2020年高中物理竞赛-电磁学篇(电磁场理论)04静态电磁场求解：镜像方法(共16张PPT)
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电磁场理论
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
4.4 镜像方法
1 镜像方法的基本思想 以静电场Green函数满足的 方程为例：
2G r ,r'
1 r r'
| G r ,r'
0
s
物理上它表示接地导体壳内
单位点电荷的电位，它由单
位电荷在直接激发的电位和
P r' r'dV
D
V
V
3r'
r'
r'
dV
eˆ xeˆ x D11 eˆ yeˆ x D21
eˆ zeˆ x D31
eˆ xeˆ y D12 eˆ yeˆ y D22 eˆ zeˆ y D32
eˆ xeˆ z D13
eˆ
y
eˆ z
D23
eˆ zeˆ z D33
Dij 3xixj x1 ,x2 ,x3 dx1dx2 dx3
V
其中 x1 x,x2 y,x3 z，i, j 1 3
3 展开式各项的意义 — 电多极矩概念
零级展开项：
0r Q
4π 0r
表示电荷全部集中于坐标原 点时在远处产生的电位。它 是忽略电荷体中不同电荷元 到场点距离差别的直接结果
Q r'dV
V
一级展开项：
(1)r
1 4π 0
V
r'
d1
d2
)
0
, Q' 2 d1 d2 0
d2
a2 d1
Q' a d1
4.5 势函数的多极矩展开
1. 无界空间中势函数需要计算：
r
1
4π 0
V
r' dV
r r'
上述体积分的精确计算是困难的，其
原因在于被积函数中包含了场点变量
在内。今天，利用数值计算的方法，
借助计算机能够给出空间任意场点的
所以： r eˆ zh r" eˆ z f
Q' 0
| | G r,r'
z0
1
4π
0
R1
Q'
4π 0 R2
z0
0
f h
Gr,r'
1
1
1
4 0 x2 y 2 z h2 x2 y 2 z h2
上半空间的Green函数
(1) 镜像原理的基本思想是寻找一个或几个想象 的电荷等效边界感应电荷的贡献
无穷大接地导体平板上方 单位点电荷在上半空间的 电位。定解问题是：
R1 R2
2G r ,r'
1 r r' 0
,
| G r ,r'
0
z0
z0
导体平板上方的电位为单位点电荷的贡献和导体平板 面上感应电荷的贡献的叠加。如果能找到一个与导体 平板感应电荷在上半空间产生电位等效的像电荷Q`来 代替导体平板上的感应电荷，那么导体平板上方的电 位可以表示为
(2) 像电荷须在区域的外部，并且与区域原电荷 符号相反
(3) 像电荷在界面感应电荷与原点电荷连线的延 长线上。理论证明，区域外部像电荷位置与 区域内原电荷的位置互为共轭点对。利用边 界条件确定像电荷大小和位置。
接地导体球壳外部空间 的Green函数
2G r,r'
1 r r' 0
,
3QL2
4π 0
cossin
r3
eˆ xeˆ y xy eˆ yeˆ y yy eˆ zeˆ y zy
eˆ xeˆ z eˆ yeˆ z eˆ zeˆ z
xz yz zz
6 r5
r r' r
r 2!
r
n!
r
所以： r
1
4π 0
V
r' dV
n0
1n
n!
.r n
1 r
利用 r'2 f r r'r' f r r' r' : f r
得到 r
1
4π 0
Q
r
P
1 r
1 6
D
:
1 r
其中
Q
r'
dV
D 3r' r' r'dV
V
V
0r Q 0
4π 0 r
(1
)
r
1 4π 0
V
r'
r'
dV
1 r
Pr 4π 0 r 3
0
r (2)r
1
1
D
:
1
4π0 3!
r
3QL2
4π 0
1 6
eˆ
0 yeˆ x 0
eˆ xeˆ y 0 0
0 eˆ xeˆ x xx 0 eˆ yeˆ x yx 0 eˆ zeˆ x zx
G r, r' 1 Q' 4π 0 R1 4π 0 R2
原电荷
2G r ,r'
1 r r' 0
,
| G r ,r'
0
z0
z0
像电荷
2G r ,r' 1 r r' Q' r r" 0
在上半Βιβλιοθήκη Baidu间等效
① 像电荷的位置不在上半空间 ② 像电荷在原电荷与感应电荷中心的连线上 ③ 像电荷与原电荷的符号相反 ④ 像与原电荷在平面xoy上的电位为零
边界感应电荷激发的电位两
个部分叠加而成。
感应面电荷
上述表达式中，单位点电荷在空间产生的电位已 知道，因此方程的求解最终归结为求出边界感应 电荷产生的电位。为了得到感应电荷及其产生的 电位，人们试图寻找一个或者多个想象的点电荷 来等效边界面上感应电荷对电位的贡献，这个想 象的一个或者多个点电荷称为像电荷。这一方法 称为镜像方法。
r'
dV
1 r
Pr 4π 0 r
3
是小电荷体中电荷
分布的非均匀性所
对应的电偶极矩的
电位。
0r Q 0
4π 0 r
(1)r
Pr 4π 0 r 3
P r' r' dV ˆzLQ
V
二级展开项：
( 2 ) r
1
1
D
: 1
4π 0 3!
r
是小电荷体系的电
四极矩产生的电位
| G r,r'
0
ra
r，r 0
G r,r' 1 Q' 4π 0 R1 4π 0 R2
R1 r 2 d12 2ad1cos
R2
r2
d
2 2
2ad2cos
1
R1
Q' R2
r a
0
(a 2
d
2 2
)
Q'
(a 2
d12
)
0
(a2
d
2 2
)
Q' (a 2
d12
)
2a
cos
(Q'2
数值，但希望对于数值结果的理解有
一个简洁而又清楚的物理图像，以便
建立相应的物理模型。
2 电位函数多极矩展开 由于激励源所在区域的尺度远小于源到场 点的距离，将Taylor展开公式
f
r
r
n
1 r
n!
n
f
r
应用于
1 r r'
得到：
1 1 r' 1 1 r'2 1 －1n r'n 1
Electromagnetic Theory 2020高中物理竞赛 （电磁学篇）
4.4 镜像方法
1 镜像方法的基本思想 以静电场Green函数满足的 方程为例：
2G r ,r'
1 r r'
| G r ,r'
0
s
物理上它表示接地导体壳内
单位点电荷的电位，它由单
位电荷在直接激发的电位和
P r' r'dV
D
V
V
3r'
r'
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dV
eˆ xeˆ x D11 eˆ yeˆ x D21
eˆ zeˆ x D31
eˆ xeˆ y D12 eˆ yeˆ y D22 eˆ zeˆ y D32
eˆ xeˆ z D13
eˆ
y
eˆ z
D23
eˆ zeˆ z D33
Dij 3xixj x1 ,x2 ,x3 dx1dx2 dx3
V
其中 x1 x,x2 y,x3 z，i, j 1 3
3 展开式各项的意义 — 电多极矩概念
零级展开项：
0r Q
4π 0r
表示电荷全部集中于坐标原 点时在远处产生的电位。它 是忽略电荷体中不同电荷元 到场点距离差别的直接结果
Q r'dV
V
一级展开项：
(1)r
1 4π 0
V
r'
d1
d2
)
0
, Q' 2 d1 d2 0
d2
a2 d1
Q' a d1
4.5 势函数的多极矩展开
1. 无界空间中势函数需要计算：
r
1
4π 0
V
r' dV
r r'
上述体积分的精确计算是困难的，其
原因在于被积函数中包含了场点变量
在内。今天，利用数值计算的方法，
借助计算机能够给出空间任意场点的
所以： r eˆ zh r" eˆ z f
Q' 0
| | G r,r'
z0
1
4π
0
R1
Q'
4π 0 R2
z0
0
f h
Gr,r'
1
1
1
4 0 x2 y 2 z h2 x2 y 2 z h2
上半空间的Green函数
(1) 镜像原理的基本思想是寻找一个或几个想象 的电荷等效边界感应电荷的贡献
无穷大接地导体平板上方 单位点电荷在上半空间的 电位。定解问题是：
R1 R2
2G r ,r'
1 r r' 0
,
| G r ,r'
0
z0
z0
导体平板上方的电位为单位点电荷的贡献和导体平板 面上感应电荷的贡献的叠加。如果能找到一个与导体 平板感应电荷在上半空间产生电位等效的像电荷Q`来 代替导体平板上的感应电荷，那么导体平板上方的电 位可以表示为
(2) 像电荷须在区域的外部，并且与区域原电荷 符号相反
(3) 像电荷在界面感应电荷与原点电荷连线的延 长线上。理论证明，区域外部像电荷位置与 区域内原电荷的位置互为共轭点对。利用边 界条件确定像电荷大小和位置。
接地导体球壳外部空间 的Green函数
2G r,r'
1 r r' 0
,
3QL2
4π 0
cossin
r3
eˆ xeˆ y xy eˆ yeˆ y yy eˆ zeˆ y zy
eˆ xeˆ z eˆ yeˆ z eˆ zeˆ z
xz yz zz
6 r5
r r' r
r 2!
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所以： r
1
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利用 r'2 f r r'r' f r r' r' : f r
得到 r
1
4π 0
Q
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D
:
1 r
其中
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D 3r' r' r'dV
V
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0r Q 0
4π 0 r
(1
)
r
1 4π 0
V
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1 r
Pr 4π 0 r 3
0
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1
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D
:
1
4π0 3!
r
3QL2
4π 0
1 6
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eˆ xeˆ y 0 0
0 eˆ xeˆ x xx 0 eˆ yeˆ x yx 0 eˆ zeˆ x zx
G r, r' 1 Q' 4π 0 R1 4π 0 R2
原电荷
2G r ,r'
1 r r' 0
,
| G r ,r'
0
z0
z0
像电荷
2G r ,r' 1 r r' Q' r r" 0
在上半Βιβλιοθήκη Baidu间等效
① 像电荷的位置不在上半空间 ② 像电荷在原电荷与感应电荷中心的连线上 ③ 像电荷与原电荷的符号相反 ④ 像与原电荷在平面xoy上的电位为零
边界感应电荷激发的电位两
个部分叠加而成。
感应面电荷
上述表达式中，单位点电荷在空间产生的电位已 知道，因此方程的求解最终归结为求出边界感应 电荷产生的电位。为了得到感应电荷及其产生的 电位，人们试图寻找一个或者多个想象的点电荷 来等效边界面上感应电荷对电位的贡献，这个想 象的一个或者多个点电荷称为像电荷。这一方法 称为镜像方法。
r'
dV
1 r
Pr 4π 0 r
3
是小电荷体中电荷
分布的非均匀性所
对应的电偶极矩的
电位。
0r Q 0
4π 0 r
(1)r
Pr 4π 0 r 3
P r' r' dV ˆzLQ
V
二级展开项：
( 2 ) r
1
1
D
: 1
4π 0 3!
r
是小电荷体系的电
四极矩产生的电位
| G r,r'
0
ra
r，r 0
G r,r' 1 Q' 4π 0 R1 4π 0 R2
R1 r 2 d12 2ad1cos
R2
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2 2
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1
R1
Q' R2
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d12
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0
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2 2
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Q' (a 2
d12
)
2a
cos
(Q'2
数值，但希望对于数值结果的理解有
一个简洁而又清楚的物理图像，以便
建立相应的物理模型。
2 电位函数多极矩展开 由于激励源所在区域的尺度远小于源到场 点的距离，将Taylor展开公式
f
r
r
n
1 r
n!
n
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r
应用于
1 r r'
得到：
1 1 r' 1 1 r'2 1 －1n r'n 1