江西高二高中数学期中考试带答案解析

江西高二高中数学期中考试
班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________
一、选择题
1.命题“存在，使”的否定是（）．
A．存在，使 B．不存在，使
C．对于任意，都有 D．对于任意，都有
2.在空间中，下列命题正确的是（）
A．平行于同一平面的两直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行
3.已知平面内两定点及动点，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么
A．甲是乙成立的充分不必要条B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件
4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）
A．B．C．D．4
5.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a、b的夹角的余弦值为8/9，则λ的值为()
A．2B．－2C．－2或2/55D．2或－2/55
6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ）
A．B．C．D．
7.已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是（）
A．B．
C．D．
8.过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在抛物线准线上的射影为、，则∠= A． B. C. D.
9.下列命题中真命题的个数为：( )
①命题“若，则x,y全为0”的逆命题；
②命题“全等三角形是相似三角形”的否命题；
③命题“若m>0,则有实根”的逆否命题；
④命题“在中，、、分别是角A、B、C所对的边长，若,则”的逆否命题。

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
10.已知抛物线，过点的直线交抛物线于点M、N，交y轴于点P，若
，则（）
A．1B．C．-1D．-2
二、填空题
1.抛物线的焦点坐标是
2.、是椭圆的焦点，在C上满足的点P的个数
为 .
3.如图，在棱长为1的正方体-中，点到平面的距离。

4.过椭圆的左焦点的弦AB的长为3，且，则该椭圆的离心率为。

5.有下列五个命题:
①平面内，到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线；
②在平面内，F1、F2是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是椭圆；
③“在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；
④“若则方程是椭圆”。

⑤已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底。

其中真命题的序号是 .
三、解答题
1.（本小题满分12分）
给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有两个正根；如果或为真，且为假，求实数的取值范围．
2.（本小题满分12分）
如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设．
（1）用表示；
（2）求的长．
3.（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，
底面，是的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若平面，求异面直线与所成角的余弦值；
4.（本小题满分12分）
在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面，，M、N分别为AB、SB的中点。

（1）证明：；
（2）求点B到平面CMN的距离。

5.（本小题满分13分）
如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且
求动点的轨迹的方程；
6.（本小题满分14分）
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。

（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

江西高二高中数学期中考试答案及解析
一、选择题
1.命题“存在，使”的否定是（）．
A．存在，使 B．不存在，使
C．对于任意，都有 D．对于任意，都有
【答案】D
【解析】略
2.在空间中，下列命题正确的是（）
A．平行于同一平面的两直线平行B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行D．垂直于同一平面的两条直线平行
【答案】D
【解析】略
3.已知平面内两定点及动点，设命题甲是：“是定值”，命题乙是：“点的轨迹是以为焦点的椭圆”，那么
A．甲是乙成立的充分不必要条B．甲是乙成立的必要不充分条件
C．甲是乙成立的充要条件D．甲是乙成立的非充分非必要条件
【答案】B
【解析】略
4.若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则p的值为（）
A．B．C．D．4
【答案】A
【解析】【考点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．
分析：根据椭圆方程算出椭圆右焦点是（2，0），由抛物线方程得抛物线的焦点为（，0），因此建立关于p 的方程，解之即可得到实数p的值．
解：∵抛物线方程为y2=x，
∴抛物线的焦点为F（，0）
∵椭圆的方程为
∴c==2，得到椭圆右焦点是（2，0），
结合椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，得=2，解之得p=
故选：A
5.若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)，a、b的夹角的余弦值为8/9，则λ的值为()
A．2B．－2C．－2或2/55D．2或－2/55
【答案】C
【解析】【考点】数量积表示两个向量的夹角．
分析：用向量的内积公式建立方程，本题中知道了夹角的余弦值为8/9，故应用内积公式的变形来建立关于参数λ的方程求λ．
解：由题意向量=（1，λ，2），=（2，-1，2），且与的夹角余弦值为，
故有cos＜，＞===，
解得：λ=-2或．
故应选C．
6.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是( ）
A．B．C．D．
【答案】B 【解析】略
7. 已知三点不共线，对平面外的任一点，下列条件中能确定点与点一定共面的是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【解析】略
8.过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在抛物线准线上的射影为
、，则∠=
A ． B. C. D. 【答案】A
【解析】【考点】抛物线的简单性质．
分析：由抛物线的定义及内错角相等，可得∠AFA 1=∠A 1FK ，同理可证∠BFB 1=∠B 1FK ，由
∠AFA 1+∠A 1FK+∠BFB 1+∠B 1FK=180°，可得答案．
解：如图：设准线与x 轴的交点为K ，∵A 、B 在抛物线的准线上的射影为A 1、B 1，
由抛物线的定义可得，AA 1=AF ，∴∠AA 1F=∠AFA 1，又由内错角相等得∠AA 1F=∠A 1FK ，∴∠AFA 1=∠A 1FK ． 同理可证∠BFB 1=∠B 1 FK ． 由∠AFA 1+∠A 1FK+∠BFB 1+∠B 1FK=180°， ∴∠A 1FK+∠B 1FK=∠A 1FB 1=90°， 故选A 。

9.下列命题中真命题的个数为：( ) ①命题“若，则x,y 全为0”的逆命题； ②命题“全等三角形是相似三角形”的否命题； ③命题“若m>0,则有实根”的逆否命题； ④命题“在中，、、分别是角A 、B 、C 所对的边长，若,则”的逆否命题。

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C
【解析】本题考查四种命题的相互关系 ①“若则全为”的逆命题为“若全为，则”为真命题；
②命题“全等三角形是相似三角形”的逆命题为“相似三角形是全等三角形”是假命题，则其否命题也是假命题； ③因为时，则方程必有实数根，则命题“若m>0,则有实根”为真，故逆否命题也为真； ④在中，、、分别是角A 、B 、C 所对的边长，若,则”是真命题，则其逆否命题也为真.
即真命题的个数为3个 故正确答案为C
10.已知抛物线，过点的直线交抛物线于点M 、N ，交y 轴于点P ，若
，则
（ ）
A ．1
B ．
C ．-1
D ．-2
【答案】C
【解析】本题考查向量和圆锥曲线的计算。

解决这类选择题和填空题时可以举一个特例计算答案。

如图是抛物线，过点做一条直线，交抛物线于点.(这样选取的目的是得到各个点的坐标都是整数)。

从图中知，,知.
二、填空题
1.抛物线的焦点坐标是
【答案】(0,)
【解析】本题考查抛物线的几何性质
抛物线的焦点坐标为.
由得，则其焦点坐标.
2.、是椭圆的焦点，在C上满足的点P的个数
为 .
【答案】2
【解析】本题考查椭圆的几何性质
由知，点在以为为直径的圆上，此圆与椭圆的交点的个数即为满足的点的个数
由得，则，则
则以为直径的圆的方程为
由得，即椭圆与圆有两个交点，故满足条件的点的个数为
3.如图，在棱长为1的正方体-中，点到平面的距离 。

【答案】
【解析】【考点】点、线、面间的距离计算．
分析：利用等体积即V c-A1BD =V A1-BCD ，转化为点C 到平面A 1BD 的距离． 解：构造三棱锥C-A 1DB ，并且有V c-A1BD =V A1-BCD ， 因为V A1-BCD = sh=××1×1×1=， 所以V c-A1BD =．
设点C 到平面A 1BD 的距离为x ， 又因为V c-A1BD =×S A1BD ×x= =，
所以x=，即点C 到平面A 1BD 的距离为．
故答案为．
4.过椭圆
的左焦点
的弦AB 的长为3，
且
，则该椭圆的离心率为 。

【答案】
【解析】如图，由，且，
可得，由椭圆定义，
，
所以，又
，所以
，则
，所以
，则离心
率
.
5.有下列五个命题:
①平面内，到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线；
②在平面内，F1、F2是定点，，动点M满足，则点M的轨迹是椭圆；
③“在中，“”是“三个角成等差数列”的充要条件；
④“若则方程是椭圆”。

⑤已知向量是空间的一个基底，则向量也是空间的一个基底。

其中真命题的序号是 .【答案】
【解析】①平面内，到一定点的距离等于到一定直线距离的点的集合是抛物线；要求定点不在定直线上，否则点的轨迹为过定点且垂直于定直线的一条直线
②椭圆定义为到两定点的距离之和为定值的点的集合，这里要求这个和值要大于两定点间的距离，等于两定点间的距离的轨迹为两定点连线段。

③三个角成等差数列可以推到，又因为,所以，而由，即三个角成等差数列，所以“”是“三个角成等差数列”的充要条件；
④当时，即时，该方程表示圆
⑤假设共面，则存在实数λ、μ，使得
∴
∵{ }为基底
∴不共面
∴1＝μ,1＝λ,0＝λ＋μ
此方程组无解
∴不共面
三、解答题
1.（本小题满分12分）
给定两个命题,：对任意实数都有恒成立；：关于的方程有两个正根；如果或为真，且为假，求实数的取值范围．
【答案】P:
Q:,即
【解析】略
2.（本小题满分12分）
如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设．
（1）用表示；
（2）求的长．
【答案】
【解析】略
3.（本小题满分12分）
如图，四棱锥的底面为一直角梯形，其中，
底面，是的中点．
（1）求证：//平面；
（2）若平面，求异面直线与所成角的余弦值；
【答案】解：设，建立如图的空间坐标系，，,
，.
（1），，所以，
平面，平面
.
【解析】略
4.（本小题满分12分）
在三棱锥中，△ABC是边长为4的正三角形，平面，，M、N分别为
AB、SB的中点。

（1）证明：；
（2）求点B到平面CMN的距离。

【答案】
（2）由（1）知：，又平面，取BP中点Q，连结NQ
又N为SB中点
，而，
过Q作，连结NK，
则即为二面角N－CM－B的平面角
设CM交BP于O，则，
所以二面角N－CM－B的大小为。

（3）由（2）知：
设B到平面CMN的距离为d，则
，
点B到平面CMN的距离为。

【解析】略
5.（本小题满分13分）
如图，已知点，直线，为平面上的动点，过作直线的垂线，垂足为点，且
求动点的轨迹的方程；
【答案】
联立方程组，消去得：，，故
由，得：
，，整理得：，，
．
【解析】略
6.（本小题满分14分）
如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M（2，1），平行于OM的直线在y轴上的截距为m（m≠0），交椭圆于A、B两个不同点。

（1）求椭圆的方程；
（2）求m的取值范围；
（3）求证直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形。

【答案】解：（1）设椭圆方程为
………………1分
则………………………3分
∴椭圆方程为………………4分
（2）∵直线l平行于OM，且在y轴上的截距为m
又KOM=……………5分
由…………………………6分
故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形.…………………14分【解析】略。