高中竞赛奥林匹克数学训练题

数学奥林匹克高中训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题34)对于一切实数x，所有的二次函数f(x)=ax2+bx+c(a
＜b)的值恒为非负实数. 则a+b+cM=b-a的最小值是(D)．
(A)21 (B)31 (C)2 (D)3
2．(训练题34)已知曲线y2=ax与其关于点（1，1）对称的曲线有两
个不同的交点. 如果过这两个交点的直线的倾斜角为45°，那么实
数a的值是(A)．
(A)2 (B)4 (C)21 (D)41
3．(训练题34)已知△ABC的三边长a、b、c满足关系式a2－a－2b
－2c=0，a+2b－2c+3=0. 则△ABC最大内角的度数是(B)．
(A)150° (B)120° (C)90° (D)60°
4．(训练题34)设f(x)=x4+ax3+bx2+cx+d，其中a、b、c、d为常数. 如
果f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，那么1[f(4)+f(0)]4的值是(C)．
(A)1 (B)4 (C)7 (D)8
5．(训练题34)设函数22()(1xxnyfxxRxx且*1,)2nxnN的最小
值为an，最大值为bn，记cn=(1－an)(1－bn). 则数列{cn} (C)．
(A)是公差不为零的等差数列 (B)是公比不为1的
等比数列
(C)是常数列 (D)不是等差数列
也不是等比数列
6．(训练题34)设M是集合S={1，2，3，…，1998}的子集，且M中
每一个正整数（元素）仅含有一个0. 则集合M所含元素最多有(D)．
(A)324个 (B)243个 (C)495个
(D)414个

二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1．(训练题34)已知关于x的实系数方程x2－2x+2=0和x2+2mx+1=0的
四个不同的根在复平面内对应的点共圆，则m取值的集合是
311,,2mmorm





．

2．(训练题34)已知33sinαcosαkπ==3(a,kZ)ππ4sin(-3α)cos(-3α)66. 则tan2α

的值是 34 ．
3．(训练题34)自椭圆14y9x22的中心作两条互相垂直的弦AC和BD，
顺次连结A、B、C、D得一四边形. 那么四边形ABCD面积S的最大
值是 12 ．
4．(训练题34)设正数数列{an}的前n项和为Sn，且存在正数t，使

得对于所有的正整数n有2nntatS成立. 如果nnnS

的取值范围是 322t ．
5．(训练题34)已知球内接四棱锥S—ABCD的底面是矩形ABCD，且
SA=4，SB=8，SD=7，∠SAC=∠SBC=∠SDC. 则BD的长是 BD＝
9 ．
6．(训练题34)已知正整数m、n满足m+n=19. 则关于x的方程
cosmx=cosnx在区间[0，π]上的解的个数的最大值是 ．
三、(训练题34)(本题满分20分)复数z1、z2、z3、z4、z5满足
1
2
31212
41212
53434

||1,||1,|2-()||-||2-()||-||2-()||-|zzzzzzzzzzzzzzzzz



















，求|z5|的最大值．

四、(训练题34)(本题满分20分)设t1、t2是方程t2－(5a－2)t－3a
2
－7a+1=0的两个不等的实根. 求实数a的值，使得对于任何非零实
数m，函数3312f(x)=cos(mπx)cos[(t+t)πx]是周期函数．
五、(训练题34)(本题满分20分)如图，三棱锥P—ABC的底面ABC与
圆锥SO的底面⊙O都在平面α上，且⊙O过点A，又⊙O的直径AD
⊥BC，垂足为E. 设三棱锥P—ABC的所有棱长都是1，圆锥的底面
直径与母线长也都是1. 求圆锥的顶点S到三棱锥P—ABC的三个侧
面的距离．

第二试
一、(训练题34)(本题满分50分)设0＜x1＜x2＜…
＜xn＜1.
求证：

E
C
D

S

B
A
P

O

A
B

C
D
E
F
QPR
2n
2
12n

n
2232n+12

12n

xxx
(1-x)+++<1.

(1-x)(1-x)(1-x)






．

二、(训练题34)(本题满分50分)设凸六边形ABCDEF的六个内角均
为钝角，且AB∥DE，BC∥EF，CD∥FA. 以三边AB、CD、EF为边
向内各作一个矩形，使它们的顶点两两重合，构成△PQR（如图）.
求证：矩形ABRQ、CDPR、EFQP的面积之比等于sin2C∶sin2E∶
sin2A．
三、(训练题34)(本题满分50分)给定平面上n（n≥2）个相异的点．
证明：其中距离为1的点对不超过3211n+n.42