控制系统的状态空间表达式

第一章 控制系统的状态空间表达式
Chapter 1 State space representation of control systems
本章内容
• 状态变量及状态空间表达式 • 状态空间表达式的模拟结构图 • 状态空间表达式的建立(1) • 状态空间表达式的建立(2) • 状态矢量的线性变换 • 由传递函数求状态方程
• 由状态空间表达式求传递函数阵 • 离散系统的状态空间表达式
• 时变系统和非线性系统的状态空间表达式
系统的动态特性由状态变量构成的一阶微分方程组来描述，能同时给出系统全部独立变量的响应，因而能同时确定系统的全部内部运动状态。

1.1 状态变量及状态空间表达式
1.1 State space representation of control systems 状态变量 (State variables)
状态：表征系统运动的信息和行为
状态变量：能完全表示系统运动状态的最小个数的一组变量x 1(t ), x 2(t ), …, x n (t ) 状态向量(State vectors)
由状态变量构成的向量 x (t )
T 123()(),(),()...()n x t x t x t x t x t =⎡⎤⎣⎦
状态空间 (State space) • 以各状态变量x 1(t ),x 2(t ),…… x n (t )为坐标轴组的几维空间。

•
状态轨迹：在特定时刻t ，状态向量可用状态空间的一个点来表示，随着时间的推移，x (t )将在状态空间描绘出一条轨迹线。

状态方程 (State equations)
• 由系统的状态变量与输入变量之间的关系构成的一阶微分方程组。

例1.1 设有一质量弹簧阻尼系统。

试确定其状态变量和状态方程。

解：系统动态方程
2()().()().()()()d y
F t ky t f y
t m dt my t f y
t ky t F t ⎧--=⎪⎨
⎪++=⎩ 设1()()y t x t =，2()()y
t x t = 12
()()............................................(1)1()()()()........(2)x t y t f k x t y t y t F t m m m =⎧⎪
⎨
=--+⎪⎩
1
22
12()()1()()()()x
t x t k f x t x t x t F t m m m =⎧⎪⎨
=--+⎪⎩
1122010()()()1()()x
t x t F t f k x t x t m m m ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ ＝ 状态方程的标准形式：
()()()x
t Ax t Bu t =+ （A ：系统矩阵 B ：输入矩阵） 输出方程 (O u t p u t e q u a t i o n )
系统的输出量与状态变量之间的关系
[]112()()()10 ()x t y t x t x t ⎡⎤
==⎢⎥⎣⎦
()()y t Cx t =
(C:输出矩阵）
状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。

它构成对一个系统动态行为的完整描述。

()()()()()()x
t Ax t Bu t y t Cx t Du t =+=+
y (t )－输出向量 u (t )－输入向量
状态方程和输出方程的总和即称为状态空间表达式。

它构成对一个系统动态行为的完整描述。

状态空间表达式的系统框图
()()()()()
x
t Ax t Bu t y t Cx t =+=
()()()()()()
x
t Ax t Bu t y t Cx t Du t =+=+
1.2状态空间表达式的模拟结构图
1.2 Simulation structural diagram of state space
模拟结构图(Simulation structural diagram)
用来反映系统各状态变量之间的信息传递关系，对建立系统的状态空间表达式很有帮助。

用模拟结构图代替模拟计算机的详细模拟图。

模拟结构图绘制步骤(Drawing Procedures)
根据所给的输出方程，画出相应的加法器、比例器和状态变量；
积分器的数目应等于状态变量个数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量；
根据所给的状态方程，画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。

微分方程
()()()x
t ax t bu t =+ 模拟结构图
微分方程
210210x a x a x
a x bu x a x a x
a x bu +++==----
模拟结构图
1.3 状态空间表达式的建立(1)
1.3 Establishment of state space representation (1)
用状态空间分析系统时，首先要建立给定系统的状态空间表达式。

建立表达式三个途径：
由系统传递函数方块图来建立；
从系统的物理或化学的机理出发进行推导；
由描述系统运动过程的高阶微分方程或传递函数予以演化而得。

从系统框图出发建立状态空间表达式
● 将系统传递函数方块图的各个环节变换成相应的模拟图；
● 把每个积分器的输出选作为一个状态变量i x ，其输入便是相应的i x ； ●
根据系统的实际连结，写出相应的状态空间表达式。

例1-4 系统传递函数方块图如图所示，输入为u ，输出为y 。

试求其状态空间表
达式。

从图可知 状态方程
3
123
222322
141331111
1
1
K x
x T K x x x T T K K K x
x x u T T T ==-+=--+
输出方程 1y x =
写成向量矩阵形式，系统的状态空间表达式为
3
322211411200010010
K T K x x u T T K K K T T T ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
⎢⎥
⎣
⎦ []100y x =
各环节的模拟结构图如图所示
从系统的机理法出发建立状态空间表达式
对不同控制系统，根据其机理，即相应的物理或化学定律，可建立系统的状态空间表达式，步骤如下：
1) 确定系统输入、输出和状态变量； 2) 列出方程；
3) 消去中间变量；
4) 整理成标准的状态和输出方程。

例 求图中网络的状态方程，系统输入为u 1，u 2，输出y 。

解：根据基尔霍夫定律写出回路、节点电压和电流方程
1
111
122222
12222c c c
di R i L u u dt di
u L R i u dt
du
i i C dt
y R i u ++==++=+=+ 状态变量选为
11
223c
x i x i x u === 将状态变量代入，并整理
1111311111111
222222
223222212312
222222111111c c c R di x x x u R i L u u L L L dt di R u L R i u x x x u dt L L L du i i C x x x dt C C
y R i u y R x u ⎧⎧=--+++=⎪⎪⎪⎪
⎪⎪=++=-+-⎪⎪⇔⎨
⎨⎪⎪=+⎪⎪=-⎪⎪⎪⎪=+=+⎩⎩
写成矩阵形式
[][]1
111
2222211
0110011
000 0001R L L L R x x u L L L C
C y R x u ⎡⎤⎡⎤
--
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥=--+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
=+ x
Ax Bu y Cx Du
=+=+
1
112
2
2101011
0R L
L R A L L C C ⎡⎤--
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢
⎥⎣⎦1
21
01000L B L ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦
[]200C R =[]01D =
123 T
x x x x =⎡⎤⎣⎦
[]12u u u =
1.4 状态空间表达式的建立(2)
1.4 Establishment of state space representation (2) 1.4.1 n 阶常系数微分方程（单入单出）
()(1)()(1)11010......n n m m n m m y a y a y
a y
b u b u b u ----+⋅++⋅+=+++ m<=n 相应的传递函数为
()(1)10
(1)110
...()...m m m m n
n n b s b s b W s s a s a s a ----+++=+⋅++⋅+
问题：将上式转换成状态空间表达式 1.4.2 传递函数中没有零点的实现 n 阶常系数微分方程（单入单出）
()(1)1100...n n n y a y a y
a y
b u --+⋅++⋅+= u －输入 y －输出 相应的传递函数为
(1)110
()...n n n b W s s a s a s a --=
+⋅++⋅+
建立x
方程 (1)12,,...n n x y x y
x y -=== ()12231()(1)0110011210,,....,......n n n n n n n n n x
x x x x x x y y a y a y
a y
b u a x a x a x b u
----=====----+=----+
112210
11
00100000
1
0000000010n n n n n x x x x u x x a a a a x b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
x
Ax Bu =+ B 具有这种形式，则称为能控标准型。

系统输出方程
[]1210...0 ...n x x y CX x ⎡⎤⎢⎥
⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦
其中：y CX =[]1000C =
结构图
能控标准型，能控性：是控制作用u (t )支配系统 x (t ) 的能力
例：系统方程为u y y y
y 616116=+++ 求系统的状态空间表达式。

解：选取y x y x y x ===321,,，由u y
y y y 661116+---= 得到一阶微分方程组 u x x x x
x x x x
61611612333221+---===
写成矩阵形式
u x x x x x x ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡60061116100010321321 []⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==3211001x x x x y 状态方程和输出方程（模拟结构图）
状态变量的选择不唯一，选择的不同状态空间表达式也不同。

例：求系统u y y y
y 616116=+++ 的状态空间表达式。

解：设状态变量
y
x y y x y y y
x =+=++=3216116 状态方程：
323311231611116166166116x x y
x x x y x y y x x u y u y y y x -==-=-=+=-=-=++= 输出方程： 3x y = 矩阵形式：
u x x x x x x
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢
⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00661
01101160
0321321＋＝ []⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=321100x x x y 模拟结构图
如果单输入—单输出系统的微分方程为：
u
b u b u b u b y a y a y a y n n n n n n n 01)1(1)(01)1(1)(++++=++++∙
∙
----
一般输入量中导数项的次数小于或等于系统的次数n 。

为了避免在状态方程中出现u 的导数项，可以选择如下的一组状态变量。

u
x x u x x u x x u x x u y x n n n n n n i i i 112211111201 --------=-=-=-=-=∙
∙∙∙
βββββ
即：
u x y u y x 0101ββ+=→-=
u u x y u u y x 102102ββββ++=→--=∙
∙
∙
∙
u
u u x y u u u y x 21032103 ββββββ+++=⇓
---=∙
∙
∙∙
∙∙
∙∙∙∙
∙
∙
--------------=⇓++++=⇓
----=u
u
u
y
x u u u x y u u u y x n n n n n n n n n n n n n n n 1)
1(1)
(0)
(1)2(1)1(0)1(1)2(1)1(0)1( βββββββββ 将u b u b u
b u b y a y a y
a y
a y
n n n n n n n n n 01)
1(1)
(01)
2(2)
1(1)
(+++++----=∙
∙
------
代入∙
∙
------=u u
u y x n n n n n 1)
1(1)
(0)
(βββ
得：
u
b u b u b u b u a u u a u u u a u u u a x a x a x a x a y n n n n n n n n n n n n n n n n n 01)1(1)(001012)3(1)2(021)2(1)1(011
021121)()()()(+++++-+-+++-+++------=-------------∙
βββββββββ
u
a a a a
b u a a a b u a a b u a b u b x a x a x a x a x n n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n n n n )())()()(00112211001322111)2(021122)1(0111)(01122110ββββββββββββββ-----+----+---+--+-+-----=-------------------∙
∙
选择110,,,-n βββ ，使得上式中u 的各阶导数项的系数都等于0，即可解得：
13221112
11203331
102220
1110ββββββββββββββa a a b a a a b a a b a b b n n n n n n n n n n n n n n n
----=---=--=-==--------------
令上式中u 的系数为n β，则：
001122110βββββa a a a b n n n n n -----=----
最后可得系统的状态方程：
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧+-----=+=+=+=-----u x a x a x a x a x
u x x u x x u x x n n n n n n n n n ββββ112211011
232121 u x y 01β+=
可写成矩阵的形式：
Du
Cx y Bu Ax x
+=+=
即：
u x x x x a a a a x x x x n n n n n n n ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----ββββ121121121
12110
00010
00010
[]u x x x y n 021001β+⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=
例：u u u y y y y 324++=+++∙
∙
∙∙
∙
∙∙
∙∙试写出它的状态空间表达式。

解：由于
3,1,1,0,30123=====b b b b n 4,2,1210===a a a
则：
13
3
1
00112203011212022130=---=-=--==-===ββββββββββa a a b a a b a b b
状态空间表达式为
[]⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321 0011331421100010x x x y u x x x x x x
1.5 状态矢量的线性变换
对于一个给定的线性定常系统，可以选取许多种状态变量，相应地有许多种状态空间表达式
描述同一系统，也就是说系统可以有多种结构形式。

所选取的状态矢量之间，实际上是一种矢量的线性变换(或称坐标变换)。

1.5.1 系统状态空间表达式的非唯一性 设线性定常系统的状态空间表达式为：
Du Cx y Bu Ax x
+=+= 0)0(x x =
取线性非奇异变换：
令：Tz x =（即x T z 1-=）
T 为线性变换（矩阵T 非奇异）
，带入上式，得： u
D z C Du CTz y u B z A Bu T ATz T z +=+=+=+=--∙
11 )0()0(1x T z -=
则有
D
D CT C B T B AT T A ====--11
（显然，由于T 为任意非奇异矩阵，所以，状态空间表达式为非唯一。

T 称为变换矩阵） 即一组状态变量是另一组的线性组合，且这种组合具有唯一的对应关系，均能完全描述同一系统的行为。

状态向量的这种变换称为状态的线性变换或等价变换。

例 设系统状态空间表达式为
[]x y u x x 03,213210=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
解：取线性变换阵
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=1111T ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=
-1111211T 设新状态变量为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2121
211
21212
12121
212
12121
x x x x x x x T z z
则在新状态变量下，系统状态空间描述为
u z u z Bu T ATz T z
⎥
⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+=--2123130221212
12121
11113210
212
1212111
[][]z z CTz y 33111103=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-== 1.5.2 特征值不变性与系统的不变量 系统特征值 系统
Du
Cx y Bu Ax x
+=+=
的特征值就是系统矩阵A 的特征值，即特征方程：
0=-A I λ
的根。

系统不变量和特征值的不变性 对上面的系统进行变换 Tz x =（即x T z 1-=）
，
得：
Du
CTz y Bu T ATz T z +=+=--∙
11 其特征方程为：
A
I A I T T T A I T AT T T T AT T T T AT T I -=-=-=-=-=--------λλλλλλ1111111
特征方程写成多项式
00111=++++=---a a a A I n n n λλλλ
经过非奇异变换后，系统的特征值不变，系统的特征方程系数也不变。

特征方程多项式的系数称为系统的不变量。

特征矢量
一个n 维矢量i P ，经过A 作为变换矩阵的变换，得到一个新的矢量，i P ~。

即， i i AP P =~
（n i ,,1 =）
如果此i i i P P λ=~
，即矢量i P 经A 变换后，方向不变，仅长度变化i λ倍，则称i P 为A 的对应
于i λ的特征向量，此时有i i i i i P I A P AP )(λλ-⇒=。

1.5.3 状态变量表达式变化为约旦标准型 问题：将系统
Du Cx y Bu Ax x +=+=
转换成
DTu
CTx y Bu T Jz z
+=+=-1
根据系统矩阵A ，求其特征值，可以直接写出系统的约旦标准矩阵J 。

当特征值无重根时，有
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==n A J λλλ 0
00
00
21 当特征值有q （n q <<1）个1λ重根时，有
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=+n q J λλλλλ
00
00
10
001
11
11 几种求T 得方法：
1）A 矩阵为任意形式
（1）A 矩阵的特征根无重根时
对线性定常系统，若系统的特征值两两互异，则必存在非奇异变换，将状态方程化为对角线标准型。

实际上，
[]i i i n n n P AP P P P T λ=∈=⨯,:21
R [][]
[]⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡===n n n n n P P P P P P AP AP AP AT λλλλλλ 0
00
00
21
2
1
221
12
1
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡==⇒-n A AT T λλλ 0
00
00
211
例：设系统状态空间描述为
[]x
y u x x 03213210
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 将系统的转换成约旦标准型状态空间表达式。

解：由上例中已求出
2,121-=-=λλ
[]⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-111221111
21
T P P T
[]1123,200111==⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-==⎥
⎦⎤⎢⎣⎡--==⇒--CT C B T B AT T A []z y u z z 11,232001=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= （2）A 矩阵的特征根有重根时
如果系统矩阵A 有重根，且A 的线性独立的特征向量数等于系统的阶数n ，则可将其化为对角线标准型。

当A 有重根时，经线性变换一般可将A 化为约当标准型J ，矩阵J 是主对角线上均为约当块的准对角型矩阵，即
()i
i
i M J J J J J AT T αα⨯-∈==R ,,,,diag 211
i i M n λαααα:,21=+++ 的代数重数 i i i n n ij i i i i ij
ij i n n J J J J ασσ=++∈⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⨯ 11,,R
i i λσ:的几何重数
若当块具有形式：
⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=i i i i ij J λλλλ0111
将A 化为约当标准型的变换矩阵P 的确定
[][
]
ij
ij i i i i i
i M J P P P P P J P P P P T i
col col ,:col col ,:2121====σ
ij ij ij i i i J P AP J P AP TJ AT J AT T =⇒=⇒=⇒=-1
令
[
])
()2()
1(ij n ij
ij ij ij P P P P =
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=i i i i
ij J λλλλ00
010000000
1
由此
[][]
⎥⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⇔
=i i
i n ij
ij n ij
ij ij ij ij ij ij P P
AP AP
J P AP λλλ11
)
()
1()
()
1(
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨⎧=-=-=-⇔⎪⎪
⎩⎪⎪⎨⎧+=+==⇒--)
1()()1()2()
1()
()
1()
()2()1()2()
1()
1()()(0)(ij ij ij ij ij n ij
n ij i ij ij i ij i n ij
i n ij
n ij ij i ij ij ij i ij P P I A P P I A P I A P P AP
P P AP P AP λλλλλλ
I λ对应的广义特征向量：
{})
()2()
1(,,,ij n ij
ij ij P P P
其第一个向量是I λ对应的特征向量：
i n ij
n ij
i ij ij i ij i j P P I A P P I A P I A ij ij σλλλ,,2,1,)()(0)()
1()()1()2()1( =⎪
⎪
⎩⎪⎪
⎨⎧=-=-=--
n n n M i i i i
=++=++ααασ 11,
例 设系统状态方程为
u x x ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=010********* 转化成约旦标准型。

解：特征方程
0)2()1(254223=--=++-=-λλλλλλA I
)1(2),2(11211====⇒αλαλ
1λ对应的广义特征向量
0352*******)()
1(11)1(11
1=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---⇒=-P P I A λ
第3个方程不独立，令111=p ，得
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡==111,1)
1(11
1P σ 又由(第3个方程不独立)
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⇒=-210111352110011)()
2(11)2(11)1(11
)
2(11
1P P P
P I A λ 再由(矛盾方程，无解)
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⇒=-210352110011)()3(11)
2(11
)3(111P P P I A λ
2λ对应的广义特征向量
025********)()
1(21)1(21
2=⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---⇒=-P P I A λ
第3个方程不独立，令111=p ，得
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡===421,1)
1(21
22P ασ 由此，可构造出变换矩阵P ：
[
]
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==421211101)1(21
)2(11
)
1(11
P
P
P
T
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡==⇒-21111
AT T J
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-232010121132120
1B T
2）A 矩阵为标准型
⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=--12110
1010a a a a A n n n （1） A 的特征值无重根时 A 的特征值两两相异，则化A 为对角线标准型的变换阵T 为范德蒙德(Vandermonde )矩阵，
即
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡=----11312112
2
322
21321
1111
n n n n n n n T λλλλλλλλλλλλ 实际上，设λi 对应的特征向量为
[]T
in i i p p P 1=
01000000
11,2112
1=⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡+-⇒--in n i i i i n n i i i p p p p a a a a λλλλ 将其写为：
)(0
00
11,22111,3221=+++++=-=-=-----in n i n i i n i n in n i i i i i i i i p a p a p a p a p p p p p p λλλλ
令
11=i p
)(0
0011,22111,3221=+++++=-=-=-----in n i n i i n i n in n i i i i i i i i p a p a p a p a p p p p p p λλλλ
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧======⇒---111,223121n i i i n i n i i in
i i i i i i i i P p p p p p p λλλλλλλλ
（2） A 特征值又重根时
（3） 有共轭复根时
3）系统的并联型实现 已知系统的传递函数为：
1110111)(a s a s a s b s b s b s b s W n n n m m m m ++++++++=
----
将上式展开成部分分式。

由于系统的特征根有两种情况：一是所有根均为互异，另一种是有重根。

（1） 具有互异根的情况
系统特征根为互异，将系统传递函数写成
)
())(()(210
111n m m m m s s s b s b s b s b s W λλλ---++++=-- （i λ为系统的特征根，n i ,,2,1 =）
将其展开成部分分式：
∑=-=-++-+-=n
i i i n n s c s c s c s c s W 122
11)
()()()()(λλλλ
i c （n i ,,2,1 =）由待定系数法确定。

取每个积分器的输出作为一个状态变量，系统的状态空间表达式分别为:
u x x
N ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=11110
0000
21λλλ
[]x c c c y n 2
1
=
或者
u x x
N ⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n 2121c c c 0
0000
λλλ
[]x y 111 =
以上两式为互为对偶。

系统的模拟结构图也互为对偶，分别绘制如下。

（2） 有重根的情况
设1λ有q 个重根，其余n q q λλλ,,,21 ++为互异根。

此时)(s W 的部分展开式为： ∑+=---+
-+-++-+-=
n
q i i
i
q q q
q s c s c s c s c s c s W 11
1112
1121
1)1(111)()()()()()(λλλλλ 系统的状态空间表达式为：
u x x
u x x
u x x
x x x
x x x
x x x
n n n q q q q q q q q +=+=+=+=+=+=+++--λλλλλλ
111111132122111
n n q q q q q q x c x c x c x c x c x c y +++++++=++-- 11111122)1(111
系统的状态空间表达式为
u x
x x x x x x x x
x x x x n q q q n q n q q q ⎥⎥⎥⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-++-1110000
00
00000
000001
0000001000001
11211
11
11121
λλλλλ
[
]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=+-+-n q q q n
q q q
x x x x x x c c c c c c y 11211
1112)1(11 系统的模拟结构图为：
1.6 由状态空间表达式求传递函数
1.6.1 传递函数（阵）
已知系统的状态空间表达式为
⎩⎨
⎧+=+=Du
Cx y Bu Ax x
一般情况0=D ,假设相应变量的初始条件为0。

对上式进行拉氏变换：
)
()()()()()(s DU s CX s Y s BU s AX s sX +=+=
[])
(][)()()()()()(1s BU A sI s X s BU s X A sI s BU s AX s sX --==-=- 则
)()(][)(1s DU s BU A sI C s Y +-=-
输入)(s U -输出)(s Y 之间的传递函数关系为
D B A sI C s U s Y s W +-==
-1][)
()
()( )(s W 为r m ⨯维传递函数矩阵，即
⎥
⎥
⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎢⎣⎡=)()()()()
()()()()()(21222
21
11211s W s W s W s W s W s W s W s W s W s W nr n n r r 意义：建立现代与经典的关系，从状态方程的ABCD 可求出传递阵（函数）。

传递函数的不变性： 对于同一个系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变换而不是唯一的，但它的传递函数矩阵是不变的。

令Tz x =或x T z 1-=（T 为非奇异矩阵），则原状态空间表达式转换成
Du
CTz y Bu T ATz T z
+=+=--11
则，对应的传递函数矩阵为
)
()[()[()[()()(~
11111111111s W D B A sI C D B AT T T sT C D
B T AT T T sT CT D
B T AT T sI CT s W =+-=+-=+-=+-=-----------
即同一系统其传递函数矩阵是唯一的。

例：（多输入-多输出）已知系统的状态空间表达式为
⎩
⎨
⎧+=+=Du Cx y Bu Ax x
其中
⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=20
01A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1001
B ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=1001
C 0=
D 求系统的传递函数矩阵。

[]⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=-20
0120
010
0s s s s
A sI
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣
⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡++++=
--=
-
-210
0111002)2)(1(1
1002
2
011[1
][1s s s s s s s s s s sI A
sI A sI
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡++=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢
⎢⎣
⎡++⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2100111001210
01
11001)(s s s s s W 例：（单输入-单输出）已知系统的状态空间表达式同上 其中⎥⎦⎤⎢
⎣⎡--=20
01
A ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=11b []11=C 0=D 求传递函数矩阵。

解：
[][])2)(1(3
21121001
1
111120010011][)(1
1+++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣
⎡++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+-=--s s s s s s s D
B A sI
C s W
1.6.2 子系统在各种连接时的传递函数
在控制系统中，往往有多个子系统组成一个系统，其连接方式有串联、并联或反馈连接等。

设已知两个子系统：
⎩⎨
⎧+=+=11111
11111u D x C y u B x A x
简记为∑),,,(:11
1
1
1
D C B A
和
⎩⎨
⎧+=+=2
222222222u D x C y u B x A x
简记为∑),,,(:22
2
2
2
D C B A
并联连接
u u u ==21，21y y y ±=
则系统的状态方程表达式为：
u B B x x A A x x ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121112100 [][]u D D x x C C y 21
2121
±+⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡±=
系统的传递函数阵为：
[]()
[][]
)
()()()()(00
)()(212
2122111112121121121s W s W D B A sI C D B A sI C D D B B A sI A sI C C s W +=+-±+-=±+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡--±=----
子系统并联时，其系统的传递函数矩阵等于传递函数的代数和。

串联连接
子系统串联时，其传递函数矩阵为： )()()(21s W s W s W = 输出反馈系统
1
111222222222
2111111111x C y x C B x A u B x A x x C B u B x A u B x A x
=+=+=-+=+=
写成向量形式就是
[]x
C y u B x A C B C B A x C B x A x C B u B x A x 001121221111222221111=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=
传递函数矩阵
[])()()()()()()()()()()()(21121111s Y s W s W s U s W s Y s U s W s U s W s Y s Y -=-===
[])
()()()()(121s U s W s Y s W s W I =+⇓
从而，有
[][])
()()()()
()()()()(11
21121s W s W s W I s W s U s W s Y s W s W I -+=⇓
=+
且有
[]1
121)()()()(-+=s W s W I s W s W
1.7 离散时间系统的状态空间表达式
线性离散系统状态空间描述，形式上类似于连续系统，一般形式为
⎩
⎨
⎧+=+=+)()()()()()
()()()()1(k u k D k x k C k y k u k H k x k G k x 其中：
n k x R ∈)(：n 维状态向量 r k u R ∈)(：r 维输入/控制向量 m k y R ∈)(：m 维输出向量
离散系统结构图如下
若系数矩阵均为常阵，则为定常系统：
⎩⎨
⎧+=+=+)
()()()
()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x 经典论中，离散系统的数学模型分为差分方程和脉冲传递函数两类，以下分别讨论其与状态空间表达式的关系：
1.7.1 差分方程化为状态空间表达式 根据输入函数，分两种情况 1.差分方程输入函数为bu (k ) 设系统差分方程为
)()()1()1()(11k bu k y a k y a n k y a n k y n n =++++-+++-
选取状态变量
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧+---=+=+=+=+⇒⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧-+=+==-)
()()()()1()()1()()1()1()()1()()
()(111
2121k bu k x a k x a n k y k x k x k x k x k x n k y k x k y k x k y k x n n n n n n
写成矩阵形式
[])
(0001)()()
(000)()()()(1000
01000010
)1()1()1()1(1121121121k x k x k y k u b k x k x k x k x a a a a k x k x k x k x n n n n n n n ==⎥⎥
⎥
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎣
⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++---- 或
⎩
⎨
⎧+=+=+)()()()
()()1(k Du k Cx k y k Hu k Gx k x 2.差分方程输入函数为u (k ), u (k +1)⋯ 设系统差分方程为
)
()1()1()()()1()1()(11011k u b k u b n k u b n k u b k y a k y a n k y a n k y n n n n ++++-+++=++++-+++--
与连续情形中包含输入函数导数类似，取
⎪⎪
⎩⎪⎪
⎨
⎧---+--+=-+-+=-=)
()1()1()()
()1()1()()()()(010201k u n k u n k y k x k u k u k y k x k u k y k x n n βββββ 其中，
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧⎥
⎥
⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--n n n n a a a b b b b 210110101212100000
ββββββββββ )()(101
0)1(1112
k u k x a a a k x n n n n
⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡---=+⇒--βββ
输出方程
[])()(001)(0k u b k x k y +=
例 已知离散系统差分方程为
)(2)1()()1(3)2(2)3(k u k u k y k y k y k y ++=++++++ 2,1,0;1,3,2;3..3210321========b b b b a a a n e i
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡Γ-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⇒2101322100
32101
20
10
32132100a a a b b b b ββββββββββ 向量形式
[])
(001)()(210)()()(2311010)1()1()1(321321k x k y k u k x k x k x k x k x k x =⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++
1.7.2 脉冲传递函数化为状态空间表达式 线性离散系统的脉冲传递函数为
d a z a z a z b z b z b z b z W n
n n n n
n n n +++++++++=-----11112211)(
1. 脉冲传递函数仅含单极点情形
))((lim ,)(22
11i z z i n n z z z W c d z z c z z c z z c z W i -=+-++-+-=
→
令
)()()1()(1
)(k u k x z k x z U z z z X i i i i
i +=+⇔-=
)()()()()(2211z dU z X c z X c z X c z Y n n ++++=⇒
即输出方程为
)()()()()(2211k du k x c k x c k x c k y n n ++++=
写成向量形式
[])()()()(111)()()()1()1()1(21212121k du k x c c c k y k u k x k x k x z z z k x k x k x n n n n +=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++ 2. 脉冲传递函数含重极点情形 设
d z z c z z c z z c z z c z z z z z z z N z W n n m m m m
n m m
+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-++-=---=
+++ 111111111)()
()()()
()(
[]
)
)((lim ))(()!1(1lim 11
1
,11i m z z i m m
i i z z i z z z W c z z z W dz d i c i
m +→+--→-=--=+
选取状态变量
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧-=-=-=-=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧-=-=-=---)
/()()()
/()()()/()()()
/()()()/()()()/()()()/()()(11
11
132121111211z z z U z X z z z X z X z z z X z X z z z X z X z z z U z X z z z U z X z z z U z X m m m m
m m
⎪⎩
⎪
⎨
⎧-=-=++)
/()()()
/()()(11n n m m z z z U z X z z z U z X ⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+⇒+++)
()()1()()()1(111k u k x z k x k u k x z k x n n n
m m m 而
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨
⎧-=-=-=-=--)
/()()()
/()()()/()()()
/()()(11
11132121z z z U z X z z z X z X z z z X z X z z z X z X m m m ⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪
⎨⎧+=++=++=++=+⇒--)
()()1()
()()1()()()1()()()1(111132122111k u k x z k x k x k x z k x k x k x z k x k x k x z k x m m m
m m
[][])()()()()()(111111z dU z X c z X c z X c z X c z Y n n m m m m ++++++=++ )()()()()()(111111k du k x c k x c k x c k x c k y n n m m m m ++++++=⇒++
写成向量形式即为
[])()()()
(11100)1()()()()(001
1
)1()1()1()1()1(111211
1211111121k du k x c c c c c k y k u k x k x k x k x k x z z z z z k x k x k x k x k x n m m n m m
n m n m m +=⎥⎥⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++++ 例 已知系统脉冲传递函数为
29
/419/4)1(3/4)2()1(4)(22++--+-=+-=z z z z z z W
写出离散系统的状态表达式
)
(949434
)()
(110)()()(200111)1()1()1(321321k x k y k u k x k x k x k x k x k x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++。