辽宁省部分重点中学协作体2024届高三下学期高考模拟考试 数学试题

辽宁省部分重点中学协作体2024年高考模拟考试数学
第I 卷
一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.已知集合(){}{}
ln 20,21,x
A x
x B y y x A =-≤==-∈∣∣，则A B ⋃=（）
A.(]2,3
B.(]2,7
C.(]1,7-
D.()
1,∞-+2.已知1tan 2
α=，则()()
π3πsin cos 22cos sin παααα⎛⎫⎛⎫
+-- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭=---（
）
A.-C.-
B.1
C.-3
D.3
3.下列函数中，既是定义域上的奇函数又存在极小值的是（）
A.()sin f x x x =
B.()1f x x x
=+
C.()1x
x
f x e e =+
D.()11
f x x x =+--4.第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，中国队将派甲､乙､丙､丁4名男子短跑运动员参加男子4100m ⨯接力比赛，如果甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，参赛方法共有（）
种A.10
B.12
C.14
D.18
5.我国古代数学名著《算法统宗》中说：九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠；次第每人多十七，要将第八数来言；务要分明依次第，孝和休惹外人传.说的是，有996斤棉花要赠送给8个子女做旅费，从第1个孩子开始，以后每人依次多17斤，直到第8个孩子为止......根据这些信息第三个孩子分得（）斤棉花？
A.99
B.116
C.133
D.150
6.已知12,z z
是复数，满足121124,3,z z z z z +==-=，则12z z ⋅=（）
A.
32
B.3
C. D.6
7.已知函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωφωφ⎛⎫
=+>><
⎪⎝
⎭
，图象如图所示，下列说法正确的是（
）
A.函数()f x 的振幅是2，初相是
π6
B.若函数()f x 的图象上的所有点向左平移π
12
后，对应函数为奇函数，则2ω=C.若函数()f x 在ππ,32⎛⎫
⎪⎝⎭上单调递减，则ω的取值范围为102,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D.若函数()f x 的图象关于7π,012⎛⎫
⎪⎝⎭
中心对称，则函数()f x 的最小正周期T 的最小值为7π8.设双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左､右焦点分别为12,F F ，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于
,A B 两点，且122260,35F AF AF BF ∠== ，则双曲线C 的离心率为（
）
A.
2
B.
2
C.
2
D.
2
二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.甲乙两名同学参加系列知识问答节目，甲同学参加了5场，得分是3，4，5，5，8，乙同学参加了7场，得分是3，3，4，5，5，7，8，那么有关这两名同学得分数据下列说法正确的是（）
A.得分的中位数甲比乙要小
B.两人的平均数相同
C.两人得分的极差相同
D.得分的方差甲比乙小
10.已知函数()()1
ln ,ln ,f x ax x g x a x a x
=-=+
为实数，下列说法正确的是（）
A.当1a =时，则()f x 与()g x 有相同的极值点和极值
B.存在a R ∈，使()f x 与()g x 的零点同时为2个
C.当()0,1a ∈时，()()1f x g x -≤对[]1,x e ∈恒成立
D.若函数()()f x g x -在[]1,e 上单调递减，则a 的取值范围为2,e
∞⎛⎤- ⎥
⎝
⎦
11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别为111,CC A D 的中点，O 为面ABCD 的中心，则以下命题正确的是（
）
A.平面1BMD 截正方体所得的截面面积为26
B.四面体BCMN 的外接球的表面积为为45π4
C.四面体1OMB N 的体积为
76
D.若点P 为AB 的中点，则存在平面11BCC B 内一点Q ，使直线MQ 与PN 所成角的余弦值为
223
第Ⅱ卷
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若“()0,x ∞∃∈+，使240x ax -+<”是假命题，则实数a 的取值范围为__________.
13.已知抛物线2:4C x y =，圆22
:1O x y +=，直线l 与抛物线C 和圆O 分别切于,P Q 两点，则点P 的纵
坐标为__________.
14.一个书包中有标号为1,1,2,2,3,3,,,n n 的2n 张卡片.一个人每次从中拿出一张卡片，并且不放回；如果他拿出一个与已拿出的卡片相同的标号卡片，则他将两张卡片都扔掉；如果他手中有3张单张卡片或者书包中卡片全部被拿走，则操作结束.记书包中卡片全部被拿走的概率为n P ，则
3P =__________.__________.7P =（本题第一空2分，第二空3分）
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面1,2ABC AC AA ==，1,3AB BC ==，点E 为
线段AC 的中点.
（1）求证：1AB ∥平面1BEC ；
（2）若1π
3
A AC ∠=，求二面角1A BE C --的余弦值.16.（15分）
随着中国科技的进步，涌现了一批高科技企业，也相应产生了一批高科技产品，在城市S ，生产某高科技产品X 的本地企业有甲､乙两个，城市S 的高科技产品X 的企业市场占有率和指标T 的优秀率如下表：
市场占有率
指标T 的优秀率
企业甲50%80%企业乙30%40%其它
20%
40%
（1）从城市S 的高科技产品X 的市场中随机选一件产品，求所选产品的指标T 为优秀的概率；
（2）从城市S 的高科技产品X 的市场中随机选一件产品，若已知所选产品的指标T 为优秀，求该产品是产自企业甲的概率；
（3）从城市S 的高科技产品X 的市场中依次取出6件指标T 为优秀的产品，若已知6件产品中恰有4件产品产自企业甲，记离散型随机变量ξ表示这6件产品中产自企业乙的件数，求ξ的分布列和数学期望.17.（15分）
已知()()2
112
x
f x x e ax =-+
.（1）讨论()f x 的单调性；
（2）当0a >时，证明：()f x 有且仅有两个零点12,x x ，且120x x +<.18.（17分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 的短轴长为，离心率为3
3.点
()00,P x y 为椭圆C 上的一个动点，直线1PF 与椭圆C 的另一个交点为A ，直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为B ，设111222,PF F A PF F B λλ==
.
（1）求椭圆C 的方程；（2）证明：12λλ+为定值；
（3）已知00y >，用00,x y 表示PAB 的面积PAB S ，并求出PAB S 的最大值.19.（17分）
若实数列{}n a 满足*n N ∀∈，有212n n n a a a +++≥，称数列{}n a 为“T 数列”.（1）判断2
,ln n n a n b n ==是否为“T 数列”，并说明理由；
（2）若数列{}n a 为“T 数列”，证明：对于任意正整数,,k m n ，且k m n <<，都有n m m k
a a a a n m m k
--≥--（3）已知数列{}n a 为“T 数列”，且
20241
0i
i a
==∑.令{}12024max ,M a a =，其中{}max ,a b 表示,a b 中的较大者.证明：{}1,2,3,,2024k ∀∈ ，都有2025
2023
k M a M -
≤≤.
2023—2024学年度下学期高三第二次模拟考试试题
数学参考答案
一､单项选择题
1.D
2.C
3.B2.C
3.B
4.A
5.A
6.B
7.D
8.D
二､多项选择题
9.AC
10.ACD
11.ABC
三､填空题
12.1x =或3450
x y -+=213.832
n n -+14.960
四､解答题
15解：（1）A 为三角形内角，5cos 9
A =
214sin 9A ∴=
由正弦定理
sin sin A a
C c
=214
229sin 3C =7
sin 3
C =
（2）3b =，由余弦定理：22
2
2
2
8
959cos 269
c c b c a A bc c +-+-==
=27c =或3
c =当3c =
时
11214
sin 33229
ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 当27c =
时
11sin 327229
ABC S bc A ==⨯⨯⨯= 16.解：（1）连接CA 交BD 于H ，连接GH .
因为底面ABCD 是正方形，所以H 是AC 中点，在ACF 中，G 是CF 中点，所以HG 是ACF 的中位线，所以HG ∥AF
又DH
∥,,EF DH HG H EF AF F ⋂=⋂=，所以平面DHG ∥平面AEF .
又DG ⊂平面DHG ，所以DG ∥平面AEF
（2）设O 为BC 中点，连接FO ，因为BCF 是等边三角形，所以FO BC ⊥.因为,,AB CF AB BC CF BC C ⊥⊥⋂=，所以AB ⊥平面BCF .
又FO ⊂平面BCF ，所以AB FO ⊥，又AB BC B ⋂=，所以FO ⊥平面ABCD .
如图所示，以O 为坐标原点，,,OB HO OF
为x 轴､y 轴､z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则
()()()
()()
1,0,0,1,2,0,0,0,3,1,0,0,1,2,0C A F B D ----又(3DE BF ==-
，所以(2,3
E =--设平面AE
F 的一个法向量为(),,n x y z = ，则330
230
n AE x z n AF x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩
令1x =得，平面AEF 的法向量(1,3n =-
.
又()0,2,0CD =-
，设直线CD 与平面AEF 所成角为θ，则
25sin cos ,525n CD n CD n CD
θ⋅===⋅
.
即直线CD 与平面AEF 所成角的正弦值为5
5
.17.解：（1）令(]
sin ,sin1,1x t t =∈()ln g t t t
=-
()11
10
t g t t t -=-=' ()g t ∴在(]sin1,1上单调递减()()g 11ln11g t ∴=-= ()f x ∴在()1,2上的最小值为1
（2）由（1）可知()()sin ln sin 1f x x x =- ()
sin 1ln sin x x + 又π11sin sin1sin
62x e
>>=>()1
ln sin ln 1
x e ∴>=-()1ln sin 0
x +>()sin 1ln sin 0x x ∴+> ①()1,2x ∈时，()sin h x x x =-()1cos 0h x x =-' ()h x ∴在()1,2上单调递增()()11sin10h x h >=->sin x x ∴>sin 0x x e e ∴>>②
由不等式性质将①，②两式相乘有：
()()
sin sin 1ln sin x x x e e x ⋅>+即()sin sin ln sin 1x x
x e
x -⋅->成立
18.解：设方程
1xy =上任意一点(1,,,D x E F x ⎛⎫
⎪⎝⎭，则
||||||DE DF -=
=
11
x x
x x
⎛⎛
=+-++
⎝⎝
当0
x>时，2
x
x+
则
11
||||||
x x
x x
+-+
+
11
x x
x x
=+---=
当0
x<时，
12
x
x+-
则
11
||||||
x x
x x
+-+
+
114
x x EF
x x
=--+++=<=
根据双曲线得定义得，方程1
xy=的图像是双曲线
（2）由已知得001
x y=
，将
3
3
3
x x y
y x y
⎧
=-
⎪
⎪
⎨
⎪=+
⎪⎩
，代入001
x y=得
1
C方程为2
21
3
y
x-=（3）显然直线l不与y 轴垂直，故可设其方程为：
3
m
3
x my t⎛⎫
=+≠±
⎪
⎪
⎝⎭
，
双曲线C
的渐近线为y=
联立
x my t
y
=+
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
解得：y=
，所以M M
y x
==
联立
x my t
y
=+
⎧⎪
⎨
=
⎪⎩
解得：y=
，所以N N
y x
==
因为MP PN
=
，故P是,
M N的中点，
所以点P的横，纵坐标为()2
1
213
P M N
t
x x x
m
=+=
-
()
2
13
213
P M N
mt
y y y
m
=+=
-
点P在双曲线1C上，即
22
22
131
13313
t mt
m m
⎛⎫⎛⎫
-=
⎪ ⎪
--
⎝⎭⎝⎭
，得()()2
222
1313
t m m
-=-
因2
130
m
-≠，所以22
13
t m
=-
显然直线l 与x 轴的交点为(),0t ，
所以1122MON
M N S t y y t ⎛⎫=⋅⋅-=⋅⋅-= ⎝ ，将2213t m =-
代入可得MON S = 19.解：（1）依题意，
1X 服从超几何分布，故1X 的分布列为()1001100
C C ,N,0100C k k
M N
M N
P X k k k -+==∈ .1
X 0
1
99
100
P
0100100M N
M N
C C C +199100M N
M N
C C C +
991
100M N
M N
C C C +1000
100M N
M N
C C C +（2）（i ）由题可知()1,2,,20i X i = 均服从完全相同的超几何分布，所以()()
1i E X E X =()()()202020
11111
1111()2020202020i i i
i i i E X E X E X E X E X E X ===⎛⎫⎛⎫====⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()()()2020201122211111111()202020202020i i i i i i D X D X D X D X D X D X ===⎛⎫⎛⎫
====⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑，
故()()111
(),()20
E X E X D X D X ==（ii ）由（i ）可知X 的均值
()1100()M
E X E X M N
==
+.
由公式得1X 的方差
()()()
12
100100()1MN M N D X M N M N +-=
++-，
所以25(100)
()()(1)
MN M N D X M N M N +-=++-.
依题意有
()()
210030,51001,()1M
M N MN M N M N M N ⎧=⎪+⎪
⎨+-⎪=⎪++-⎩解得，1456,624N M ==.
所以可以估计624,1456M N ==.。