多边形与密铺

多边形与密铺

【基本知识】

1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的多边形分凸多边形和非凸多边形，本节如不特别说明都是指凸多边形。

2． 叫做正多边形。 3．任意n 边形的内角和等于 ，外角和等于 。 4．正n 边形的每个内角的度数是 ，每个外角的度数是 。 5．从n 边形的一个顶点出发可以作 条对角线，任意n 边形都有 条对角线。 6．用形状、大小完全相同的 平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平在图形的 ．

【经典例题】

例1．（1）某凸多边形的内角和与某一个外角的度数之差为2100°,求这个多边形的边数。（2）某凸多边形的一个内角的补角与其他内角的和恰为500°，求这个多边形的边数。（3）一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形，它的内角和是︒2520，求原多边形的边数．

例2．已知ABCDE 是正五边形，O 是平面内的一点，△DOE 是等边三角形，求∠AOC 的度数。

例3．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最大的是︒140，最小的是︒100，求这个多边形的边数．

例4．一个n边形，有且只有三个内角是钝角，求n的最大值．

例5．已知六边形ABCDEF，如图它的每个内角都相等，且AB=1，BC=CD=DE=9，求这个六边形的周长．

例6．（1）用边长相同的正三角形和正方形两种平面图形是否能进行密铺？如果能，请画出草图，说明铺法：如果不能，请说明理由．（2）用边长相同的正八边形和正方形两种平面图形是否能进行密铺？如果能，请画出草图，说明铺法；如果不能，请说明理由．

多边形与密铺练习

一、填空：

1、正八边形的内角的度数是＿＿＿＿。

2、用多边形铺满一个点及其附近区域的本质是要满足，铺在一起的各个角的度数之和为．

3、已知：如图，五角星中，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝．

4、四边形ABCD中，若∠A＋∠C＝180°，∠B∶∠C∶∠D＝1∶2∶3，则∠A ＝．

5、多边形的外角和是，若边数为n，则每个外角为 .

6、多边形每增加一条边，那么它的内角和增加，外角和 .

7、多边形的内角中，最多有个锐角。

8、已知：多边形内角和与外角和的和是2160°，则这个多边形的边数是 .

9、已知：多边形的每个内角都相等，且等于144°，则这个多边形的边数是；另一

个多边形的每个外角都相等，且等于30°，则这个多边形的边数是 .

10、若过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形有k条对角线，正h边形的内角和与外角和相等，则代数式=

h)

m

( .

⋅n

-

k

11、如果一个多边形的最小的一个内角为︒

120，比它稍大的一个内角是︒

125，以后依次每个内角比前一个内角多︒5，且所有内角和与最大内角的度数之比为63:8，则这个多边形的边数是．

二、选择

1、过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是．

A、8

B、9

C、10

D、11

2、如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和为2160°，那么原来多边形的边数是．

A、5

B、6

C、7

D、8

3、某人到瓷砖商店去购买一种正多边形瓷砖铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是．

A、正三角形

B、正四边形

C、正六边形

D、正八边形

4、能够铺满地面的正多边形组合是．

A、正六边形和正方形

B、正五边形和正八边形

C、正方形和正八边形

D、正三角形和正十边形

5、一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边是．

A、15或17

B、16或15

C、15

D、16或15或17

6、若正n边形的一个内角与正2n边形的一个内角的和等于270°，则n为．

A、7

B、6

C、5

D、4

7、一个凸多边形的最小角为︒

95，其他的内角依次增加︒

10，则n的值为．

A、6

B、12

C、7

D、8

三、实践与探索

1、请在下图多边形内部，任找一点，连结各顶点的方式分割多边形，来证明n边形的内角和的公式．

H1

1

2、①正三角形与正方形能否铺满地面？如果可以，请画出草图；②正方形与正六边形能否铺满地面？如果可以，请画出草图；③正三角形与正六边形能否铺满地面？如果可以，请画出草图；④正三角形、正方形和正六边形三者结合一起能否铺满地面？如果可以，请给出方案。

四、思考题

1、如图，两个全等的正六边形ABCDEF ，PQRSTU ，其中点P 位于正六边形ABCDEF 的中心，如果它们的面积均为1，则阴影部分的面积是 。

2、边数为c b a ,,的三个正多边形，若在每个正多边形中取一个内角，其和为180°，那么c

b a 1

11++= 。 3、有边数分别为a 、b 、

c 型号不同的多边形，且每种型号的多边形均满足各边相等、各角相等；如果每种型号的多边形各取一个，拼在A 点，恰好能覆盖住A 点及其周围小区域，请你写出一个关于a 、b 、c 之间关系的猜想，你能对你给出的这个猜想进行证明吗？

4、我们常见到如图那样图案的地面，它们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材料进行密铺，问：（1）能否全用正五边形的材料进行密铺，为什么？（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料进行密铺的方案，如果能，请把你想到的方案画成草图．（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料进行密铺的草图．