实验四非周期信号频域分析

实验四 非周期信号频域分析
1 实验目的
(1) 掌握傅里叶变换的分析方法及其物理意义。

(2) 掌握各种典型的连续时间非周期信号的频谱特征以及傅里叶变换的主要性质。

(3) 学习掌握利用MA TLAB 语言编写计算CTFT 的仿真程序，并能利用这些程序对一些典型信号进行频谱分析，验证CTFT 的若干重要性质。

2 实验原理及方法
2.1连续时间信号傅里叶变换——CTFT
傅里叶变换在信号分析中具有非常重要的意义，它主要是用来进行信号的频谱分析的。

傅里叶变换和其逆变换定义如下：
⎰
∞
∞--=
dt e t x j X t j ωω)()( 4-1 ⎰∞∞-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 4-2
连续时间傅里叶变换主要用来描述连续时间非周期信号的频谱。

任意非周期信号，如果满足狄里克利条件，它可以被看作是由无穷多个不同频率(这些频率都是非常的接近)的周期复指数信号e j ωt 的线性组合构成的，每个频率所对应的周期复指数信号e j ωt 称为频率分量，其相对幅度为对应频率的|X(j ω)|之值，其相位为对应频率的X(j ω)的相位。

X(j ω)通常为关于ω的复函数，可以按照复数的极坐标表示方法表示为：
X(j ω)=| X(j ω)|e j ∠ X(j ω)
其中，| X(j ω)|称为x(t)的幅度谱， ∠X(j ω)称为x(t)的相位谱。

给定一个连续时间非周期信号x(t)，它的频谱是连续且非周期的。

对于连续时间周期信号，也可以用傅里叶变换来表示其频谱，其特点是，连续时间周期信号的傅里叶变换是由冲激序列构成的，是离散的——这是连续时间周期信号的傅里叶变换的基本特征。

2.2 用MA TLAB 实现CTFT 及其逆变换
2.2.1 用MATLAB 实现CTFT 的计算
MA TLAB 进行傅里叶变换有两种方法，一种利用符号运算的方法计算，另一种是数值计算，本实验采用数值计算的方法。

严格来说，用数值计算的方法计算连续时间信号的傅里叶变换需要有个限定条件，即信号是时限信号，也就是当时间|t|大于某个给定时间时其值衰减为零或接近于零，这个条件与前面提到的为什么不能用无限多个谐波分量来合成周期信号的道理是一样的。

计算机只能处理有限大小和有限数量的数。

采用数值计算算法的理论依据是：
⎰∞
∞--=dt e
t x j X t j ωω)()(∑∞
-∞=-→=k T jk T T e kT x ω)(lim 0 若信号为时限信号，当时间间隔T 取得足够小时，上式可演变为：
∑-=-=N N k T jk e kT x T
j X ωω)()(
T e e e t x t x t x N t j t j t j N ],,,[)](,),(),([12211221+---+⋅=ωωω 上式用MA TLAB 表示为：
X=x*exp(j*t'*w)*T
其中X 为信号x(t)的傅里叶变换，w 为频率，T 为时间步长。

相应的MA TLAB 程序：
T = 0.01;dw = 0.1; %时间和频率变化的步长
t = -10:T:10;
w = -4*pi:dw:4*pi;
X(j ω)可以按照下面的矩阵运算来进行：
X=x*exp(-j* t'*ω)*T; %傅里叶变换
X1=abs(X); %计算幅度谱
phai=angle(X); %计算相位谱
为了使计算结果能够直观地表现出来，还需要用绘图函数将时间信号x(t)，信号的幅度谱|X(j ω)|和相位谱∠ X(j ω)分别以图形的方式表现出来，并对图形加以适当的标注。

例4-1：绘制非周期矩形脉冲信号时域波形及频谱函数。

% Program4_1
T = 0.01;dw = 0.1;t = -10:T:10; w = -6*pi:dw:6*pi;
x=u(t+1/2)-u(t-1/2);X=x*exp(-j* t'*ω)*T;
subplot(211),plot(t,x),title('非周期矩形信号')
axis([-2,2,-0.2,1.5])
subplot(212),plot(w,real(X))
title('频谱函数'),axis([-20,20,-0.5,1.1])
例4-2：绘制单边指数信号时域波形、信号的幅度频谱和相位频谱图。

% Program4_2
T = 0.01;dw = 0.1; %时间和频率变化的步长
t = -10:T:10;
w = -4*pi:dw:4*pi;
x=exp(-t).*u(t);
X=x*exp(-j* t'*ω)*T; %傅里叶变换
X1=abs(X); %计算幅度谱
phai=angle(X); %计算相位谱
subplot(311), plot(t,x)
title('单边指数信号信号')
axis([-2,6,-0.2,1.5])
subplot(312),plot(w,X1),title('幅度谱')
axis([-15,15,-0.5,1.1])
subplot(313),plot(w, phai),title('相位谱')
axis([-15,15,-pi/2,pi/2])
2.3.2用MATLAB 实现傅里叶逆变换
连续时间傅里叶逆变换用式4-2进行计算。

式4-2重写如下：
⎰∞∞
-=ωωπωd e j X t x t j )(21)( 从定义式可看出，其计算方法与傅里叶变换是一样的，因此可以采用同样的矩阵运算的方法来计算，即
x(t)=X(j ω)*exp(j*ω'*t)*d ω/(2*pi)
例4-3：绘制非周期矩形脉冲信号和逆变换得到的时域信号波形图，并分析误差原因。

MA TLAB 程序如下：
% Program4_3
T = 0.01;
dw = 0.1; %时间和频率变化的步长
t = -10:T:10; %指定信号的时间范围
x=u(t+1/2)-u(t-1/2); %原信号
w = -4*pi:dw:4*pi;
X=x*exp(-j* t'*ω)*T; %傅里叶变换
dw = 0.1;
w = -4*pi:d ω:4*pi;
x1=X*exp(j*w'*t)*dw/(2*pi); %逆变换得到的信号
subplot(211),plot(t,x),title('原信号')
axis([-2,2,-0.2,1.5])
subplot(212),plot(t,real(x1))
title('傅里叶逆变换得到的信号')
axis([-2,2,-0.2,1.5])
3 实验内容
Q4-1：给定两个时限信号:
⎪⎩
⎪⎨⎧<≤+-<≤--<≤-+=21,211,112,2)(1t t t t t t x )]1()1()[2cos()(2--+=t u t u t t x π 利用单位阶跃信号u(t)，将x 1(t) 表示成一个数学闭式表达式，编写程序Q4-1绘制x 1(t) 和x 2(t) 的时域波形图。

Q4-2：编写程序Q4-2计算x 1(t)和x 2(t)的傅里叶变换,并绘制出它们的幅度谱。

Q4-3：编写程序Q4-3验证傅里叶变换的尺度变换特性。

设f(t)=u(t+1)-u(t-1)，求y(t)=f(2t)的频谱Y(jw)，并与f(t)的频谱F(jw)进行比较，要求在同一个图形窗口中绘制f(t) 、y(t)、 F(jw)及 Y(jw)。

Q4-4：编写程序Q4-4验证傅里叶变换的时移特性。

设f(t)=e -2t u(t)，求y(t)=f(t-0.3)的频谱Y(jw)，要求在同一个图形窗口中绘制f(t) 、y(t)及它们的幅度谱和相位谱。

Q4-5： 设f(t)=u(t+1)-u(t-1)，y(t)=f(t)*f(t)，编写程序Q4-5，给出f(t)、y(t)、 F(jw) 、F(jw)·F(jw)及Y(jw)的图形，验证傅里叶变换的时域卷积定理。

Q4-6：从信号分解的角度，谈谈你对傅里叶变换及其物理意义的理解，谈谈你对信号频谱概念的理解。