正切函数的图像和性质

学科：数学
教学内容：正切函数的图像和性质
【基础知识精讲】
1.正切函数的图像
(1)根据tan(x+π)= ==tanx
(其中x≠kπ+,k∈Z)推出正切函数的周期为π.
(2)根据tanx=,要使tanx有意义，必须cosx≠0,
从而正切函数的定义域为{x｜x≠kπ+,k∈Z}
(3)根据正切函数的定义域和周期，我们取x∈(-,).利用单位圆中的正切线，通
过平移，作出y=tanx,x∈(-,)的图像，而后向左、向右扩展，得y=tanx,x≠kπ+ (k ∈Z)的图像，我们称之为正切曲线，如图所示.
y=tanx
2.余切函数的图像如下：
y=cotx
3.正切函数、余切函数的性质：
{x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z}
{x
R R
每个区间(kπ-,kπ+) 上递增(k∈Z) 每个区间递减
注：正切函数在每一个开区间(kπ-,kπ+)(k∈Z)内是增函数，但不能说成在整个定义域内是增函数，类似地，余切函数也是如此.
【重点难点解析】
本节重点是正切函数图像的画法及性质的运用.正切函数的图像一般用单位圆中的正切
线作.因y=tanx定义域是{x｜x∈R,x≠kπ+,k∈Z}，所以它的图像被平行线x=kπ+ (k ∈Z)隔开而在相邻两平行线之间的图像是连续变化的.
1.正切函数应注意以下几点：
(1)正切函数y=tanx的定义域是{x｜x≠kπ+,k∈Z},而不是R，这点要特别注意：(2)正切函数的图像是间断的，不是连续的，但在区间(kπ-,kπ+)（k∈Z）上是连续的；
(3)在每一个区间(kπ-,kπ+)（k∈Z）上都是增函数，但不能说正切函数是增函数.
2.解正切不等式一般有以下两种方法：
图像法和三角函数线法.图像法即先画出正切函数的图像，找到符合条件的边界角，再写出所有符合条件的角的集合.三角函数线法则先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中划出符合条件的区域(这里特别要注意函数的定义域)，再用不等式正确表示区域.
例1作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间.
分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻(即作出关于x轴对称图像)，就可得到y=｜tanx｜的图像.
所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+(k∈Z);单调减区间为kπ-,k
π］(k∈Z).
说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π.一般地，y=A｜tan(ωx+φ)｜的最小正周期与y=Atan(ωx+φ)的最小正周期相同，均为.
例2求函数y=lg(tanx-)+的定义域.
解：欲使函数有意义，必须
由此不等式组作图
∴函数的定义域为(kπ+,kπ+).
评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法.图像法即先画出函数图像，找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合.三角函数线法则是先在单位圆中作出角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域.要特别注意函数的定义域.
例3求函数y=tan(2x-)的单调区间.
解：y=tanx,x∈(-+kπ, +kπ)(k∈Z)是增函数.
∴-+kπ＜2x-＜+kπ,(k∈Z).
即-+＜x＜+，(k∈Z)
函数y=tan(2x-)的单调递增区间是(-+,+ ).(k∈Z)
例4求函数f(x)=tan(2x+)的周期.
解：因为tan(2x+ +π)=tan(2x+)
即tan［2(x+)+］=tan(2x+)
∴tan(2x+)的周期是.
例5求函数y=3tan(2x+)的对称中心的坐标.
分析：y=tanx是奇函数，它的对称中心有无穷多个，即(,0)(k∈Z).函数y=Atan(ω
x+φ)的图像可由y=tanx经过变换图像而得到，它也有无穷多个对称中心，这些对称中心恰好为图像与x轴交点.
解：由2x+= ,(k∈Z)得
x=- (k∈Z)
∴对称中心坐标为(-,0)(k∈Z)
注意：函数y=Atan(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质可与函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0,ω＞0)的图像及性质加以比较研究.
【难题巧解点拔】
例判断函数f(x)=tan(x-)+tan(x+)的奇偶性，并求此函数的周期及单调区间.
分析：奇偶性的判断必须考虑①定义域是否关于原点对称.②是否对任意x有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)成立；关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求.
解：此函数的定义域为{x｜x∈R且x≠kπ+,k∈Z}它是关于原点对称.
又f(-x) =tan(-x+)+tan(-x-)
=-tan(x-)-tan(x+)=-f(x)
故此函数是奇函数.
y=tan(x-)+tan(x+)
=tan［(x-)+(x+)］［(1-tan(x-)tan(x+)∵sin(-a)=cosa
cos(-a)=sina
∴tan(-a)=cota
cot(-a)=tana
故tan［-(x+)］=cot(x+)
即-tan(x-)=cot(x+)
∴y=tan2x［1+cot(x+)tan(x+)］=2tan2x
故此函数周期为
当kπ-＜2x＜kπ+
-＜x＜+ (k∈Z)
即x∈(-,+ )时，原函数是增函数.
评析：此题的难点在于通过三角恒等化简，将函数化为一个三角函数.同时要求同学们必须熟悉正切函数的性质.
y=Atan(ωx+φ)(A≠0)的周期为T=.
例2已知≤1,求函数y=cot2x-2cotx+5的值域.
分析：从已知条件的不等式中解出cotx的范围，然后在此条件下求被求函数的值域.
解：由已知条件，可得0≤lg［-9cos(x+)］≤1.
得-≤cos(x+)≤
∴kπ+≤x+≤kπ+,（k∈Z）.
∴kπ+≤x≤kπ+,（k∈Z）.
∴0≤cotx≤ y=cot2x-2cotx+5=(cotx-1)2+4
∴当x=kπ+,（k∈Z）时，y取最小值4.
当x=kπ+,（k∈Z）时，y取最大值5.
从而函数y=cot2x-2cotx+5的值域是［4,5］.
【课本难题解答】
课本第72页第5题：
(1){x｜-+kπ≤x＜ +kπ,k∈Z}
(2){x｜+kπ≤x＜+kπ,k∈Z}
第6题：(1)D (2)C (3)C (4)B
【命题趋势分析】
从历届高考试题可以看到，本节内容主要考查函数的定义域，周期性，图像及单调性等知识，一般以选择题，填空题题型出现，属基本题.
【典型热点考题】
例1满足tanα≥cotα的角的一个取值区间是( )
A.(0，)
B.［0，］
C.［，］
D.(，)
分析：本考查正切函数单调性，应化同名函数，再化角为同一单调区间内.
解：由选择项，可以考虑α∈(0，)的情况.
∵tanα≥tan(-α),且α, -α∈(0, )
∴α≥-α,∴≤α＜.
故选C.
例2函数y=的最小正周期是( )
A. B. C.π D.2π
解法1：将四个选项分别代入函数式验算，可知B正确.
∴应选B.
解法2：y==cos4x
∴T==
∴应选B.
例3函数y=+的定义域是 .
由①②得0＜x≤4 ⑤
∴0＜x＜或π≤x≤4.
∴应填(0，)∪[π，4]
例4如果α、β∈(,π),且tanα＜cotβ,那么必有( )
A.α＜β
B.β＜α
C.α+β＜
D.α+β＞
解：∵tanα＜cotβ＜0，∴tanαtanβ＞1.
有tan(α+β)=＞0
有α+β∈(π，)∴α+β＜.
∴应选C.
说明：本题也可采取化为同名函数的方法，或都取特殊值比如取α=β=,可排除A、B、D.。