的单调性； (2)求证：()212
e 1x
f x x x
-<+
--； (3)若0,0p q >>且1pq >，求证：()()4f p f q +<-．
21．（2024·江苏·模拟预测）若x m =时，函数()f x 取得极大值或极小值，则称m 为函数()f x 的极值点.已
知函数()()2
ln ,f x x g x x a
=+
=+a 为正实数. (1)若函数()f x 有极值点，求a 的取值范围；
(2)当2120,x x x >>和1x 21
2
x x +. ①判断
21
21
ln ln x x x x --与2x 和1x 的几何平均数和算术平均数的大小关系，并加以证明；
②当1a ≥时，证明：()()f x g x ≤.
22．（2024·广西南宁·一模）已知函数()()()()ln ,1e 1R x a
f x x ax a
g x x ax a -=-+=--+∈．
(1)若()0f x ≤，求a 的值；
(2)当(]0,1a ∈时，证明：()()g x f x ≥．。