人教版八年级下册数学教案-第17章 勾股定理-17.1 勾股定理

17.1勾股定理

第1课时勾股定理及其证明

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1．了解勾股定理的发现过程．

2．掌握勾股定理的内容．

3．会用面积法证明勾股定理．

【过程与方法】

经历观察—猜想—归纳—验证等一系列过程，体会数学定理发现的过程；在观察、猜想、归纳、验证等过程中培养学生的数学语言表达能力和初步的逻辑推理能力．【情感态度与价值观】

通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习兴趣；在探究活动中，体验解决问题的方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神．

二、重难点目标

【教学重点】

勾股定理的探究及证明．

【教学难点】

掌握勾股定理，并运用它解决简单的计算题．

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

【5 min阅读】阅读教材P22～P24的内容，完成下面练习．

【3 min反馈】

1．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.

2．(1)教材P23“探究”，如图，每个方格的面积均为1，请分别算出图中正方形A、B、C、A′、B′、C′的面积．

解：A 的面积＝4；B 的面积＝9；C 的面积＝52－4×1

2×(2×3)＝13；所以A ＋B ＝C .A ′

＝9；B ′＝25；C ′＝82－4×1

2×(5×3)＝34；所以A ′＋B ′＝C ′.所以直角三角形的两直

角边的平方和等于斜边的平方．

(2)阅读、理解教材P23～P24“赵爽弦图”证明勾股定理．

解：朱实＝12ab ；黄实＝(a －b )2；正方形的面积＝4朱实＋黄实＝(a －b )2＋1

2ab ×4＝a 2＋

b 2－2ab ＋2ab ＝a 2＋b 2.又正方形的面积＝

c 2，所以a 2＋b 2＝c 2，即直角三角形两直角边的平方和等于第三边的平方．

环节2 合作探究，解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)

【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，再作三个边长分别为a 、b 、c 的正方形，将它们像下图所示拼成两个正方形．

证明：a 2＋b 2＝c 2.

图1

图2

【互动探索】(引发学生思考)从整体上看，这两个正方形的边长都是a ＋b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．

【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a ＋b ，∴它们的面积相等．又∵左边的正方形面积可表示为a 2＋b 2＋12ab ×4，右边的正方形面积可表示为c 2＋12ab ×4，∴a 2＋b 2＋

1

2ab ×4＝c 2＋1

2

ab ×4，∴a 2＋b 2＝c 2.

【互动总结】(学生总结，老师点评)通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．

【例2】 已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 为两直角边，c 为斜边． (1)若a ＝3，b ＝4，则c 2＝____，c ＝____； (2)若a ＝6，b ＝8，则c 2＝____，c ＝____；

(3)若c＝41，a＝9，则b＝____；

(4)若c＝17，b＝8，则a＝____.

【互动探索】(引发学生思考)根据勾股定理求解．

【分析】(1)c2＝a2＋b2＝32＋42＝25，则c＝5.(2) c2＝a2＋b2＝62＋82＝100，则c＝10.(3) 因为c2＝a2＋b2，所以b＝c2－a2＝412－92＝40.(4)因为c2＝a2＋b2，所以a＝c2－b2＝172－82＝15.

【答案】(1)255(2)10010(3)40(4)15

【互动总结】(学生总结，老师点评)本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a、b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.a2＋b2＝c2的常用变形b＝c2－a2，a＝c2－b2.

活动2巩固练习(学生独学)

1．在△ABC中，∠C＝90°.若a＝5，b＝12，则c＝13；若c＝41，a＝9，则b＝40.

2．等腰△ABC的腰长AB＝10 cm，底BC为16 cm，则底边上的高为6_cm，面积为48_cm2.

3．已知在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.

(1)若a＝1，b＝2，求c；

(2)若a＝15，c＝17，求b.

解：(1)根据勾股定理，得c2＝a2＋b2＝12＋22＝5.∵c>0，∴c＝ 5.

(2)根据勾股定理，得b2＝c2－a2＝172－152＝64.∵b>0，∴b＝8.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，求△ABC 的周长．

【互动探索】应考虑高AD在△ABC内和△ABC外的两种情形．

【解答】当高AD在△ABC内部时，如图1.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，∴BD＝16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，∴CD＝9.∴BC＝BD＋CD＝25，∴△ABC的周长为25＋20＋15＝60.

当高AD在△ABC外部时，如图2.同理可得，BD＝16，CD＝9.∴BC＝BD－CD＝7，∴△ABC的周长为7＋20＋15＝42.

综上所述，△ABC的周长为42或60.

图1 图2

【互动总结】(学生总结，老师点评)题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉