江苏省东海高级中学届高三第一次学情调研数学5页

江苏省东海高级中学2011-2012学年高三第一次学情调研试
题 数学
参考公式：
锥体的体积公式：13
V Sh =锥体，其中S 是锥体的底面面积，h 是高. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．
. 1.复数2(1)1i z i
+=-的共轭复数是____________.
2.若A=04|{2<-x x x }，B={}|30x x -<，则A B I =______________.
3.1-=m 是直线01)12(=+-+y m mx 和直线033=++my x 垂直的 ___________(充要条件，充分条件，必要条件，非充分非必要条件)
4.等比数列}{n a 中,已知4,242==a a ,则=6a ______________.
5.已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则椭圆的离心率等于_________-______________.
6.设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，是下列命题中正确的是__________.
①若//a b ，//a α，则//b α ②若αβ⊥，//a α，则a β⊥
③ 若αβ⊥，a β⊥，则//a α ④若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则αβ⊥ 7.在ABC ∆中，a=15,b=10,A=60°，则cos 2B =__________________
8.设a R ∈，函数()x x f x e a e -=+⋅的导函数'()y f x =是奇函数，若曲线
()y f x =的一条切线斜 率为32
，则切点的横坐标为_____________.
9．已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标伸长为
原来的2倍，纵坐
标不变，再将所得图象向右平移4
π
个单位，得到函数()y g x =的图象，则
函数()y g x =的解析式 为_____________________.
10.双曲线2
2
12
y x -=的渐近线与圆222(3)(0)x y r r +-=>相切，则
r=________________.
11.已知实数,x y 满足153
x y
+≤，则2z x y =+的最小值是 .
12. 已知2z x y =-，式中变量x ，y 满足约束条件,1,2,y x x y x ≤⎧⎪
+≥⎨⎪≤⎩
，则z 的最大值
为______.
13.数列{}n a 满足下列条件：11a =，且对于任意的正整数n ，恒有2n n a na =，
则100
2a 的值为_______.
14．以原点为圆心且过22
21(0,0)x y a b a b
2-=>>左右焦点的圆，被双曲线的两
条渐近线分成面积相等的四个部分，则双曲线的离心率为 . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.已知)2
sin(3)2cos()(x x x f ++-=π
π∈x (R ).
（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．
16.已知命题:p 对]1,1[-∈m
，不等式253a a -+≥:q 方程240x ax ++=在实数集内没有解；若p 和q 都是真命题,求a 的取值范围.
17.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层、每层4000平方米的楼房。

经初步估计得知，如果将楼房建为x （x ≥12）层，则每平方米的平均建筑费用为Q(x)=3000+50x （单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费最小值是多少？
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用
=
建筑总面积
购地总费用
）
18．已知ABC ∆的边AB 边所在直线的方程为360x y --=,(20)M ，满足
BM =, 点(11)T -，在AC 边所在直线上且满足0=⋅．
（1）求AC 边所在直线的方程； （2）求ABC ∆外接圆的方程； （3）若动圆P 过点(20)N -，
，且与ABC ∆的外接圆外切，求动圆P 的圆心的轨迹方程．
19. 设)(x f 是定义在],[b a 上的函数，用分点
b x x x x x a T n i i =<<<<<<=-ΛΛ110:将区间],[b a 任意划分成n 个小区间，如果存在一个常数0>M ，使得和式M x f x f n
i i i ≤-∑=-11)()(（n i ,,2,1Λ=）恒
成立，则称)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.
（1）函数2)(x x f =在]1,0[上是否为有界变差函数？请说明理由； （2）设函数)(x f 是],[b a 上的单调递减函数，证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数；
（3）若定义在],[b a 上的函数)(x f 满足：存在常数k ，使得对于任意的
1x 、],[2b a x ∈ 时，2121)()(x x k x f x f -⋅≤-.证明：)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.
20.设｛a n ｝是由正数组成的等差数列，S n 是其前n 项和. （1）若S n ＝20，S 2n ＝40，求S 3n 的值；
（2）若互不相等正整数p ，q ，m ，使得p ＋q ＝2m ，证明：不等式S p S q
＜S 2m 成立；
（3）是否存在常数k 和等差数列｛a n ｝，使ka 2n －1＝S 2n －S n+1恒成立
（n∈N *），若存在，试求出常数k 和数列｛a n ｝的通项公式；若不存在，请说明理由.
参考答案：1.-1+i, 2.(0,3) 3. 充分条件 4. 8 5. 3
6. ④
7.1
3
8.ln2 9.3)4
y x π=-10-；12. 5 13. 49502；
15. 解：（1）∵()x x x f cos 3sin +=
(2) 当13sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛
+πx 时, )(x f 取得最大值, 其值为2 .
此时23
2
x k π
π
π+
=
+，即26
x k π
π=+
∈k (Z ).
16.解]3,22[8],1,1[2∈+∴-∈m m Θ,因为对]1,1[-∈m ,不等式
253a a -+≥恒成立,可得2533a a -+≥,5a ∴≥或0a ≤.故命题p 为真命题时,5a ≥或0a ≤.又命题q ：方程240x ax ++=在实数集内没有解,2160a ∴∆=-≤, 44a ∴-≤≤.故命题q 为真命题时44a -≤≤.
{|50}a a a ≥≤Q 或{|-44}a a ⋂≤≤={|-40}a a ≤≤.a 的取值范围是-40a ≤≤. 17.解：设楼房每平方米的平均综合费为)(x f 元，依题意得
当且仅当2020000
50==x x
x 即上式取”=”
因此，当20=x 时，)(x f 取得最小值5000(元).
答：为了使楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为20层，
每平方米的平均综合费最小值为5000元。

∴椭圆的标准方程为13
42
2=+
y x . (2)由(1)知F 1(-1,0),F 2(1,0).设M 1(4,)t ，N 2(4,)t 则1F M u u u u r
＝
1(5,)t ,2F N =u u u u r 2(3,)t ,OM =u u u u r 1(4,)t ,ON =u u u r 2(4,)t ,因为120F M F N ⋅=u u u u r u u u u r
,所以
12530.t t ⨯+=OM ⋅u u u u r ON =u u u r
1244161510t t ⨯+=-=>，故∠MON 为锐角.所以原点
O 在圆E 外. 18．解：（I ）Θ0=⋅AB AT
又AB 边所在直线的方程为360x y --=，所以直线AC 的斜率为3-． 又因为点(11)T -，在直线AC 上，
所以AC 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+．即320x y ++=． （II ）AC 与AB 的交点为A ，所以由36032=0
x y x y --=⎧⎨
++⎩，
解得点A 的坐标为(02)-，，
又
r=AM ==
从ABC ∆外接圆的方程为: 22(2)8x y -+=． （III ）因为动圆P 过点N ，所以PN 是该圆的半径，又因为动圆P 与圆M
外切，
所以PM PN =+
PM PN -= 故点P 的轨迹是以M N ，
为焦点，实轴长为的双曲线的左支．
因为实半轴长a =2c =
．所以虚半轴长b ==
从而动圆P
的圆心的轨迹方程为22
1(22
x y x -=≤．
19.解：（1）Θ函数2)(x x f =在]1,0[上是增函数， ∴对任意划分T ，)()(1->n n x f x f
取常数1≥M ，则和式M x f x f n
i i i ≤-∑=-1
1)()(（n i ,,2,1Λ=）恒成立，
所以函数2)(x x f =在]1,0[上是有界变差函数. …………4分 （2）Θ函数)(x f 是],[b a 上的单调递减函数，
且对任意划分T ，b x x x x x a T n i i =<<<<<<=-ΛΛ110: ∴一定存在一个常数0>M ，使M b f a f ≤-)()(，
故)(x f 为],[b a 上的有界变差函数. …………9分
（3）Θ2121)()(x x k x f x f -⋅≤-
∴对任意划分T ，b x x x x x a T n i i =<<<<<<=-ΛΛ110:
取常数)(a b k M -=，
∴由有界变差函数定义知)(x f 为],[b a 上的有界变差函数. …………14分
20解：（1）在等差数列｛a n ｝中，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列，
∴S n ＋（S 3n －S 2n ）＝2（S 2n －S n ）∴S 3n ＝3 S 2n －3 S n ＝60 （2）S p S q ＝4
1
pq （a 1＋a p ）（a 1＋a q ）＝4
1
pq ［a 21＋a 1（a p ＋a q ）＋a p a q ］
＝41pq （a 21＋2a 1a m ＋a p a q ）＜41（2
q p +）2［a 2
1＋2a 1a m ＋（2q p a a +）2］
＝41m 2（a 21＋2a 1a m ＋a 2m
）＝［2
1m （a 1+a m ）］2
＝S 2m
（3）设a n ＝pn ＋q （p ，q 为常数），则k a 2n
－1＝kp 2n 2＋2kpqn ＋kq 2
－1 S n+1＝2
1
p （n ＋1）2＋
2
2q
p （n ＋1） S 2n ＝2pn 2＋（p ＋2q ）n ∴S 2n －S n+1＝23pn 2＋2
-2p
q n －（p ＋q ），
依题意有kp 2n 2＋2kpqn ＋kq 2－1＝23 pn 2＋2
-2p
q n －（p ＋q ）对一切正
整数n 成立，
由①得，p ＝0或kp ＝2
3
； 若p ＝0代入②有q ＝0，而p ＝q ＝0不满
足③，
∴p≠0 由kp ＝2
3代入②，
∴3q＝2-2p q ，q ＝－4p 代入③得， 162kp －1＝－（p －4
p ），将kp ＝
23
代入得，∴ p＝27
32
，
解得q ＝－278，k ＝64
81
故存在常数k ＝6481及等差数列a n ＝2732n －27
8
使其满足题意
希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条： 1、宁可辛苦一阵子，不要苦一辈子。

2、为成功找方法，不为失败找借口。

3、蔚蓝的天空虽然美丽，经常风云莫测的人却是起落无从。

但他往往
会成为风云人物，因为他经得起大风大浪的考验。