导数知识应用(优秀经典专题及典例答案详解)

[例 2] 已知函数 f(x)＝x2ex－1－13x3－x2. (1)讨论函数 f(x)的单调性； (2)设 g(x)＝23x3－x2，试比较 f(x)与 g(x)的大小． [解析] (1)f′(x)＝x(x＋2)(ex－1－1)，令 f′(x)＝0，得 x1＝－2，x2＝0，x3＝1. 当－2<x<0 或 x>1 时，f′(x)>0； 当 x<－2 或 0<x<1 时，f′(x)<0， 所以函数 f(x)在(－2,0)，(1，＋∞)上是单调递增的，在(－∞，－2)，(0,1)上是单ห้องสมุดไป่ตู้递 减的．
类型一 导数几何意义的应用 题型特点 导数的几何意义是近几年高考的重点和热点之一，常结合导数的运算进行 考查，常以选择题、填空题的形式出现，在解答题中往往涉及函数的单调性、最值等 问题，所以要把握好此部分知识． 方法归纳 解答此类问题的关键是明确导数的几何意义，正确判断所给出的点是否为 切点，若不是切点，则需要先设出切点的坐标后通过斜率相等建立方程(组)求解．
方法归纳 1.导数法判断或证明函数 f(x)在(a，b)内的单调性的三个步骤 (1)一求：求 f′(x)； (2)二定：确定 f′(x)在(a，b)内的符号； (3)三结论：作出结论，f′(x)>0 时为增函数；f′(x)<0 时为减函数． 2．已知函数单调性，求参数范围的两个方法 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间 的子集． (2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则 f′(x)≥0；若函数单调递减， 则 f′(x)≤0”来求解．
(2)f(x)－g(x)＝x2ex－1－x3＝x2(ex－1－x)． 因为对任意实数 x 总有 x2≥0，所以设 h(x)＝ex－1－x，x∈R. h′(x)＝ex－1－1，令 h′(x)＝0，得 x＝1. 当 x<1 时，h′(x)<0，即函数 h(x)在(－∞，1)上单调递减， 因此当 x<1 时，h(x)>h(1)＝0； 当 x>1 时，h′(x)>0，即函数 h(x)在(1，＋∞)上单调递增， 因此当 x>1 时，h(x)>h(1)＝0；当 x＝1 时，h(1)＝0. 综上可知，对任意实数 x 都有 h(x)≥0， 即 f(x)－g(x)≥0， 故对任意实数 x，恒有 f(x)≥g(x)．
跟踪训练 1.已知函数 f(x)＝x2－ln x. (1)求函数 f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)在函数 f(x)＝x2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直， 且切点的横坐标都在区间12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理 由．
解析：(1)由题意可得 f(1)＝1，且 f′(x)＝2x－1x，f′(1)＝2－1＝1， 则所求切线方程为 y－1＝1×(x－1)，即 y＝x. (2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1，x2∈12，1，不 妨设 x1<x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得(2x1－x11)(2x2－x12)＝－1， 又函数 f′(x)＝2x－1x在区间[12，1]上单调递增，函数的值域为[－1,1]，
(2)设切点坐标为(x0，y0)， 则直线 l 的斜率为 f′(x0)＝3x20＋1， ∴直线 l 的方程为 y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16. 又直线 l 过点(0,0)， ∴0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，整理，得 x30＝－8， ∴x0＝－2，y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26， ∴k＝3×(－2)2＋1＝13， ∴直线 l 的方程为 y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
跟踪训练 2.已知函数 f(x)＝x4＋ax－ln x－32，其中 a∈R，且曲线 y＝f(x)在点(1，f(1)) 处的切线垂直于直线 y＝12x. (1)求 a 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间．
解析：(1)对 f(x)求导得 f′(x)＝14－xa2－1x，由 f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于直线 y ＝12x 知，f′(1)＝－34－a＝－2，解得 a＝54. (2)由(1)知 f(x)＝x4＋45x－ln x－32， 则 f′(x)＝x2－44xx2－5. 令 f′(x)＝0，解得 x＝－1 或 x＝5. 因为 x＝－1 不在 f(x)的定义域(0，＋∞)内，故舍去．
[例 1] 已知函数 f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲线 y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程； (2)直线 l 为曲线 y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线 l 的方程及切点坐标． [解析] (1)∵f(2)＝23＋2－16＝－6， ∴点(2，－6)在曲线 y＝f(x)上． ∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1， ∴在点(2，－6)处的切线的斜率为 k＝f′(2)＝3×22＋1＝13， ∴切线的方程为 y＝13(x－2)＋(－6)， 即 y＝13x－32.
当 x∈(0,5)时，f′(x)<0，故 f(x)在(0,5)内为减函数； 当 x∈(5，＋∞)时，f′(x)>0，故 f(x)在(5，＋∞)内为增函数． 综上，f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)， 单调递减区间为(0,5)．
类型三 利用导数研究函数的极值和最值 题型特点 利用导数研究函数的极值和最值问题是高考的热点，既有选择题、填空题， 也有解答题．选择题和填空题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，解答题主 要考查导数与函数的单调性或方程、不等式的综合应用． 方法归纳 解决函数极值、最值问题的策略 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数大小． (2)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论． (3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．
故－1≤2x1－x11<2x2－x12≤1， 据此有22xx21－－xx1112＝＝1－，1， 解得 x1＝12，x2＝1(x1＝－1，x2＝－12舍去)， 故存在两点12，ln 2＋14，(1,1)满足题意．
类型二 利用导数研究函数的单调性 题型特点 单调性是导数应用中最基本、最重要的知识点，导数的所有应用都离不开 单调性，而单调性的基础是解不等式． 利用导数求单调区间或讨论单调性也是高考的热点和重点，一般为解答题的第一问， 若不含参数，难度一般，若含参数，则较难．