新教材高中数学3-3对数函数y=logax的图象和性质课件北师大版必修第一册

时，函数值趋近于正无穷大
于0时，函数值趋近于负无穷大
(2)本质：作出不同底数的对数函数在同一个坐标系中的图象，观察 这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们的共性即对数函数的性质；
(3)应用：①比较大小；②求定义域、值域；③解不等式；④求参数 的范围．
思考：对于对数函数 y＝log3x，y＝log5x，y＝log14x，y＝log16x，…， 为什么一定过点(1，0)?
学科素养
综合应用所学知识分析解决问题的能力 例 6 已知 f(x)＝ln1x－－m1x是奇函数．
(1)求 m； (2)判断 f(x)在(1，＋∞)上的单调性，并加以证明． [分析] (1)题目给定的关键条件是f(x)是奇函数，一般考虑用f(－x) ＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0(当0、－1在定义域中时)等，它是从反 面考查函数奇偶性的判定．
增函数 增函数 增函数
单调性 增函数 减函数 减函数 增函数 减函数 减函数
减函数 减函数 增函数
【对点练习】❷ (2022·河北沧州市高一期末测试)函数 f(x)＝log1(x2 2
－3x－10)的单调递增区间为
( A)
A．(－∞，－2)
B．(－∞，32)
C．(－2，32)
D．(5，＋∞)
[解析] 由题意，得x2－3x－10>0， ∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5. 令u＝x2－3x－10， 函 数 f(x) 的 单 调 递 增 区 间 即 为 函 数 u ＝ x2 － 3x － 10 在 ( － ∞ ， － 2)∪(5，＋∞)上的单调递减区间，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上递 减，故选A．
B．[－1，1]
C．12，2
D．－∞，
22∪[
2，＋∞)
[解析] 由－1≤2 log12x≤1，得－1≤－2log2x≤1.
解得 22≤x≤ 2.
4．函数f(x)＝lg(x2－2x－3)的单调递减区间是
( A)
A．(－∞，－1)
B．(－∞，1)
C．(1，＋∞)
D．(3，＋∞)
[解析] 令x2－2x－3>0，
A．(0，1)
B．(1，2)
C．(0，2)
D．(1，＋∞)
[错解] 错解一：因为函数f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上是减函数，根 据对数函数在0<a<1时单调递减，知选A．
错解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，根 据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0，1]上 为减函数，则需y＝logau为增函数，从而得a>1，故选D．
∵u>0，∴0<u≤4.
又 y＝log1u 在(0，＋∞)上是减函数， 2
∴log1u≥log14＝－2，
2
2
∴y＝log1(3＋2x－x2)的值域为{y|y≥－2}． 2
[归纳提升] 1.与对数函数有关的复合函数值域：求与对数函数有关 的复合函数的值域，一方面，要抓住对数函数的值域；另一方面，要抓 住中间变量的取值范围，利用对数函数的单调性来求其值域(多采用换元 法)．
[分析] 由图象来判断参数的大小情况，需要抓住图象的本质特征 和关键点．根据图中的四条曲线底数不同及图象的位置关系，利用logaa ＝1，结合图象判断．
[解析] 在图中作一条直线 y＝1. 由yy＝ ＝1lo，ga3x，得 loga3x＝1，所以 x＝a3.所以直线 y＝1 与曲线 C3：y ＝loga3x 的交点坐标为(a3，1)． 同理可得直线 y＝1 与曲线 C4，C1，C2 的交点坐标分别为(a4，1)，(a1， 1)，(a2，1)． 由图象可知 a3<a4<a1<a2，故选 B．
∴(x－3)(x＋1)>0，
∴x<－1或x>3.∴f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．
令u＝x2－2x－3，
函数f(x)的单调递减区间即为u＝x2－2x－3
在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的递减区间．故选A．
5．若 loga25＜1，则 a 的取值范围为_0_＜__a_＜__25_或__a_＞__1_． [解析] loga25＜1 即 loga25＜logaa，当 a＞1 时，函数 y＝logax 在定义 域内是增函数，所以 loga25＜logaa 总成立； 当 0＜a＜1 时，函数 y＝logax 在定义域内是减函数， 由 loga25＜logaa，得 a＜25，故 0＜a＜25. 故 a 的取值范围为 0＜a＜25或 a＞1.
[归纳提升] 1.熟记函数图象的分布规律，就能在解答有关对数图象 的选择、填空题时，灵活运用图象，数形结合解决．
2．对数值logax的符号(x>0，a>0且a≠1)规律：“同正异负”． (1)当0<x<1，0<a<1或x>1，a>1时，logax>0，即当真数x和底数a同大 于(或大于0且小于)1时，对数logax>0，即对数值为正数，简称为“同 正”；
[归纳提升] 1.求复合函数单调性的具体步骤是：(1)求定义域；(2) 拆分函数；(3)分别求y＝f(u)，u＝φ(x)的单调性；(4)按“同增异减”得出 复合函数的单调性．
2．复合函数y＝f[g(x)]及其里层函数μ＝g(x)与外层函数y＝f(μ)的单 调性之间的关系(见下表).
函数 y＝f(μ) μ＝g(x) y＝f[g(x)]
[归纳提升] 判断函数的奇偶性时，首先要注意求函数的定义域， 函数具有奇偶性，其定义域必须关于原点对称．
【对点练习】❹ 函数 f(x)＝lg
1 x2＋1
＋x是
A．奇函数
B．偶函数
C．既奇又偶函数
D．非奇非偶函数
( A)
[解析] 函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．
又 f(－x)＝lg
提示：当x＝1时，loga1＝0恒成立，即对数函数的图象一定过点(1， 0)．
基础自测
1．下列说法正确的个数是
(1)对数函数的图象都过定点(0，1)．
(2)对数函数的图象都在 y 轴的右侧．
(3)若对数函数
y＝log2ax
是减函数，则
1 0<a<2.
A．0
B．1
C．2
D．3
( C)
[解析] 对于(1)，对数函数的图象都过定点(1，0)，不正确；对于(2)， 由对数函数的图象可知正确；对于(3)，由对数函数的单调性可知，0<2a<1， 所以 0<a<12，正确．
2．对于形如y＝loga f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数的值域的求法的步 骤：①分解成y＝logau，u＝f(x)两个函数；②求f(x)的定义域；③求u的取 值范围；④利用y＝logau的单调性求解．
【对点练习】❸ 函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为
A．(0，＋∞)
B．[0，＋∞)
(2)当0<x<1，a>1或x>1，0<a<1时，logax<0，即当真数x和底数a中一 个大于1，而另一个大于0且小于1时，也就是说真数x和底数a的取值范围 “相异”时，对数logax<0，即对数值为负数，简称为“异负”．因此对 数的符号简称为“同正异负”．
3．指数型、对数型函数的图象与性质的讨论，常常要转化为相应 指数函数，对数函数的图象与性质的问题．
根据复合函数单调性“同增异减”法则，要使f(x)＝loga(2－ax)在 [0，1]上为减函数，则需y＝logau为增函数，所以a>1.
综上可得1<a<2，故选B．
[方法点拨] 对数型函数是考查定义域问题的重点函数．因此，在 解决真数中含参数的对数问题时，一定要保证真数大于0.忽略这一点， 可能会使所求参数范围扩大致误．如本例中，u＝2－ax在x∈[0，1]时一 定要保证u>0才有意义，请学生重点关注．
[错因分析] 在求解时，已经掌握了利用复合函数单调性“同增异 减”法则进行解答，但是忽视了对数函数的定义域问题，考虑问题不全 面，犯了知识性和能力性的双重错误．
[正解] 令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax为减函数，又 根 据 对 数 函 数 定 义 域 要 求 u ＝ 2 － ax 在 [0 ， 1] 上 恒 大 于 零 ， 当 x∈[0 ， 1] 时，umin＝2－a>0，解得a<2.
④当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0
④ 当 x>1 时 ， y>0 ； 当 0<x<1时，y<0
0<a<1
a>1
⑤在定义域(0，＋∞)上是减函数 ⑤在定义域(0，＋∞)上是增函数
性 当x值趋近于正无穷大时，函数值 当x值趋近于正无穷大时，函数
质 趋近于负无穷大；当x值趋近于0 值趋近于正无穷大；当x值趋近
关键能力•攻重难
题型一
题型探究 对数函数的图象
Hale Waihona Puke 例 1 已知图中曲线C1，C2，C3，C4分别是函数y＝loga1x，y＝ loga2x，y＝loga3x，y＝loga4x的图象，则a1，a2，a3，a4的大小关系是
( B) A．a4<a3<a2<a1 B．a3<a4<a1<a2 C．a2<a1<a3<a4 D．a3<a4<a2<a1
( A)
C．(1，＋∞)
D．[1，＋∞)
[解析] ∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴log2(3x＋1)>log21＝0，故该函数的值域为(0，＋∞)．
题型四
对数型复合函数的奇偶性
例 4 (2021·云南泸西县一中高一期中测试)已知函数f(x)＝loga(x ＋1)－loga(1－x)(a>0且a≠1)．
【对点练习】❶ 已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝a－x与函数g(x)＝
logbx在同一坐标系中的图象可能是
( B)
[解析] 由lga＋lgb＝0得ab＝1， 则f(x)与g(x)的单调性一致，故选B．
题型二
对数型复合函数的单调性
例 2 讨论函数f(x)＝loga(3x2－2x－1)的单调性． [分析] 求复合函数的单调性时，必须首先考虑函数的定义域，单 调区间必须是定义域的子集． [解析] 由 3x2－2x－1>0，得函数的定义域为xx>1或x<－31. 当 a>1 时，若 x∈(1，＋∞)，∵y＝logau 为增函数，又 u＝3x2－2x －1 为增函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
2．函数f(x)＝logax在(0，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是
()
C
A．(0，＋∞)
B．(－∞，1)
C．(0，1)
D．(1，＋∞)
[解析] 由对数函数的单调知识易知0<a<1.
3．已知函数 f(x)＝2log1x 的值域为[－1，1]，则函数 f(x)的定义域是 2
( A)
A．
22，
2
若 x∈－∞，13，∵u＝3x2－2x－1 为减函数， ∴f(x)＝loga(3x2－2x－1)为减函数． 当 0<a<1 时，y＝logau 为减函数，若 x∈(1，＋∞)，则 f(x)＝loga(3x2 －2x－1)为减函数， 若 x∈－∞，－13，则 f(x)＝loga(3x2－2x－1)为增函数．
第四章 对数运算与对数函数
§3 对数函数 3.3 对数函数y＝logax的图象和性质
必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基
必备知识•探新知
基础知识
知识点1 对数函数的图象和性质 (1)图象和性质：
0<a<1
a>1
图象
性质
0<a<1
a>1
①定义域：(0，＋∞)
②值域：R
③过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
题型三
对数型复合函数的值域
例 3 求下列函数的值域：
(1)y＝log2(x2＋4)；
(2)y＝log1(3＋2x－x2)． 2
[解析] (1)y＝log2(x2＋4)的定义域为R. ∵x2＋4≥4，∴log2(x2＋4)≥log24＝2. ∴y＝log2(x2＋4)的值域为{y|y≥2}．
(2)设 u＝3＋2x－x2，则 u＝－(x－1)2＋4≤4.
1
x2＋1－x
＝lg
x2＋
x2＋1＋x
1－x
x2＋1＋
x
＝lg(
x2＋1＋x)
＝lg
1
－1
x2＋1＋x
＝－lg x2＋11＋x＝－f(x)，
∴函数 f(x)为奇函数．
误区警示
忽视对数函数的定义域
例 5 若函数y＝loga(2－ax)在x∈[0，1]上是减函数，则a的取值范
围是
( B)
(1)求f(x)的定义域； (2)判断函数f(x)的奇偶性并加以证明． [分析] (1)函数奇偶性判断的方法是什么？ (2)对数的运算法则是什么？
[解析] (1)由题意得1x＋－1x>>00，， ∴－1<x<1. ∴函数 f(x)的定义域为(－1，1)． (2)由(1)知函数 f(x)的定义域为(－1，1)关于原点对称． ∴f(－x)＝loga(－x＋1)－loga(1＋x) ＝－[loga(1＋x)－loga(1－x)] ＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数．