北师大版高中数学必修第一册 第二章 2-2《分段函数》课件PPT

+ = 1,
= −1,
解得ቊ
= 2,
= 2.
∴左侧射线对应的函数解析式为y=-x+2(x≤1).
同理,当x≥3时,对应的函数解析式为y=x-2(x≥3).
再设抛物线对应的二次函数解析式为y=a(x-2)2+2(1<x<3,a<0).
∵点(1,1)在抛物线上,∴a+2=1,∴a=-1.
2.已知函数值求自变量的值的步骤
(1)先确定所求自变量的值可能存在的区间及其对应的函数解析式.
(2)再将函数值代入不同的解析式中.
(3)通过解方程求出自变量的值.
(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内.
延伸探究
在本例已知条件下,若f(x)>0,求x的取值范围.
≥ 2,
0 ≤ < 2,
< 0,
可得到以下函数解析式y=
4,10 < ≤ 15,∈N+ ,
5,15 < ≤ 19,∈N+ .
根据这个函数解析式,可画出函数图象,如图所示.
典例剖析
例
分段函数的理解与应用
如图所示,已知底角为45°的等腰梯形ABCD,底边BC长为7 cm,腰长为2 2 cm,
当垂直于底边BC(垂足为F)的直线l从左至右移动(与梯形ABCD有公共点)时,直线l
第二章
§2
函 数
2.2
函数的表示法
第2课时
分段函数
学习目标
1.了解分段函数的概念.
2.会求分段函数的函数值,能画出分段函数的图象.
3.能在实际问题中列出分段函数,并能解决有关问题.
核心素养：数学抽象、直观想象、数学建模
新知学习
情境导学
根据我国地理学家的估算,我国的水资源总量约为27 000亿m3,而可利用的水资源不足总量的1%,现我国属
∴当1<x<3时,对应的函数解析式为y=-x2+4x-2(1<x<3).
综上可知,所求函数的解析式为
− + 2, ≤ 1,
y=ቐ− 2 + 4−2,1 < < 3,
−2, ≥ 3.
变式训练
已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式为
f(x)=ቊ
+ ,− ≤ < ,
画图象.
变式训练
2 , < 0,
下列图形是函数y=ቊ
的图象的是( C )
−1, ≥ 0
典例剖析
例3
根据分段函数图象求解析式
已知函数y=f(,求函数的解析式.
解析:根据图象,设左侧的射线对应的函数解析式为y=kx+b(x≤1).
∵点(1,1),(0,2)在射线上,∴ቊ
1
2
当f(x)=x2=2时,x=± 2,其中x= 2符合0≤x<2.当f(x)= x=2时,x=4,符合x≥2.
综上,x的值是 2或4.
1
9
9
= 2 × 4 = 8.
反思感悟
1.求分段函数的函数值的步骤
(1)先确定所求值对应的自变量属于哪一段区间.
(2)再代入该段对应的解析式进行求值,直到求出值为止.当出现f(f(x))的形式时,应从内到外依次求值.
x−1,x ≥ 1,
1−x,x < 1.
−x−2,x ≤ −1,
自定义函数:如f(x)=ቐx 2 −x−2,−1 < x ≤ 2,
x + 2,x > 2.
分段函数的求值
典例剖析
例1
+ 2, < 0,
2
已知函数f(x)= ,0 ≤ < 2,
1
, ≥ 2,
2
1
(1)求f − 2
表达式依次画出图象,要注意确定每段图象的端点是空心点还是实心点,各段函数图象组合到一起就可得
到整个分段函数的图象.
名师点析
1.分段函数是一个函数,而不是几个函数.
2.求分段函数的函数值的关键是分段归类,即自变量的取值属于哪个区间,就只能用那个区间上的解析式来进
行计算.
3.写分段函数的定义域时,区间端点应不重不漏.分段函数的定义域是各段自变量取值区间的并集.
24
18
(1)根据提供的图象,写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式;
(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式;
(3)在(2)的结论下,用y(万元)表示该股票日交易额,写出y关于t的函数关系式,并求出这30天中第几日交易额最
大,最大值为多少?
1
+ 2,0 < ≤ 20,∈N+ ,
5
解:(1)P=൞ 1
− 10 + 8,20 < ≤ 30,∈N+ .
= −1,
4 + = 36,
(2)设Q=at+b(a,b为常数),将(4,36)与(10,30)的坐标代入,得ቊ
解得ቊ
10 + = 30.
= 40.
日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式为Q=40-t,0<t≤30,t∈N+.
4.分段函数值域的求法是分别求出各段上的因变量的取值集合后取并集;分段函数的最大(小)值的求法是先
求出每段函数的最大(小)值,然后比较各段的最大(小)值,其中最大(小)的为分段函数的最大(小)值.
即时巩固
x−1,x > 0,
函数f(x)=ቐ 0,x = 0, 则f f
x + 1,x < 0,
1
的值是(
1 2
,∈[0,2],
2
综合(1)(2)(3)得函数解析式为y= 2−2,∈(2,5],
1
− 2 (−7) 2 + 10,∈(5,7],
函数图象如图所示.
反思感悟
求实际问题的函数解析式,其关键是充分利用条件建立关于变量的等式,除此之外还需要考虑问
题的实际意义,对于分段函数图象,作图时,要注意端点的取舍,遵循定义域优先的原则.
0.5,0 ≤ ≤ 100,
y=ቊ
分按每千米0.4元定价,则客运票价y(元)与路程x(千米)之间的函数关系式是
0.4 + 10, > 100 .
4.已知函数f(x)=ቊ
+ 1, ≥ 0,
若f(a)=2,则实数a=
4, < 0,
1
解析:当a≥0时,由a+1=2,得a=1>0,所以a=1符合题意;
随堂小测
2 , > 0,
1.已知f(x)=ቐ π, = 0, 则f(f(-3))等于( B )
0, < 0,
A.0
B.π
C.π2
D.9
||
2.函数f(x)=x+ 的图象是( C )

3.某客运公司确定客运票价的方法是:如果路程不超过100千米,票价是每千米0.5元,如果超过100千米,超过部
1
(1)当点F在线段BG上,即x∈[0,2]时,y=2x2;
+(−2)
×2=2x-2;
2
(2)当点F在线段GH上, 即x∈(2,5]时,y=
(3)当点F在线段HC上,即x∈(5,7]时,
1
1
1
y=S五边形ABFED=S梯形ABCD-SRt△CEF=2(7+3)×2-2(7-x)2=-2(x-7)2+10.
题时要结合实际意义写出分段函数的解析式,再根据需要选择合适的解析式解决问题.
变式训练
某市郊带空调公共汽车的票价按下列规则制定:
(1)乘坐汽车5千米以内,票价2元;
(2)5千米以上,每增加5千米,票价增加1元(不足5千米按5千米计算).
每相邻两个站点之间的距离为1千米,如果某空调公共汽车运行路线中设20个汽车站；(包括起点站和终点站),求票价
1
1
当a<0时,由4a=2,得a=2>0,所以a=2不符合题意.故a=1.
.
2 , > 0,
5.已知函数f(x)= 1, = 0,
1
− , < 0.
(1)画出函数的图象;
(2)求f(1),f(-1),f[f(-1)]的值.
解:(1)图象如图所示.
1
(2)f(1)=12=1,f(-1)=-−1=1,f[f(-1)]=f(1)=1.
−, ≤ ≤
.
典例剖析
例4
分段函数在实际中的应用
某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t,P),
点(t,P)落在下图中的两条线段上,该股票在30天内(包括30天)的日交易量Q(万股)
与时间t(天)的部分数据如下表所示.
第天
4
10
16
22
(万股)
36
30
课堂小结
的值; (2)若f(x)=2,求x的值.
分析：(1)由内到外,先求f −
1
2
,再求f −
1
2
,最后求f −
1
2
;
1
(2)分别令x+2=2,x2=2,2x=2,分段求x的值并验证.
解:(1)f
1
−2
1
3
=-2+2=2,∴f

1
−2
=f
3
2
=
3 2
2
9
1
= 4,∴f − 2
=f
9
4
(2)当f(x)=x+2=2时,x=0,不符合x<0.
1
(3)由(1)(2)可得y=൞
(5 + 2) × (40−),0 < ≤ 20,∈N+ ,
1
(− 10
1
− 5 2 + 6 + 80,0 < ≤ 20,∈N+ ,
即y=൞ 1
2 −12 + 320,20 < ≤ 30,∈N .
+ 8) × (40−),20 < ≤ 30,∈N+ .
超过10 m3部分
水费(元/m3)
2.27
3.40
污水处理费(元/m3)
0.30
0.80
探究新知
分段函数
1.分段函数的定义
如果一个函数,在其定义域内,对于自变量的不同取值区间,有不同的对应关系,则称其为分段函数.
2.分段函数的图象
分段函数有几段,它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直角坐标系中,根据分段函数每段的定义区间和

+
10
当0<t≤20时,当t=15时,ymax=125;
1
当20<t≤30时,y=10t2-12t+320在(20,30]上结合二次函数图象(略)知, y<y(20)<y(15)=125.
所以,第15日交易额最大,最大值为125万元.
反思感悟
分段函数的意义是不同范围内的自变量x与y的对应关系不同,从而需分段来表达它.解决实际问
2−2, > 3,
它的图象如图②.观察图象,得函数的值域为[4,+∞).
反思感悟
1.因为分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样,所以它的图象也由几部分构成,有的可以是光滑的
曲线段,有的也可以是一些孤立的点或几段线段,画图时要特别注意区间端点处对应点的实虚之分.
2.对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数来
解:∵f(x)>0,∴ቊ
或ቊ 2
或 ቐ1
> 0.
+2>0
>0
2
∴-2<x<0或0<x<2或x≥2. ∴x的取值范围是(-2,0)∪(0,+∞).
分段函数的图象
典例剖析
例2
画出下列函数的图象,并写出它们的值域:
1
,0
(1)y=ቐ
< < 1,
(2)y=|x+1|+|x-3|.
2, ≥ 1;
y(元)关于路程x(千米)的函数解析式,并画出图象.
解:设票价为y元,里程为x千米,根据题意,
如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站(包括起点站和终点站),那么汽车行驶的里程约为19千米,
所以自变量x的取值范围是{x∈N+|x≤19}.
由空调汽车票价制定的规定,
2,0 < ≤ 5,∈N+ ,
3,5 < ≤ 10,∈N+ ,
把梯形分成两部分,令BF=x cm,试写出左边部分的面积y关于x的函数解析式,并画
出大致图象.
解:过点A,D分别作AG⊥BC,DH⊥BC,垂足分别是G,H.
因为四边形ABCD是等腰梯形, 底角为45°,AB=2 2 cm,所以BG=AG=DH=HC=2 cm.
又BC=7 cm,所以AD=GH=3 cm.
分析：先化简函数解析式,再画函数图象,在画分段函数的图象时,要注意对应关系与自变量取值范围的对
应性.
1
,0
解:(1)函数y=ቐ
< < 1,
2, ≥ 1
的图象如图①,观察图象,得函数的值域为(1,+∞).
−2 + 2, ≤ −1,
(2)将原函数式中的绝对值符号去掉,化为分段函数y=ቐ 4,−1 < ≤ 3,
1
A.2
解析:f
1
2
3
B.-2
1
2
1
1
C.2
1
1
1
= 2-1=-2,f − 2 =-2+1=2.
A
)
3
D.-2
拓展
几种常见的分段函数如下.
取整函数:如f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数).
−1,x < 0,
符号函数:如f(x)=sgn x=ቐ 0,x = 0,
1,x > 0.
含绝对值符号的函数:如f(x)=|x-1|=ቊ
于水资源贫困的国家,为了加强公民的节水意识,某城市制定每户月用水收费(含用水费和污水处理费)标准:
如果小明家上个月用水量为8.9 m3,这个月用水量为12 m3,他家两个月分别应该交多少水费?每月用水量
x(m3)与应交水费y(元)之间的关系是否可以用函数解析式表示出来?这个解析式有什么特点?
用水量
不超过10 m3部分