人教版八年级数学下册18.2 特殊的 平行四边形第二课时 矩形的性质课件

(1)证明：∵AO＝OC, BO＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB＝∠OAD＋∠ADO， ∴∠OAD＝∠ADO，∴AO＝OD. ∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD， ∴AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．
(2)解：设∠AOB＝4x，∠ODC＝3x， 则∠OCD＝∠ODC＝3x. ∵∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°， ∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°， ∴∠ODC＝3×18°＝54°， ∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.
（1）证明：方法一 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE，∴四边形ACED是平 行四边形． ∵AB＝AE，∴DC＝AE， ∴四边形ACED是矩形．
证明：方法二 ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC. ∵CE＝BC，∴AD＝CE. 又∵AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，BC＝CE， ∴AC⊥BE，∴∠ACE＝90°， ∴四边形ACED是矩形．
几何语言
∵四边形ABCD是平行四边形 且AC=BD ∴四边形ABCD是矩形
A
D
O
B
C
小试牛刀
1.如图，下列条件不能判定四边形ABCD是矩形的是( C )
A．∠DAB＝∠ABC＝∠BCD＝90° B．AB∥CD，AB＝CD，AB⊥AD C．AO＝BO，CO＝DO D．AO＝BO＝CO＝DO
2.如图 ABCD 中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=
1 2
AC，OB=OD= 1
2
BD.
又∵OA=OD，
D
C
O
∴AC=BD， ∴四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°. 又∵∠OAD=50°，
A
B
∴∠OAB=40°.
【例2】如图，四边形ABCD是平行四边形，延长BC至点E，使CE＝BC， 连接AE，DE，AC，AE与CD相交于点O，AB＝AE. (1)求证：四边形ACED是矩形． (2)若∠BCD＝125°，则∠CAE＝____°. (3)若AB＝4，BE＝2，则四边形ACED的面积 为____.
2.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角 形，且AB=4. 求 ABCD的面积.
解：∵△OAB是等边三角形且四边形
ABCD的对角线AC、BD互相平分
∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4
∵∠AOB= 60°
∴∠AOD=120°
又AO=DO ， ∴∠ADC=90°.
AC=8 ，DC=4， AD= 4 3 ， ∴平行四边形ABCD的面积
∴AF＝ AD2－DF2＝ 52－32 ＝4，
∴S矩形ABDF＝DF•AF＝3×4＝12，BD＝AF＝4.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∴CS△DB＝CDA＝B＝12 3B，D•CD＝
1 2
×4×3＝6，
∴四边形ABCF的面积S＝S矩形ABDF＋S△BCD＝
12＋6＝18.
课堂练习
1.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划 用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需 要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49 盆呢？
矩形判定的常见思路：
有一个直角
（1）利 用角证明
有三个直角
（2）利 用对角线 证明
对角线相等
对角线互相平 分且相等
走进中考
1.(2019•云南20题8分)如图，四边形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝ 2∠OAD. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度数．
解：还需要从花房运来38盆“红花”. 因为，矩形的对角线相等，所以另一条对角线也需38盆“红花”. 且不应除去两条对角线的交点，这是因为38盆是偶数，因此对较线的 交点没有摆花盆. 如果一条对角线用了49盆，那么应从花房运来48盆“红花”.因为 矩形的对角线相等，但由于49盆是奇数，因此对角线交点应已摆放花 盆，所以，另一条对角线上的花盆数应少1盆.
形吗？为什么？
解：四边形ABCD是矩形，理由如下：A
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO,DO=BO.
B
又∵ ∠1= ∠2，
∴AO=BO，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形.
D O
C
典例精讲 【例1】如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且
OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
你能证明上述结论吗？
已知：四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明：∵∠A＝∠B＝90°， ∴∠A＋∠B＝180°，
A
D
∴AD∥BC，
同理：AB∥CD，
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠A＝90°,
∴四边形ABCD是矩形.
判定定理二：有三个角是直角的四边形是矩形。
∴四边形ABCD是矩形， 为16 3 .
课堂小结
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形
矩形的 判定
判定 定理
有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
几何语言
A
D
∵∠A=∠B=∠C=90°
∴四边形ABCD是矩形
B
C
活动与探究二
工人师傅为了检验两组对边相等 的四边形窗框是否成矩形，一种方法 是量一量这个四边形的两条对角线长 度，如果对角线长相等，则窗框一定 是矩形，你知道为什么吗？
猜想：对角线相等的平行四边形 是矩形. 你能证明上述结论吗？
已知：如图,在□ABCD中，AC， DB是它的两条对角线，
第十八章 平行四边形
18.2.1 特殊的平行四边形 第二课时 矩形的性质
创设情境
小明为自己的妈妈做了一个矩形相框，他不知道自己做的相框 是不是矩形的？给你一块直角三角板，你能帮他检验一下，相框是 矩形的吗？
两组对边 分别平行
一个角是直角
平行四边形的定义是判断平行四边形的一种方法， 与平行四边形的判定方法一样，矩形的定义也是判定矩 形的一种方法。
∠BAE＝∠FDE， 在△BEA和△FED中， AE＝DE，
∠BEA＝∠FED，
∴△BEA ≌△FED(ASA)，∴EB＝EF. 又∵AE＝DE， ∴四边形ABDF是平行四边形． ∵∠BDF＝90°，∴四边形ABDF是矩形．
(2)解：由(1)得四边形ABDF是矩形，
∴∠AFD＝90°，AB＝DF＝3，AF＝BD，
AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
A
B
证明：∵AB = DC，BC = CB，AC = DB，
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC = ∠DCB.
∵ AB∥CD，
D
C
Байду номын сангаас
∴∠ABC + ∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC = 90°.
∴ □ ABCD 是矩形（矩形的定义）.
判定定理三：对角线相等的平行四边形是矩形。
探索新知
一、矩形的判定
判定定理一：有一个角是直角的平行四边形是矩 形。
几何语言 ∵在 ABCD中∠B=90° ∴四边形ABCD是矩形
活动与探究一 李 芳 同 学 用 “ 边 —— 直 角 、
边——直角、边——直角、边”这 样四步，画出了一个四边形，她说 这就是一个矩形，她的判断对吗？ 为什么？ 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 .
2.(2022•云南21题8分)如图，在平行四边形ABCD中，连接BD， E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF， ∠BDF＝90°. (1)求证：四边形ABDF是矩形；
(2)若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S.
(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BA∥CD，∴∠BAE＝∠FDE. ∵E是AD的中点，∴AE＝DE.