高等数学《三重积分》课件

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注: 1．可积性: f 连续 可积
2．物理意义
如果f(x,y,z)表示某物体在点(x,y,z)处的体密度，Ω 是该物体所占的空间闭区域，f(x,y,z)在Ω上连续， 则
物体的质量 M f ( x, y, z)dv 3．几何意义
的体积 V dxdydz
4．性质 同二重积分 4
8.3.2、直角坐标系下的三重积分的计算法
f (z, x,
y)]dV
若为球面x 2 y 2 z 2 R2所围，则
x 2dV
y 2dV
z2dV
1 3
[ x 2
y2
z 2 ]dV
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例 3 利用对称性简化计算
z ln( x2 y2 z2 1)
x2 y2 z2 1 dxdydz 其中积分区域 {(x, y, z) | x2 y2 z2 1}.
其中A(z)是Dz的面积
习题8.3.1
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o
y
或D(z)，即
x
{( x, y, z)( x, y) Dz ,c1 z c2}
f ( x, y, z)dv c2 dz f ( x, y, z)dxdy (3)
c1 Dz
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f (x, y, z)dv c2 dz
z
f ( x, y, z)dxdy
c1
Dz
上式的适用范围：
其中在每vi表个示v第i上i个任小取闭一区点域(，i ,也i表, 示i)它，的作体乘积积。f ( i ,
i,
i)
vi
(i=1,2,…
n
,n)
，
并作和 f (i ,i , i )vi。
如果当各i 1小闭区域直径的最大值 趋于零时
这个和的极限总存在, 则称此极限为函数
f (x, y, z)在闭区域 上的三重积分。
于是
1
1 x2
1
f ( x, y, z)dv dx
dy f ( x, y, z)dz
1 1 x2
x2 y2
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(2) : z x2 2 y2 , z 2 x2所围。
解
由
z
x2 z2
2 x
y
2
2
,
得交线投影区域
x 2 y 2 1,
1 x1
故 ： 1 x2 y 1 x2 ,
15 18
例5 计算I ( y4 sin x z)dxdydz,
z
: x2 y2 z2 2Rz
解 关于yoz平面对称， y4sinx关于x是奇函数
• z Dz
o
y
x
y4 sin xdv 0
Dz : x2 y2 2Rz z2
I
( y4 sin x
z)dv
zdv
2R
0 zdz dxdy
0
2 1
f
( x,
y, z)dv
f 关于z是奇函数 f 关于z是偶函数
空间区域Ω关于其它两个坐标平面对称由类似结论
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(2) 若Ω关于变量x，y，z具有轮换对称性，则有
f (x, y, z)dv f ( y, z, x)dv f (z, x, y)dv
1 3
[
f
(
x,
y, z)
f ( y, z, x)
o
2
解 xdxdydz
y
1 x2 y
(0 x dz)d
x A (1,0,0) y
Dxy
1 x
1
1 x2 y
dx 2 dy
x dz
0
0
0
1 2 x+2y=1
1
1 x
dx 2 x(1 x 2 y)dy
0
0
Dxy
1
(x
2x2
x3 )dx
0
1。 48
o
1x
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例2 化三重积分 f ( x, y, z)dv为三次积分
函数，则 F( x, y) z2( x,y) f ( x, y, z)dz z1 ( x, y)
计算 F ( x, y) 在闭区间 D 上的二重积分
F ( x, y)d [ z2( x,y) f ( x, y, z)dz]d .
D
D z1 ( x, y )
若D : y1 ( x) y y2 ( x), a x b, 得
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
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用物理意义讨论三重积分的计算方法
Ω
:
z1
( (
x, x,
y) ≤z ≤z2(x, y)∈D
y)
z z2(x, y)
z
细长柱体微元的质量为
z2( x, y) f ( x, y, z)dz d xd y
z1 ( x, y)
z z1(x, y)
该物体的质量为
O
y
f (x, y, z)dv
xD
dxd y
f z2( x, y) ( x, y, z)dz d xd y
D记作z1( x, y) d xd y
z2(x,y) f ( x, y, z)dz
D
z1 ( x, y )
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先将 x, y 看作定值，将 f ( x, y, z)只看作 z 的
x1 ( y,z )
3．区域的划分
(i) 当平行于母线（相应的坐标轴）而穿过Ω内部 的直线与Ω的边界曲面的交点多于两个时
(ii) 曲顶（或曲底）的方程不能用统一的表达 式给出时
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例1 计算三重积分 xdxdydz,
z C (0,0,1)
其中为三个坐标面及平面x
2y z 1 所围成的闭区域。
B(0, 1 ,0)
f (x, y, z)dv
b
dx
y2
(
x
)
dy
z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
a
y1 ( x )
z1 ( x, y )
上式的数学方法概括为：“先一后二法”，“投影法”
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2．母线平行y轴或x轴的柱体时
: y1 (z, x) y y2 (z, x), (z, x) Dzx
f ( x, y, z)dv dzdx y2(z,x) f ( x, y, z)dy
Dzx
y1 ( z, x )
: x1 ( y, z) x x2 ( y, z), ( y, z) Dyz
f ( x, y, z)dv dydz x2( y,z) f ( x, y, z)dx
D yz
8.3 三重积分
8.3.1 三重积分的概念与性质 8.3.2 直角坐标下三重积分的计算法 8.3.3 柱面坐标下三重积分的计算法 8.3.4 球面坐标下三重积分的计算法
1
8.3.1、 三重积分的定义 定义1 设f (x,y,z)是空间有界闭区域 上的有界 函数。将任意分成n个小闭区域
v1, v2,…, vn,
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z 的奇函数,
z
ln( x2 x2
y
y2 2
z2 z2
1
1)
dxdydz
0.
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第二种情况:截面法
z
又叫“先二后一法”
c2
设区域 夹在平面z =
c1，z = c2(c1 c2)之间
Dz
用竖坐标为z (c1 z c2) c1
的平面截所得截面为Dz
n
f (x, y, z)dv
lim 0
i 1
f (i,i, i)vi
(1)
2
n
f (x, y, z)dv
lim 0
i 1
f (i,i, i)vi
(1)
其中dv叫做体积元素。
在直角坐标系中，如果用平行于坐标面的 平面来划分，
在直角坐标系下的体积元素：dv=dxdydz
f (x, y, z)dv f (x, y, z)dxdydz
(1)
:
z
x
2
y2,
z
1所围。
解：曲面z=x2+y2与平面z=1的交线在xOy平面上的投 影曲线为: x2+y2=1
Ω在xOy平面上的投影区域为Dxy: x2+y2≤1
: x2 y2 z 1,( x, y) Dxy
z 1
而Dxy可用不等式组
O
y
1 x 2 y 1 x 2 ,1 x 1 x
基本方法：化三重积分为三次单积分
第一种情况：投影法。
1．Ω为母线平行于z轴的曲顶，曲底柱体时
如图， 闭区域 在 xoy z 面上的投影为闭区域D,
S1 : z z1(x, y),
S2 : z z2(x, y),
过点 ( x, y) D 作直线,
o
a
从
z1
穿入，从
z2
穿出．b
x
z z2( x, y)
x2 2 y2 z 2 x2
2 x2
f
( x,
y, z)dv
dxdy x22 y2
f
( x,
y, z)dz
Dxy
1
1 x2
2 x2
dx
dy
f ( x, y, z)dz.
1
1 x2
x22 y2
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4、三重积分的对称性质
(1) 若空间区域Ω关于xoy面对称，则
f ( x, y, z)dv 其中1是的上半部分
∫ =
2R (2Rz2
0
-
z3 )dz
(2
3
Rz3
z4 4
)
2R 0
Dz
4 R4。
3
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内容小结
1. 掌握直角坐标下的三重积分的计算方法
1、 投影法；先一后二
: z1 ( x, y) z z2 ( x, y), ( x, y) Dxy
f ( x, y, z)dv dxdy z2(x,y) f ( x, y, z)dz
Dxy
z1 ( x, y )
2、 平行截面法；先二后一
{( x, y, z) ( x, y) Dz ,c z d}
d
则有 f ( x, y, z)dv c dz f ( x, y, z)dxdy
特别当f
(x,y,z)只是z)=(z),
f
( x,
y,
z)dv
d
c (z)A(z)dz
Dz
①Dz简单（圆、椭圆、长方形等）
② f (x,y,z)在Dz上对x、y的二重积 o
y
分简单，
x
特别当f (x,y,z)只是 z 的函数：f (x,y,z)=(z),
有 f ( x, y, z)dxdy (z)dxdy (z)A(z)
Dz
Dz
其中A(z)是Dz的面积，于是
d
f ( x, y, z)dv c (z)A(z)dz
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例4 计算三重积分 z2dv,其中是由椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1所围成的空间闭区域。c z
z
Dz
解
:
-c ≤z ≤c
Dz
:
x2 a2
+
y2 b2
≤1
-
z c
2 2
O a
by
用“x 先二后一 ”
z2dxdydz
c z2dz dxdy c
Dz
ab
c
(1
c
z c
2 2
)z
2dz
4 abc3。
15
17
类似地可得到
y2dxdydz
b
b
y2dy
dzdx
b b
y2
ac(1
y2 b2
Dy
)dy
4 15
ab3c。
x2dxdydz
a x2dx a
dydz
a a
x 2
bc(1
x2 a2
Dx
)dx
4 15
a 3bc;
( x2 y2 z2 )dxdydz
4 abc(a2 b2 c2 )