第三章刚体力学基础

（1）轴通过棒的一端并与棒垂直轴。z
（2）轴通过棒的中心并与棒垂直；
dm
解：
J
r 2dm
dm dx m dx
o x dx
x
l
J l x2 m dx 1 m x3 l J 1 ml2
0l
3l 0
3
L
JC
2 L
x 2dx
mL2
/ 12
A
C
2
L/2
B
L/2
x
注：同一刚体，相对不同的转轴，转动惯量是不同的。
J ,r
质点A
T1 mg sin maA
质点B
mg T2 maB
滑轮（刚体） T2r T1r J
( T2 T2,T1 T1)
联系量 aA aB r
联立求解可得T1 、T2、 aA、 aB、
A
B
FN
T1 FR T1 mg T2
T2 m1g
为什么此时T1 ≠ T2 ？
mg
3、 平行轴定理与垂直轴定理
J11 J1 J2 2
ω
则B轮的转动惯量
J2
1 2 2
J1
n1 n2 n2
J1
20.0kg m2
(2)系统在啮合过程中机械能的变化为.
E
1 2
J1
J2
12
1 2
J112
1.32
104
J
质点的运动规律和刚体定轴转动规律的对比(一)
速度 加速度
质点v的运d动r
a
dt dv
dt
质量m, 力F
第一节 刚体运动的描述
一. 刚体
内部任意两点的距离在运动过程中始终保持不变的物 体，即运动过程中不发生形变的物体。
• 刚体是实际物体的一种理想的模型
二、刚体的自由度 用以确定一个物体在空间的位置所需的独立坐 标的个数。
自由刚体的自由度数 n=6 非自由刚体的自由度数小于6
C
A
B
物体系运动自由度n，决定了其独立的微分方程组的数目 有n个，其中每个方程均为二阶微分方程.若运动被限制或被 约束,其自由度将减少。多一个约束条件,就减少一个自由度。
在质点作匀加速直 线运动时，a =常数， 有以下相应的公式:
θ
θ0
ω0 t
1 2
βt
2
x
x0
v0t
1 at 2 2
ω ω0 βt v v0 at
ω2 ω0 2 2βθ θ0 vt 2 v02 2a( x x0 )
刚体获得角加速度的原因？
第二节 刚体定轴转动定律 角动量守恒定律
b
力的功 A F dr a
动能
Ek
1 2
mv 2
势能
E p mgh
刚体的定轴转动
角速度
23
3
23
2
3
由前 6mo
l(3M 4m )
o 零势面
2l
3
由此得： cos 1
(mo
2l 3
)2
mo A
2[ 1 Ml 2 m( 2l )2 ](Mg l mg 2l )
3
3
2
3
Ek
1 2
J 2转动动能
Ek
1 2
m 2平动动能
例6-8 A与B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接,A轮的转动惯
解：棒下摆为加速过程，外
力矩为重力对O的力矩。 当 O
棒处在下摆角时，重力矩
C
为：
M 1 mgl cos
2
mg
M
1 mgl cos
2
3g cos
J
1 ml 2
2l
3
M J J d J d d J d dt d dt d
Md Jd 代入M＝1 mgl cos
2
1 mgl cosd Jd
一、刚体定轴转动的动能与动能定理
力矩的功
dWi Fi dli Fi cosi dli
Fi sin i rid
Firi sin i d Mid
dW dWi Mid Md
i
i
W Md 0
• 刚体的内力不做功
Z
Fi
P
O
d
dli
i i
ri
P0
1．刚体的转动动能
2. 刚体定轴转动的动能定理
1. 刚体对定轴的角动量
回顾：质点对O点的角动量
L Li mivi ri
L
r
p
大小: L pr sin
方向:z由r p决定
pd
i
i
miri2 J i
d
r
o
p
L J
Z
角 中动L 的 量方 L 向是沿矢量的，方定向轴，转即动
L J
vi
O
ri
mi
由2转. 动刚定体律定M 轴 转动J的角动J量d定理
dt d dt d 2l
由W Ek Ek 0 得： 3g sin / l
C
（2） v l 3gl sin
a l 3g cos / 2
an
l 2
3g
sin
mg
A
例题 匀质杆：长为l、质量M，可绕水平光滑固定轴o
转动，开始时杆竖直下垂。质量为m的子弹以水平速度
o射入杆上的A点，并嵌在杆中，oA=2l/3, 求:(1)子弹射 入后瞬间杆的角速度; (2)杆能转过的最大角度。
平行轴定理：
Jz
Jz Jc md2
例：
Jc
1 2
mR2
Jz
1 2
mR2
mR2
3 2
mR2
Jc
R
m
垂直轴定理
z
J z J x J y
y
o
例：
JZ
1 mR 2 2
x
Jx
Jy
2Jx
1 2
mR 2
Jx
Jy
1 4
mR 2
几 种 常 见 刚 体 的 转 动 惯 量
五 刚体定轴转动的角动量与角动量定理
一、力对转轴的力矩
1、力在转动平面内
2、力不在转动平面内
Z
Mz
O d
r
f
P
f
Z M z
f
f2
O
f1
rP
转动平面
Mz
Mz
rf
r
sin
f
rf
穿过转轴Z的力 和平行转轴Z的 力对转轴Z的力
方向如图
矩为0。
转动平面
Mz r f1
Mz rf1 sin rf
方向如图
再看一个模型力矩
将刚体的运动看作质心的平动 与相对于通过质心并垂直运动平 面的轴的转动的叠加。
4.刚体定点转动（n=3） 刚体运动时，始终绕一固定点转动.
5. 刚体的一般运动（n=6）
O
刚体的一般运动可视为随刚体上
某一基点A的平动和绕该点的定点
转动的合成.
O
O
四、 刚体定轴转动的描述
1. 定轴转动的角量描述
角位置： (t)
角位移： (t) (t0 )
角速度： d
角加速度：
dt
d
dt
d 2
dt2
• 角速度和角加速度均为矢 量，定轴转动中方向沿转轴 的方向。角速度方向并满足 右手螺旋定则。
2. 角量和线量的关系
v r
a r
an
r 2
3、匀变速转动的公式
在刚体作匀角加 速转动时，=常数， 有以下相应的公式:
对于定轴z轴转动刚体,上式同样成立,
且M只沿z轴方向,故有:
Mz
dLz dt
如图所示，考虑以角速度 绕z轴转
动的一个刚体，其上任一质元 m相i 对
于原点0的角动量为
Li Ri (mivi ) mi Ri vi Li mi Rivi
Li在z轴上的分量为：
Liz Li sin mi Rivi sin mirivi miri2
M~ F
与牛顿第二定律比较： 量
1. 转动惯量的物理意义：刚体转动惯性大小的量度。
2. 转动惯量的计算 J miri2
dm
连续体： J r 2dm
m
r
在（SI）中，J 的单位：kgm2
转动惯量大小有关因素:与刚体的质量及 质量相对于给定轴的分布有关。
注:在定轴转动定律中，不论是对M还是对于J，首先都要 明确的是转轴的位置，只有轴确定，M和J才有意义。
2
1 mgl cosd
Jd
02
0
1 mgl sin 1 J 2
2
2
mgl sin 3g sin
J
l
例6-4 质量为 m ，半径为 R 的细圆环和均匀薄圆盘，求通过 各自中心并与圆面垂直的轴的转动惯量。
解：对圆环：J R2dm R2 dm mR2
对圆盘：
dm 2 rdr
因此，定轴转动刚体的总角动量 L 对转动轴 z 轴的分量
的大小为：
Lz Liz miri2
i
i
令：J
miri2
i
Lz J
J ：称为刚体对于
转轴的转动惯量
由: Mz
dLz dt
d J
dt
对定轴刚体，
J为常量，∴
Mz
J
d
dt
J
定轴下，可不写角标 Z，记作： M J
刚体定轴转动定律
以零初速自由下摆，求（1）细棒摆到某一角位置 时，细棒的
角速度和角加速度，（2）细棒末端 A 的线速度和加速度。 解：
（1）W
M d
mg l cosd 1 mgl sin
0
02
2
Ek 0 0,
Ek
1 J 2
2
1 (1 ml 2 ) 2
23
3g sin / l
l
d d d d 3g cos
2.定轴转动（n=1） 刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称
为刚体的转动。这条直线称为转轴。 定轴转动： 转轴固定不动的转动。
z
O
特点：刚体内所有的点具有相同的角位移、角速度和角加速 度。——刚体上任一点作圆周运动的规律即代表了刚体定轴 转动的规律
3.平面平行运动（n=3）
刚体运动时, 各点始终和某一平面保持一定的距离, 或者说 刚体中各点都平行于某一平面而运动
M r F
z
F||
r
O
d
P
F
F
大小： 方向：
M
沿
r
Fr sin Fd
F 方向。定轴转动中沿转动轴的方向。
当有n个外力作用有定轴转动的刚体上时，其总力矩的 量值应等于这n个外力对转轴产生分力矩的代数和。
？为什么
二. 定轴转动定律 转动惯量
质的点变系化角率动(P8量5)定M理 外:质点ddLt系所受外力矩之和等于系统总角动量
三、 刚体运动的几种形式
刚体的任意运动都可视为某一点的平动和绕通过该点 的轴线的转动
1. 平动（平移） （n=3）
运动过程中刚体内任意一条直线在运动过程中始终保 持方向不变。
研究方法：用 质心代表整个 刚体的运动。 可视为质点。
特点：刚体内所有的点具有相同的位移、速度和加速度。 －－刚体上任一点的运动规律即代表刚体的平动规律。
M o R dm
J r2dm 2 r3dr
J 2 R r3dr 0 R4 1 mR2 22
M
dr
R
r
例6-2、如图，斜面倾角为α，质量均为m的两物体A、B，经
细绳联接，绕过一定滑轮。定滑轮转动（视为圆盘）半径为R、
质量为m。求物体运动中定滑轮两侧绳中的张力及B下落的加
速度a（不计摩擦） 解：分析受力：图示
MghC
i
Ep MghC
刚体定轴转动械能守恒定律 M外 0 E Ep Ek C
推广：对含有刚体和质点复杂系统， 若外力不做功，且内力都是保守力， 则系统机械能守恒，即
E Ek Ep C
质点： Ek
1 2
mv
2
,E
p
mgh
刚体： Ek
1 2
J 2 ,E p
MghC
mi
hi
例 6-5、6 如图，质量为 m，长为 l 的均匀细棒 OA 自水平位置
四：刚体定轴转动定律的应用和转动惯量的计算
M J d J J r 2dm
dt
1、对于转动惯量：
质量为线分布 dm dl 其中、、分
质量为面分布
dm ds
别为质量的线密 度、面密度和体
质量为体分布 dm dV 密度。
线分布
面分布
体分布
例6-3 求一质量为 m ，长为 l 的均匀细棒的转动惯量。
量J1=10.0kg.m2,开始时B轮静止,A轮以n1=600r.min-1的转速转动,然 后使A与B连接,因而B轮的到加速而A轮减速,直到两轮的转速都等
于n=200r.min-1为止.求(1)B轮的转动惯量;(2)在啮合过程中损失的
机械能. 解:
A
B
(1)取两飞轮为系统,因轴向力不产生
转动力矩；据系统的角动量守恒,有
2、对于转动定律的应用
解题要点
1）受力分析及力矩分析
质点 :根据牛顿第二定律
:
F
ma
2）列方程： 刚体 :根据转动定律 : M J
无滑动条件 : a R
3）解方程
例6-1、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的 光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位
置，求它由此下摆角时的角加速度和角速度。
Ek
i
(
1 2
mi
vi2
)
1 ( 2
i
miri2 ) 2
1 2
J
2
M J J d J d d J d
dt d dt
d
Md
0
Jd
0
1 2
J
2
1 2
J
2 0
Ek
1 2
J 2
W
Z
Ek
Ek 0
vi
O
ri
mi
二、刚体的重力势能
mi hi
E p mi ghi Mg i i
mi
解 (1)杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力) 均不产生力矩，故碰撞过程中角动量守恒：
mo
2l 3
[1 3
Ml 2
m( 2l )2 ]
3
解得 6mo
l(3M 4m)
o
2l 3
mo A
(2)杆在转动过程中显然机械能守恒：
1 [1 Ml 2 m( 2l )2 ] 2 Mg l - mg 2l Mg l cos - mg 2l cos
dt
t
L
Mdt t0
dL
L0
J
J0
M
d(J )
dL
dt dt
冲量矩（角冲量）
表示合外力矩在t0t 时间内的累积作用。
角动量定理
作用在刚体上的冲量矩等于其角动量的增量。
2.
刚体定轴转动的角动量守恒定律
M 0 L J C －－角动量守恒定律
角动量守恒现象举例
第三节 刚体的能量