下学期高一数学第一章解三角形全章教案 必修5

下学期高一数学第一章解三角形全章教案
1.1第1课时 正弦定理(1)
教学目标
（1）要求学生掌握正弦定理及其证明；
（2）会初步应用正弦定理解斜三角形，培养数学应用意识； （3）在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力． 教学重点，难点
正弦定理的推导及其证明过程． 教学过程 一．问题情境
在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角．那么斜三角形怎么办？
我们能不能发现在三角形中还蕴涵着其他的边与角关系呢？
探索1 我们前面学习过直角三角形中的边角关系，在Rt ABC ∆中，设90C =︒，则
sin a A c =
， sin b B c =， sin 1C =， 即：sin a c A =， sin b c B =， sin c c C =， sin sin sin a b c
A B C
==
． 探索2 对于任意三角形，这个结论还成立吗？ 二．学生活动
学生通过画三角形、测量边长及角度，再进行计算，初步得出该结论对于锐角三角形和钝角三角形成立．教师再通过几何画板进行验证．引出课题——正弦定理． 三．建构数学
探索3 这个结论对于任意三角形可以证明是成立的．不妨设C 为最大角，
若C 为直角，我们已经证得结论成立，如何证明C 为锐角、钝角时结论也成立？ 证法1 若C 为锐角（图（1）），过点A 作AD BC ⊥于D ，此时有sin AD B c =，sin AD
C b
=，所以sin sin c B b C =，即sin sin b c B C =．同理可得sin sin a c
A C
=
， 所以
sin sin sin a b c
A B C ==
． 若C 为钝角（图（2）），过点A 作AD BC ⊥，交BC 的延长线于D ，此时也有
sin AD B c =，且sin sin(180)AD C C b =︒-=．同样可得sin sin sin a b c
A B C
==．综上可知，结论成立．
证法 2 利用三角形的面积转换，先作出三边上的高AD 、BE 、CF ，则sin AD c B =，
sin BE a C =，sin CF b A =．所以111
sin sin sin 222
ABC S ab C ac B bc A ∆===，每项同
除以12abc 即得：sin sin sin a b c
A B C
==．
探索4 充分挖掘三角形中的等量关系，可以探索出不同的证明方法．我们知道向量也是解决问题的重要工具，因此能否从向量的角度来证明这个结论呢？
在ABC ∆中，有BC BA AC =+．设C 为最大角，过点A 作AD BC ⊥于D （图（3）），于是
BC AD BA AD AC AD ⋅=⋅+⋅．设AC 与AD 的夹角为α，
则0||||cos(90)||||cos BA AD B AC AD α=⋅⋅︒++⋅，其中 ，当C ∠为锐角或直角时，90C α=︒-； 当C ∠为钝角时，90C α=-︒． 故可得sin sin 0c B b C -=，
即
sin sin b c
B C
=
． 同理可得sin sin a c
A C =
． 因此sin sin sin a b c A B C
==
． 四．数学运用 1．例题：
例1．在ABC ∆中，30A =︒，105C =︒，10a =，求b ，c ．
解：因为30A =︒，105C =︒，所以45B =︒．因为sin sin sin a b c
A B C
==
， 所以sin 10sin 45102sin sin 30a B b A ︒===︒，sin 10sin1055256sin sin 30a C c A ︒
===+︒
．
因此， b ，c 的长分别为102和5256+．
例2．根据下列条件解三角形： （1）3,60,1b B c ==︒=； （2）6,45,2c A a =
=︒=．
解：（1）sin sin b c
B C =
，∴sin 1sin 601sin 23
c B C b ⨯︒===， ,60b c B >=，∴C B <，∴C 为锐角， ∴30,90C A ==，∴222a b c =+=．
（2）
sin sin a c
A C
=
，∴sin 6sin 453sin 22c A C a ⨯===，∴60120C =或， ∴当sin 6sin 75
6075,31sin sin 60c B C B b C ===
==+时，； ∴当sin 6sin15
12015,31sin sin 60
c B C B b C ===
==-时，； 所以，31,75,60b B C =+==或31,15,120b B C =-==．
说明：正弦定理也可用于解决已知两边及一边的对角，求其他边和角的问题． 练习：在ABC ∆中，30a =，26b =，30A =︒，求c 和,B C ．
说明：正弦定理可以用于解决已知两角和一边求另两边和一角的问题． 2．练习： （1）在ABC ∆中，已知8b c +=，30B ∠=︒，45C ∠=︒，则b = ，c = ． （2）在ABC ∆中，如果30A ∠=︒，120B ∠=︒，12b =，那么a = ，ABC ∆的面积是 ．
（3）在ABC ∆中，30bc =，15
32
ABC S ∆=
，则A ∠= ． （4）课本第9页练习第1题． 五．回顾小结：
1．用两种方法证明了正弦定理：
（1）转化为直角三角形中的边角关系；
（2）利用向量的数量积．
2．初步应用正弦定理解斜三角形． 六．课外作业：
课本第9页练习第2题；课本第11页习题1.1第1、6题
§1.1.1第2课时 正弦定理(2)
教学目标
（1）掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形； （2）熟记正弦定理
2sin sin sin a b c
R A B C
===（R 为ABC ∆的外接圆的半径）及其变形形式．
教学重点，难点
利用三角函数的定义和外接圆法证明正弦定理． 教学过程 一．问题情境
上节课我们已经运用两种方法证明了正弦定理，还有没有其他方法可以证明正弦定理呢？ 二．学生活动
学生根据第5页的途径（2），（3）去思考． 三．建构数学
证法1 建立如图（1）所示的平面直角坐标系，则有(cos ,sin )A c B c B ，(,0)C a ，所以
ABC ∆的面积为1
sin 2
ABC S ac B ∆=．
同理ABC ∆的面积还可以表示为1
sin 2
ABC S ab C ∆=
及1
sin 2
ABC S bc A ∆=，所以
111
sin sin sin 222
ab C ac B bc A ==． 所以sin sin sin a b c A B C
==
． 证法2 如下图，设O 是ABC ∆的外接圆，直径2BD R =．（1）如图（2），当A 为锐角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又D A ∠=∠，所以2sin a R A =．（2）如图（3），当A 为钝角时，连CD ，则90BCD ∠=︒，2sin a R D =．又180A D ∠+∠=︒，可得sin sin(180)sin D A A =︒-=，所以2sin a R A =．（3）当A 为直角时，2a R =，显然有2sin a R A =．所以不论A 是锐角、钝角、直角，总有2sin a R A =．同理可证
2sin b R B =，2sin c R C =．所以
2sin sin sin a b c
R A B C
===． 由此可知，三角形的各边与其所对角的正弦之比是一个定值，这个定值就是三角形外接圆的直径． 由此可得到正弦定理的变形形式：（1）2sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===； （2）sin ,sin ,sin 222a b c
A B C R R R
=
==；（3）sin sin sin ::::A B C a b c =． 四．数学运用
1．例题：
例1．根据下列条件，判断ABC ∆有没有解？若有解，判断解的个数． （1）5a =，4b =，120A =︒，求B ； （2）5a =，4b =，90A =︒，求B ；
（3）106a =，203b =45A =︒，求B ； （4）202a =203b =45A =︒，求B ；
（5）4a =，3
3
b =
，60A =︒，求B ． 解：（1）∵120A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解． （2）∵90A =︒，∴B 只能是锐角，因此仅有一解．
（3）由于A 为锐角，而2
10632
=，即A b a sin =，因此仅有一解90B =︒．
（4）由于A 为锐角，而2
2032022031062
>>=，即sin b a b A >>，因此有两解，易解得60120B =︒︒或．
（5）由于A 为锐角，又103
4sin 605<︒=，即sin a b A <，∴B 无解． 例2．在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b c
A B C
==判断ABC ∆的形状．
解：令sin a
k A
=，由正弦定理，得sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =．代入已知条件，
得sin sin sin cos cos cos A B C A B C
==
，即tan tan tan A B C ==．又A ，B ，C (0,)π∈，所以A B C ==，从而ABC ∆为正三角形．
说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？ （2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．
例3．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度(精确到1米)． 分析：要求BC ，只要求AB ，为此考虑解ABD ∆． 解：过点D 作//DE AC 交BC 于E ，因为20DAC ∠=︒， 所以160ADE ∠=︒，于是36016065135ADB ∠=︒-︒-︒=︒． 又352015BAD ∠=︒-︒=︒，所以30ABD ∠=︒． 在ABD ∆中，由正弦定理，得
sin 1000sin13510002()sin sin 30AD ADB AB m ABD ∠︒
=
==∠︒
．
在Rt ABC ∆中，sin 35235811()BC AB m =︒=︒≈． 答：山的高度约为811m ．
例4．如图所示，在等边三角形中，,AB a =O 为三角形的中心，过O 的直线交AB 于M ，
交AC 于N ，求22
11
OM ON +的最大值和最小值． 解：由于O 为正三角形ABC 的中心，∴3
AO =， 6MAO NAO π∠=∠=，设MOA α∠=，则233ππ
α≤≤
，
αβπβ-αA
C
B
D
在AOM ∆中，由正弦定理得：
sin sin[()]
6
OM OA
MAO ππα=
∠
-+， ∴6sin()6OM πα=+
，在AON ∆中，由正弦定理得：6sin()
6
ON πα=-，
∴2211OM ON +22212[sin ()sin ()]66a ππαα=++-2
2
121(sin )2a α=+， ∵233ππα≤≤，∴3sin 14α≤≤，故当2πα=时2211OM ON +取得最大值2
18a
， 所以，当α=2,33or ππ时2
3sin 4α=，此时2211OM ON +
取得最小值2
15a ． 例5．在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BD
AC DC
=
． 证明：设BAD α∠=，BDA β∠=，则CAD α∠=，180CDA β∠=︒-．在ABD ∆和
ACD ∆中分别运用正弦定理，得sin sin AB BD β
α
=，sin(180)
sin AC DC βα
︒-=
， 又sin(180)sin ββ︒-=，所以AB AC BD DC =，即AB BD
AC DC
=． 2．练习：
（1）在ABC ∆中，::4:1:1A B C =，则::a b c = ( D )
A ．
4:1:1 B ．2:1:1 C
D
（2）在ABC ∆中，若sin :sin :sin 4:5:6A B C =，且15a b c ++=，则a = ， b = ，c = ． 五．回顾小结：
1．了解用三角函数的定义和外接圆证明正弦定理的方法； 2．理论上正弦定理可解决两类问题：
（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；
（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角． 六．课外作业：
课本第9页练习第3题；课本第11页习题1.1第2、8题．
§1.1.2 第3课时 余弦定理(1)
教学目标
（1）掌握余弦定理及其证明；
（2）使学生能初步运用余弦定理解斜三角形． 教学重点，难点
（1）余弦定理的证明及其运用；
（2）能灵活运用余弦定理解斜三角形． 教学过程 一．问题情境 1．情境：
复习正弦定理及正弦定理能够解决的两类问题． 2．问题：
在上节中，我们通过等式BC BA AC =+的两边与AD （AD 为ABC ∆中BC 边上的高）作数量积，将向量等式转化为数量关系，进而推出了正弦定理，还有其他途径将向量等式
BC BA AC =+数量化吗？
二．学生活动
如图，在ABC ∆中，AB 、BC 、CA 的长分别为c 、a 、b ． ∵BC AB AC +=
∴()()AC AC AB BC AB BC ⋅=+⋅+
2
2
cos 2a B ac c +-=， 即B ac a c b cos 22
2
2
-+=；
同理可证：A bc c b a cos 2222-+=， C ab b a c cos 22
22-+=． 三．建构数学 1． 余弦定理
上述等式表明，三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．这样，我们得到余弦定理． 2．思考：
回顾正弦定理的证明，尝试用其他方法证明余弦定理．
方法1：如图1建立直角坐标系，则(0,0),(cos ,sin ),(,0)A B c A c A C b ．所以
2222222222(cos )(sin )cos sin 2cos 2cos a c A b c A c A c A bc A b b c bc A
=-+=+-+=+-同理可证
B ac a c b cos 2222-+=，
C ab b a c cos 2222-+=
注：此法的优点在于不必对A 是锐角、直角、钝角进行分类讨论．
方法2：若A 是锐角，如图2，由B 作BD AC ⊥，垂足为D ，则cos AD c A =，所以
即A bc c b a cos 22
22-+=，类似地，可以证明当A 是钝角时，结论也成立，而当A 是直
角时，结论显 然成立．
同理可证B ac a c b cos 22
2
2
-+=，C ab b a c cos 22
2
2
-+=．
图1 图2 3．余弦定理也可以写成如下形式：
bc a c b A 2cos 222-+= ， ac b c a B 2cos 222-+=， ac
c b a C 2cos 2
22-+=．
4．余弦定理的应用范围：
利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：
例1．在ABC ∆中，
（1） 已知3b =，1c =，0
60A =，求a ；
A B
C
c
a
b
（2） 已知4a =，5b =，6=c ，求A （精确到0
0.1）．
解：（1）由余弦定理，得222220
2cos 31231cos607a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，
所以 a =
（2）由余弦定理，得222222
564cos 0.752256
b c a A bc +-+-=
==⨯⨯， 所以，0
41.4A ≈．
例2． ,A B 两地之间隔着一个水塘，现选择另一点C ，测得182,CA m =126,CB m =
063ACB ∠=，求,A B 两地之间的距离（精确到1m ）
． 解：由余弦定理，得
所以，168()AB m ≈
答：,A B 两地之间的距离约为168m ．
例3．用余弦定理证明：在ABC ∆中，当C 为锐角时，2
2
2
a b c +>；当C 为钝角时，
222a b c +<．
证：当C 为锐角时，cos 0C >，由余弦定理，得22222
2cos c a b ab C a b =+-<+，
即 222
a b c +>．
同理可证，当C 为钝角时，222
a b c +<．
2．练习：
书第15页 练习１，２，３，４ 五．回顾小结：
1．余弦定理及其应用
2．正弦定理和余弦定理是解三角形的两个有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；
六．课外作业：书第16页１，2，3，4，6，7题
§1.1.2 第4课时 余弦定理(2)
教学目标
（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题；
（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦定理、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题． 教学重点，难点
能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题，牢固掌握两个定理，应用自如． 教学过程 一．问题情境
1．正弦定理及其解决的三角形问题
（1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；
（2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步其它的边和角． 2．余弦定理及其解决的三角形问题 （1）已知三边，求三个角；
（2）已知两边和他们的夹角，求第三边和其他两个角． 四．数学运用 1．例题：
例1．在长江某渡口处，江水以5/km h 的速度向东流，一渡船在江南岸的A 码头出发，预定要在0.1h 后到达江北岸B 码头，设AN 为正北方向，已知B 码头在A 码头的北偏东0
15，并与A 码头相距1.2km ．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到0
0.1，速度精确到0.1/km h ）？
解：如图，船按AD 方向开出，AC 方向为水流方向，以AC 为一边、AB 为对角线作平行
四边形ABCD ，其中 1.2(),50.10.5()AB km AC km ==⨯=．
在ABC ∆中，由余弦定理，得2
2
2
1.20.52 1.20.5cos(9015) 1.38BC =+-⨯⨯-≈， 所以 1.17()AD BC km =≈． 因此，船的航行速度为1.170.111.7(/)km h ÷=．
在ABC ∆中，由正弦定理，得 0
sin 0.5sin 75sin 0.41281.17
AC BAC ABC BC ∠∠=
=≈， 所以 0
24.4ABC ∠≈
所以 00
159.4DAN DAB NAB ABC ∠=∠-∠=∠-≈．
答：渡船应按北偏西0
9.4的方向，并以11.7/km h 的速度航行．
例2． 在ABC ∆中，已知sin 2sin cos A B C =，试判断该三角形的形状．
解：由正弦定理及余弦定理，得222
sin ,cos sin 2A a a b c C B b ab
+-==， 所以 22222a a b c b ab
+-=，整理得 22
b c =
因为0,0b c >>，所以b c =．因此，ABC ∆为等腰三角形．
例3．如图，AM 是ABC ∆中BC 边上的中线，求证：2221
2()2
AM AB AC BC =+-．
证：设AMB α∠=，则0
180AMC α∠=-．在ABM ∆中，由余弦定理，得
2222cos AB AM BM AM BM α=+-．
在ACM ∆中，由余弦定理，得
22202cos(180)AC AM MC AM MC α=+--．
因为
01
cos(180)cos ,2
BM MC BC αα-=-==
， 所以2
2
2
2122AB AC AM BC +=+
，因此， 22212()2
AM AB AC BC =+-． 例4．在ABC ∆中，BC a =，AC b =，,a b 是方程02322
=+-x x 的两个根，且2cos()1A B +=，
求：①角C 的度数； ②AB 的长度； ③ABC S ∆．
解：①1
cos cos(())cos()2
C A B A B π=-+=-+=- ∴120C =；
②由题设：23
2a b ab ⎧+=⎪⎨=⎪⎩
，
∴2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅
120cos 222ab b a -+=
ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a ， 即10AB =；
③ABC S ∆11133sin sin120222222
ab C ab =
==⋅⋅=．
2．练习：
（1）书第16页 练习１，２，３，４
D
C
B
A
（2）如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,
10AD =，14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=， 求BC 的长．
（3）在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；
（4）已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是2
cm ，周长
是20cm ，试求A 及k 的值； 五．回顾小结：
1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定理的不同作用，在解题时正确选用；
2．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式； 3．应用余弦定理不仅可以进行三角形中边、角间的计算，还可以判断三角形的形状． 六．课外作业：书第17页5，8，9，10，11题
§1.3正弦定理、余弦定理的应用(1)
教学目标
（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题；
（2）体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤；
（3）能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力． 教学重点，难点
（1）综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题； （2）掌握求解实际问题的一般步骤． 教学过程 一．问题情境 1．复习引入
复习：正弦定理、余弦定理及其变形形式， （1）正弦定理、三角形面积公式：
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===； B ac
C ab A bc S ABC sin 2
1
sin 21sin 21===∆．
（2）正弦定理的变形：
①C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===；
②R
c
C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin =
==
； ③sin sin sin ::::A B C a b c =．
（3）余弦定理：bc
a c
b A A b
c c b a 2cos ,cos 22
222
2
2
-+=-+=．
二．学生活动
引导学生复习回顾上两节所学内容，然后思考生活中有那些问题会用到这两个定理，举例说明.
三．建构数学
正弦定理、余弦定理体现了三角形中边角之间的相互关系，在测量学、运动学、力学、电学等许多领域有着广泛的应用.
1．下面给出测量问题中的一些术语的解释：
（1）朝上看时，视线与水平面夹角为仰角；朝下看时，视线与水平面夹角为俯角. （2）从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角.
（3）坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率.道路坡度100%所表示的可以这样理解：坡面与水平面的夹角为45度.45度几乎跟墙壁一样的感觉了. （4）科学家为了精确地表明各地在地球上的位置，给地球表面假设了一个坐标系，这就是经纬度线.
2．应用解三角形知识解决实际问题的解题步骤：①根据题意作出示意图；②确定所涉及的三角形，搞清已知和未知；③选用合适的定理进行求解；④给出答案. 四．数学运用 1．例题：
例1．如图1-3-1，为了测量河对岸两点,A B 之间的距离，在河岸这边取点,C D ，测得
85ADC ∠=，60BDC ∠=，47ACD ∠=，72BCD ∠=，100CD m =.设,,,A B C D 在同一平面内，试求,A B 之间的距离（精确到1m ）.
解：在ADC ∆中，85ADC ∠=，47ACD ∠=，则48DAC ∠=.又100DC =，
由正弦定理，得
()sin 100sin 85
134.05sin sin 48
DC ADC AC m DAC ∠=
=≈∠.
在BDC ∆中，60BDC ∠=，72BCD ∠=， 则48DBC ∠=.又100DC =， 由正弦定理，得
()sin 100sin 60
116.54sin sin 48
DC BDC BC m DBC ∠=
=≈∠.
在ABC ∆中， 由余弦定理，得
3233.95≈， 所以 ()57AB m ≈
答,A B 两点之间的距离约为57m .
本例中AB 看成ABC ∆或ABD ∆的一边，为此需求出AC ，BC 或AD ，BD ，所以可考察ADC ∆和BDC ∆，根据已知条件和正弦定理来求AC ，BC ，再由余弦定理求AB .
引申：如果A ，B 两点在河的两岸（不可到达），试设计一种测量A ，B 两点间距离的方法.
可见习题1.3 探究拓展 第8题.
例2．如图1-3-2，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以9/n mile h 的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以21/n mile h 的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间（角度精确到0.1，时间精确到1min ）. 解：设舰艇收到信号后x h 在B 处靠拢渔轮，
则21AB x =，9BC x =，又10AC =，()45180105120ACB ∠=+-=.
由余弦定理，得
2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，
即
()
()2
2
2211092109cos 120x x x =+-⨯⨯∠.
化简，得
2369100x x --=，
解得()()2
40min 3
x h ==（负值舍去）.
由正弦定理，得
图1-3-1
图1-3-2
sin 9sin12033sin 2114BC ACB x BAC AB x ∠∠===， 所以21.8BAC ∠≈，方位角为4521.866.8+=.
答 舰艇应沿着方向角66.8的方向航行，经过40min 就可靠近渔轮.
本例是正弦定理、余弦定理在航海问题中的综合应用.因为舰艇从A 到B 与渔轮从C 到B 的时间相同，所以根据余弦定理可求出该时间，从而求出AB 和BC ；再根据正弦定理求出BAC ∠. 例3．如图，某海岛上一观察哨A 在上午11时测得一轮船在海岛北偏东
3π的C 处，12时20分测得轮船在海岛北偏西3
π的B 处，12时40分轮船到达海岛正西方5km 的E 港口.如果轮船始终匀速前进，求船速. 解：设ABE θ∠=，船的速度为/km h υ，则43BC υ=
，13BE υ=. 在ABE ∆中，153
sin sin 30
υθ=，15sin 2θυ∴=. 在ABC ∆中，()43
sin120
sin 180AC υθ=-， 4415sin 20332333
22
AC υθυυ⋅⋅∴===. 在ACE ∆中，22520202525cos150333υ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⨯⨯⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 22540077525100933
υ=++=，293υ∴=， ∴船的速度93/km h υ=. 2．练习：书上P20 练习1，3，4题.
五．回顾小结：
1．测量的主要内容是求角和距离，教学中要注意让学生分清仰角、俯角、张角、视角和方位角及坡度、经纬度等概念，将实际问题转化为解三角形问题.
2．解决有关测量、航海等问题时，首先要搞清题中有关术语的准确含义，再用数学语言（符号语言、图形语言）表示已知条件、未知条件及其关系，最后用正弦定理、余弦定理予以解决.
六．课外作业： 书上P21页习题1.3 第2，3，4题.
§1.3 正弦定理、余弦定理的应用(2)
教学目标
（1）能熟练应用正弦定理、余弦定理解决三角形等一些几何中的问题和物理问题；
（2）能把一些简单的实际问题转化为数学问题，并能应用正弦、余弦定理及相关的三角公式解决这些问题；
（3）通过复习、小结，使学生牢固掌握两个定理，应用自如.
教学重点，难点
能熟练应用正弦定理、余弦定理及相关公式解决三角形的有关问题。

教学过程
（例3）
一．问题情境
1．复习引入
总结解斜三角形的要求和常用方法.
（1）．利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类解斜三角形问题：
①已知两角和任一边，求其它两边和一角；
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求其它的边和角.
（2） 应用余弦定理解以下两类三角形问题：
①已知三边求三内角；
②已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两个内角.
二．学生活动
引导学生回忆上节课内容，总结利用两个定理解决实际问题的一般步骤.
想一想可以用这两个定理来解决有关物理问题和几何问题吗？
三．数学运用
1．例题：
例1．如图，在四边形ABCD 中，已知AD CD ⊥,10AD =，
14AB =, 60BDA ∠=, 135BCD ∠=，求BC 的长.
解：在ABD ∆中，设BD x =，
则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，
即
60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，
∴096102=--x x ，
∴161=x ，62-=x （舍去）， 由正弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ， ∴2830sin 135
sin 16=⋅= BC ． 例2．作用在同一点的三个力123,,F F F 平衡.已知130F N =， 250F N =，1F 与2F 之间的夹角是60，求3F 的大小与方向
（精确到0.1）.
解：3F 应和12,F F 合力F 平衡，所以3F 和F 在同一直线上，
并且大小相等，方向相反.
如图1-3-3，在1OF F ∆中，由余弦定理，得
.
再由正弦定理，得 150sin12053sin 7014
F OF ∠=
=， 所以138.2F OF ∠≈，从而13141.8FOF ∠≈. 答 3F 为70N ，3F 与1F 之间的夹角是141.8.
本例是正弦定理、余弦定理在力学问题中的应用，教学时可作如下分析：
由图根据余弦定理可求出OF ，再根据正弦定理求出1
FOF ∠. 例3．如图1-3-4，半圆O 的直径为2，A 为直径延长线上的一点，2OA =，B 为半圆上任意一点，以AB 为一边作等边三角形ABC .问：点B 在什么位置时，四边形OACB 面积最大？
分析：四边形的面积由点B 的位置唯一确定，而点B 由AOB ∠唯一确定，因此可设AOB α∠=，再用α的三角函数来表示四边形OACB 的面积.
解：设AOB α∠=.在AOB ∆中，由余弦定理，得
图1-3-3
22212212cos 54cos AB αα=+-⨯⨯=-.
于是，四边形OACB 的面积为 5sin 3cos 34αα=-+ 52sin 334πα⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭
. 因为0απ<<，所以当32π
π
α-=时，56
απ=，即56
AOB π∠=时，四边形OACB 的面积最大. 对于本例，教学中可引导学生分析得到四边形OACB 的面积随着()AOB α∠的变化而变化.这样将四边形OACB 的面积表示成α的函数，利用三角形的有界性求出四边形OACB 面积的最大值.
例4．ABC ∆中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，①求最大角的余弦值； ②求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积.
解：①设三边1,,1+==-=k c k b k a ， *
∈N k 且1>k ， ∵C 为钝角， ∴2224cos 022(1)
a b c k C ab k +--==<-，解得41<<k ， ∵*∈N k ， ∴2=k 或3，但2=k 时不能构成三角形应舍去，
当3=k 时，12,3,4,cos 4a b c C ====-
； ②设夹C 角的两边为y x ,，4=+y x ，
所以，21515sin (4)(4)44
S xy C x x x x ==-⋅=⋅-+，当2=x 时，max 15S =． 2．练习：
1．书上P20页练习第2题，习题1.3第1题.
2．在ABC ∆中，已知()()()456::::b c c a a b +++=，求ABC ∆的最大内角；
3．已知ABC ∆的两边,b c 是方程2400x kx -+=的两个根，的面积是1032cm ，周长是
20cm ，试求A 及k 的值；
4．如图，AB BC ⊥，33CD =，
30ACB ∠=，75BCD ∠= ，45BDC ∠=， 求AB 的长.
（答案：112）
四．回顾小结：
1．正弦、余弦定理是解三角形的有力工具，要区别两个定
理的不同作用，在解题时正确选用； 2．由于有三角形面积公式，解题时要时刻与三角形面积与
三角形外接圆直径联系在一起；
3．应用正弦、余弦定理可以实现将“边、角相混合”的等式转化为“边和角的单一”形式；
4．在较为复杂的图形中求边或角，首先要找出有关的三角形，再合理使用正弦定理或余弦定理解决.
五．课外作业：书上P21习题1.3，第5，6，7题，P24复习题第6题. 图1-3-4 第4题。