一元二次方程的解法配方法

x
正
x x2 x
x2+2x=24
方
形
x1
方
x1
1
x
x2 x
（x+1）2=24+1
x
1
应用拓展，共同提高 若 a2 b 2 4 a 2 b 5 0
求a b的值
2.如果x2 (k1)xk2 7是一个完全平方式， 4
则k ___
(1)下列将x方 26程 x70配方变形
正确的(是 C )
A.(x6)2 2
22.2一元二次方程的解法(3) ----配方法1
学习目标:
1、了解什么是配方法？
2、会用配方法解系数是1的￣一元二次方 程。
学习重难点：
利用配方法解二次系数是1的一元二次方 程。
1.（１）方程x2 0.25 的根是 X1=0.5, x2=－0.5 （２）方程 2x2 18 的根是 X1＝3， x2＝—3
D .x 2 5 x 2 0 化x 为 2 .5 ） 2 （ 4 .25
用配方法解下列方程：
(1)x212x9(2)x2 x1 (3)x24x30(4)x22x10
(5)x23x50
配方时, 等式两边同时加上的是一 次项系数一半的平方。
试一试
3.某种罐头的包装纸是长方形，它的长 比宽多10cm，面积是200cm2，求这张 包装纸的长与宽。
直接开平方，得x-2=±1
∴x1=3，x2=1
典型例题
例1 解下列方程： （2）x2＋3x－1 = 0
解（2）移项，x2+3x=1
配方，得x2+3x+
即
3
（x+
13
）2=
2
4
3
2
=1+
3
2
2 2
3
直接开平方，得x+ =
13
2
2
∴x1=
3 2
13 2
=
x2=
3 2
13 2
想一想
1、解下列方程(书87页练习2) （1）x2+2x-3=0
∴ x1 2 23 x2 2 23
典型例题
例2 解下列方程
3 （1）y2+ 4 2 y-1=0 （2）y2-2 y=24
解（2）配方，得 y 2 2 3 y 3 2 2 4 3 2
即
2
y 3 27
直接开平方，得 y 33 3
∴
y1 4 3 y2 2 3
想一想
解下列方程
（1）y2-4 2 y-42=0
（2）m2 2 5m-11=0
归纳
用配方法解一元二次方程的一般步骤是什么？
1.移项:把常数项移到方程的右边; 2.配方:方程两边都加上一次项系数一半的平 方; 3.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项 4.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 5.求解:解一元一次方程; 6.定解:写出原方程的解.
方程两边都加上一次项系数一半的平方
2、用配方法解形如x2+bx+c=0一元二 次方程的一般步骤是什么？
移项，配方，变形，开方，求解，定解
如：能否将方程x2-4x-5 = 0化为（x+h）2=k的形式？
移项，得x2-4x=5 在方程两边都加上22得x2-2· x· 2+22=5+22
即（x-2）2=9 直接开平方，得x-2=±3 ,所以x1=5，x2=-1
由此可见，只要先把一个一元二次方程变形为
（x＋h）2= k的形式（其中h、k都是常数），如果k≥0，
(3)x2+px+ =(x+ )2；
(4) x2-6 2 x+_____=(x-____)2
分析：本题应用“方程两边都加上一次项系 数一半的平方”来配方。
典型例题
例1 解下列方程： （1） x2－4x＋3 = 0 （2）x2＋3x－1 = 0
解：（1）移项，得x2-4x=-3 配方，得x2-2· x· 2+22=-3+22 即（x-2）2=1
先将常数项移到方程的右边，得
x2＋6x = －4 即 x2＋2· x· 3 = －4
在方程的两边都加上一次项系数6的一半的平方，即32后，得
x2＋2· x· 3 ＋32 = －4＋32
即（x＋3）2 = 5
解这个方程，得 x＋3 = ± 5
所以 x1 = ―3＋ 5 , x2 = ―3- 5
试一试：
配方的过程可用拼图直观地表示：如方程 x2+2x＋24 = 0 变形为x（x+2）=24后，配方的过程，可以看成是将一个长为（x+2）、 宽为x、面积为24的矩形割补后拼成一个正方形（如图4-3）。
图形
面积
x
x（x+2）
x（x+2）=24 Nhomakorabeax+2
拼 成 一
x x2 x
xx 11
x2+2x=24
配
个
1
C.(x3)2 2
B.(x3)2 16 D.(x6)2 16
（2）用配方法解下列方程时，配方有
错误的是（B ）
A .x2 2 x 9 9 0 化x 为 1 ） 2 （ 100
B .x 2 8 x 90 化x 为 4 ） 2 （ 25
C .x 2 3 x 1 0 化x 为 1 .5 ） 2 （ 1 .25
一元二次方程可用直接开平方法来解
2.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是什么？ 首先将一元二次方程化为左边是含有未知数的一个
完全平方式，右边是非负数的形式，然后用平方根 的概念求解
那么如何解方程x2＋6x＋4 = 0呢?
因式分解的完全平方公式
a22ab b2ab2
a22ab b2a b2
完全平方式
观察(1)(2)看所填的常 数与一次项系数之间
有什么关系?
(3) x2 4x2 2 =( x2 )2
x (4) x2
共同点：
px(
p 2
)2=(
p
2 )2
左边:所填常数等于一次项系数一半的平方.
试一试
将下列各式进行配方：
(1)x2+x+ =(x+ )2；
（2）x2+
3 2
x+__=(x+___)2
拓展：
把方程x2-3x+p=0配方得到 (x+m)2= 1 (1)求常数2 p,m的值； (2)求方程的解。
1.把一元二次方程的左边配成一个完 全平方式,然后用开平方法求解,这种解 一元二次方程的方法叫做配方法.
注意:配方时, 等式两边同时加上的是 一次项系数一半的平方.
归纳总结
1、用配方法解一元二次方程，配方时 要注意什么？
再通过直接开平方法求出方程的解，这种解一元二次方 程的方法叫做配方法。
注意：“配方法”的前提是熟练掌握完全平公 式的结构，配方时尤其要注意未知数的一次 项系数，配方就是在方程两边都加上一次项 系数一半的平方。
大胆试一试：
填上适当的数或式,使下列各等式成立.
(1) x2 6x 3 2 =( x+ 3)2 (2) x2 8x4 2 =( x4)2
填一填
(1) x2 2x __1_2 __ ( x __1_) 2
(2)
x2
8
x
_4_
2
___
(
x
__4_)
2
(3)
y2
5
y
（_
_5
2
_）_
_
2
(
y
__52 _)
2
(4)
y2
1 2
y
（
_
_1
2
_）_
4
(
y
__14 _)
2
尝试
问题：如何解方程 x2＋6x＋4 = 0呢？
能否根据上题将方程x2＋6x＋4 = 0化为（x+h）2=k 的形式？
（2）x2+10x+20=0
（3）x2-6x=4
(4) x2-x=1
典型例题
例2 解下列方程
3 （1）y2+ 4 2 y-1=0 （2）y2-2 y=24
解（1）移项，得 y2 4 2y1
配方，得 y 2 4 2 y 2 2 2 1 2 2 2
即
2
y2 2 9
直接开平方，得 y2 23
（3） 方程 (2x1)2 9的根是 X1＝2， x2＝－1
2. 选择适当的方法解下列方程：
（1）x2－ 81＝0 （2） x2 ＝50
(3)(x＋1)2=4
(4)x2＋2 5 x＋5=0
知识回顾
1.那么什么样的一元二次方程能用直接开平方法解？
形如 x2=a(a≥0) 或（x＋h）2= k（k≥0）的