高中竞赛奥林匹克数学训练题

数学奥林匹克高中训练题

第一试

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）

1．(训练题34)对于一切实数x ，所有的二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a ＜b)的值恒为非负实数. 则a +b +c

M =

b -a

的最小值是(D)． (A)2

1 (B)3

1 (C)

2 (D)3

2．(训练题34)已知曲线y 2=ax 与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点. 如果过这两个交点的直线的倾斜角为45°，那么实数a 的值是(A)．

(A)2 (B)4 (C)2

1 (D)4

1

3．(训练题34)已知△ABC 的三边长a 、b 、c 满足关系式a 2－a －2b －2c=0，a+2b －2c+3=0. 则△ABC 最大内角的度数是(B)． (A)150° (B)120° (C)90° (D)60° 4．(训练题34)设f(x)=x 4+ax 3+bx 2+cx+d ，其中a 、b 、c 、d 为常数. 如果f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，那么1[f(4)+f(0)]4

的值是(C)．

(A)1 (B)4 (C)7 (D)8

5．(训练题34)设函数22()(1x x n y f x x R x x -+==∈++且*1

,)2

n x n N -≠∈的最小

值为a n ，最大值为b n ，记c n =(1－a n )(1－b n ). 则数列{c n } (C)． (A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为1的等比数列

(C)是常数列 (D)不是等差数列也不是等比数列

6．(训练题34)设M 是集合S={1，2，3，…，1998}的子集，且M 中每一个正整数（元素）仅含有一个0. 则集合M 所含元素最多有(D)．

(A)324个 (B)243个 (C)495个 (D)414个

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）

1．(训练题34)已知关于x 的实系数方程x 2－2x+2=0和x 2+2mx+1=0的四个不同的根在复平面内对应的点共圆，则m 取值的集合是

311,,2m m or m ⎧⎫-<<=-⎨⎬⎩

⎭ ．

2．(训练题34)

已知33sin αcos αkπ

==,k Z)ππ4sin(-3α)cos(-3α)66

≠∈. 则

tan2α

的值是

． 3．(训练题34)自椭圆14

y 9x 2

2=+的中心作两条互相垂直的弦

AC 和BD ，

顺次连结A 、B 、C 、D 得一四边形. 那么四边形ABCD 面积S 的最大值是 12 ．

4．(训练题34)设正数数列{a n }的前n 项和为S n ，且存在正数t ，使得对于所有的正整数n

2n

t a +=成立.

如果n n <t →∞

，那么t 的取值范围是

2

t >

． 5．(训练题34)已知球内接四棱锥S —ABCD 的底面是矩形ABCD ，且SA=4，SB=8，SD=7，∠SAC=∠SBC=∠SDC. 则BD 的长是 BD ＝9 ．

6．(训练题34)已知正整数m 、n 满足m+n=19. 则关于x 的方程cosmx=cosnx 在区间[0，π]上的解的个数的最大值是 ． 三、(训练题34)(本题满分20分)复数z 1、z 2、z 3、z 4、z 5满足

12312124121253434||1,||1,|2-()||-||2-()||-||2-()||-|z z z z z z z z z z z z z z z z z ≤⎧⎪≤⎪⎪

+≤

⎨⎪+≤⎪⎪+≤

⎩，求|z 5|的最大值． 四、(训练题34)(本题满分20分)设t 1、t 2是方程t 2－(5a －2)t －3a 2－7a+1=0的两个不等的实根. 求实数a 的值，使得对于任何非零实

数m ，函数3

312f(x)=cos(m πx)cos[(t +t )πx]⋅是周期函数．

五、(训练题34)(本题满分20分)如图，三棱锥P —ABC 的底面ABC 与圆锥SO 的底面⊙O 都在平面α上，且⊙O 过点A ，又⊙O 的直径AD ⊥BC ，垂足为E. 设三棱锥P —ABC 的所有棱长都是1，圆锥的底面直径与母线长也都是1. 求圆锥的顶点S 到三棱锥P —ABC 的三个侧面的距离．

第二试

一、(训练题34)(本题满分50分)设0＜x 1＜x 2＜…＜x n ＜1.

求

证

：

2

n

212

n

n 2232

n+1212n x x x (1-x )+++<1.(1-x )(1-x )

(1-x )⎡⎤⎢⎥⎣⎦

． 二、(训练题34)(本题满分50分)设凸六边形ABCDEF 的六个内角均

为钝角，且AB ∥DE ，BC ∥EF ，CD ∥FA. 以三边AB 、CD 、EF 为边向内各作一个矩形，使它们的顶点两两重合，构成△PQR （如图）. 求证：矩形

ABRQ 、CDPR 、EFQP 的面积之比等于sin2C ∶sin2E ∶sin2A ．

三、(训练题34)(本题满分50分)给定平面上n （n ≥2）个相异的点．

证明：其中距离为1的点对不超过3

21n .4