江苏省南通市2015届高三第一次模拟考试数学试题(解析版)

2015年江苏省南通市高考数学一模试卷
一、填空题
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，则A∩B={﹣1}．
【考点】：交集及其运算．
【专题】：集合．
【分析】：利用交集的定义求解．
【解析】：解：∵集合A={﹣2，﹣1}，B={﹣1，2，3}，
∴A∩B={﹣1}．
故答案为：{﹣1}．
【点评】：本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题．
2．（5分）已知复数z满足（3+4i）z=1（i为虚数单位），则z的模为．
【考点】：复数求模．
【专题】：数系的扩充和复数．
【分析】：复数方程两边求模推出结果即可．
【解析】：解：复数z满足（3+4i）z=1（i为虚数单位），
可得：|（3+4i）z|=1，
即|3+4i||z|=1，
可得5|z|=1．
∴z的模为：．
故答案为：．
【点评】：本题考查复数的模的求法，基本知识的考查．
3．（5分）某中学共有学生2800人，其中高一年级970人，高二年级930人，高三年级900人，现采用分层抽样的方法，抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为93．
【考点】：分层抽样方法．
【专题】：概率与统计．
【分析】：根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可．
【解析】：解：抽取280人进行体育达标检测，则抽取高二年级学生人数为
人，
故答案为：93
【点评】：本题主要考查分层抽样的应用，根据分层抽样的定义建立比例关系是解决本题的关键．
4．（5分）函数f（x）=lg（﹣x2+2x+3）的定义域为（﹣1，3）．
【考点】：函数的定义域及其求法．
【专题】：函数的性质及应用．
【分析】：要使函数有意义，则需﹣x2+2x+3＞0，解出即可得到定义域．
【解析】：解：要使函数有意义，则需
﹣x2+2x+3＞0，
解得，﹣1＜x＜3．
则定义域为（﹣1，3）．
故答案为：（﹣1，3）．
【点评】：本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数必须大于0，考查运算能力，属于基础题．
5．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的x的值是59．
【考点】：程序框图．
【专题】：算法和程序框图．
【分析】：根据题意，模拟程序框图的运行的过程，即可得出程序运行后输出的结果．【解析】：解：模拟程序框图的运行的过程，如下；
x=1，y=1，y＜50，Y；
x=2×1+1=3，y=2×3+1=7，y＜50，Y；
x=2×3+7=13，y=2×13+7=33，y＜50，Y；
x=2×13+33=59，y=2×59+33=151，y＜50，N；
输出x=59．
故答案为：59．
【点评】：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行的过程，是基础题目．
6．（5分）同时抛掷两枚质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的
正方体玩具），观察向上的点数，则两个点数之积不小于4的概率为．
【考点】：几何概型．
【专题】：计算题；概率与统计．
【分析】：列出表格即可得到基本事件的总数和要求的事件包括的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式即可得到．
【解析】：解：列表得：
∴一共有36种情况，向上的点数之积不小于4共有31个．
因此出现向上面的点数之积不小于4的概率P=．
故答案为：．
【点评】：正确列出满足题意的表格和古典概型的概率计算公式理解是解题的关键．
7．（5分）底面边长为2，高为1的正四棱锥的侧面积为4．
【考点】：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】：空间位置关系与距离．
【分析】：由已知中正四棱锥底面边长为2，高为1，求出棱锥侧面的高，代入棱锥侧面积公式，可得答案．
【解析】：解：正四棱锥底面边长为2，高为1，
则侧面的高h==，
故此正四棱锥的侧面积S=4•×2×=4．
故答案为：4．
【点评】：本题考查的知识点是棱锥的侧面积，棱锥的结构特征，其中根据已知求出棱锥的侧面的高是解答的关键．
8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，以直线y=±2x为渐近线，且经过抛物线y2=4x焦点的
双曲线的方程是．
【考点】：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为（λ≠0），再由双曲线经过抛物线y2=4x焦点F（1，0），能求出双曲线方程．
【解析】：解：设以直线y=±2x为渐近线的双曲线的方程为（λ≠0），
∵双曲线经过抛物线y2=4x焦点F（1，0），
∴1=λ，
∴双曲线方程为：．
故答案为：．
【点评】：本题考查双曲线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意双曲线简单性质的合理运用．
9．（5分）在平面直角坐标系xOy中，记曲线y=2x﹣．（m∈R，m≠﹣2）在x=1处的切线为直线l，若直线l在两坐标轴上的截距之和为12，则m的值为﹣3或﹣4．
【考点】：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】：计算题；导数的概念及应用；直线与圆．
【分析】：由题意求导y′=2+，从而求出切线方程，从而求出截距而得到﹣2m+=12，从而解得．
【解析】：解：∵y=2x﹣，∴y′=2+；
故当x=1时，y=2﹣m，y′=2+m；
故直线l的方程为y=（2+m）（x﹣1）+2﹣m；
令x=0得，y=﹣（2+m）+2﹣m=﹣2m；
令y=0得，x=+1=；
故﹣2m+=12，
解得，m=﹣3或m=﹣4．
故答案为：﹣3或﹣4．
【点评】：本题考查了导数的几何意义的应用及直线的方程的应用，属于中档题．
10．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+）若y=f（x﹣φ）（0＜φ＜）是偶函数则φ=．【考点】：正弦函数的奇偶性．
【专题】：三角函数的图像与性质．
【分析】：先求得f（x﹣φ）=sin（2x﹣2φ+），由y=f（x﹣φ）是偶函数，可得﹣
2φ+=k，k∈Z，即可根据φ的范围解得φ的值．
【解析】：解：∵f（x）=sin（2x+）
∴y=f（x﹣φ）=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x﹣2φ+）
∵y=f（x﹣φ）是偶函数
∴﹣2φ+=k，k∈Z从而解得：φ=﹣，k∈Z
∵0＜φ＜
∴可解得：φ=．
故答案为：．
【点评】：本题主要考查了正弦函数的奇偶性，由y=f（x﹣φ）是偶函数得到﹣
2φ+=k，k∈Z是解题的关键，属于基础题．
11．（5分）在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0．若a1+a2≤60，a2+a3≤100，则5a1+a5的最大值为200．
【考点】：等差数列的通项公式．
【专题】：等差数列与等比数列．
【分析】：易得2a1+d≤60，2a1+3d≤100，待定系数可得5a1+a5=（2a1+d）+（2a1+3d），
由不等式的性质可得．
【解析】：解：∵在等差数列{a n}中，已知首项a1＞0，公差d＞0，
又a1+a2≤60，a2+a3≤100，∴2a1+d≤60，2a1+3d≤100，
∴5a1+a5=6a1+4d=x（2a1+d）+y（2a1+3d）=（2x+2y）a1+（x+3y）d，
∴2x+2y=6，x+3y=4，解得x=，y=，
∴5a1+a5=（2a1+d）+（2a1+3d）≤=200
故答案为：200
【点评】：本题考查等差数列的通项公式，涉及不等式的性质和整体的思想，属中档题．12．（5分）已知函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），如图所示，则+的最
小值为．
【考点】：基本不等式．
【专题】：不等式的解法及应用．
【分析】：函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），可得3=a+b，a＞1，b＞0．即（a ﹣1）+b=2．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．
【解析】：解：∵函数y=a x+b（b＞0）的图象经过点P（1，3），∴3=a+b，a＞1，b＞0．∴（a﹣1）+b=2．
∴
+==
=，当且仅当a﹣1=2b=时取等号．
故答案为：．
【点评】：本题考查了函数的图象与性质、“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．
13．（5分）如图，⊙O内接△ABC中，M是BC的中点，AC=3．若•=4，则AB=．
【考点】：平面向量数量积的运算．
【专题】：平面向量及应用．
【分析】：首先，根据O是△ABC的外心，得到O在AB、AC边的射影分别是AB、AC
的中点，得到=，同理，得到，因为，从而得到，求解即可．
【解析】：解：因为O 是△ABC的外心，
∴O在AB、AC边的射影分别是AB、AC的中点，
=，
同理，得到，
∵，
∴
=，
∴||=．
故答案为：．
【点评】：本题重点考查了平面向量的基本运算性质、平面向量的数量积运算等知识，属于中档题．
14．（5分）已知f（x）是定义在[1，+∞]上的函数，且f（x）=，则函数y=2xf（x）﹣3在区间（1，2015）上零点的个数为11．
【考点】：函数零点的判定定理．
【专题】：计算题；函数的性质及应用．
【分析】：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，从而化函数的零点为方程的根，再转化为两个函数的交点问题，从而解得．
【解析】：解：令函数y=2xf（x）﹣3=0，得到方程f（x）=，
当x∈[1，2）时，函数f（x）先增后减，在x=时取得最大值1，
而y=在x=时也有y=1；
当x∈[2，22）时，f（x）=f（），在x=3处函数f（x）取得最大值，
而y=在x=3时也有y=；
当x∈[22，23）时，f（x）=f（），在x=6处函数f（x）取得最大值，
而y=在x=6时也有y=；
…，
当x∈[210，211）时，f（x）=f（），在x=1536处函数f（x）取得最大值，
而y=在x=1536时也有y=；
综合以上分析，将区间（1，2015）分成11段，每段恰有一个交点，所以共有11个交点，即有11个零点．
故答案为：11．
【点评】：本题考查了函数的零点与方程的根的关系及函数的交点的应用，属于基础题．
二、解答题
15．（16分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2acosA．（1）
求角A的大小；（2）若•=，求△ABC的面积．
【考点】：正弦定理．
【专题】：解三角形．
【分析】：（1）根据正弦定理结合两角和差的正弦公式，即可求角A的大小；
（2）若•=，根据向量的数量积，求出AB•AC的大小即可，求△ABC的面积
【解析】：解：（1）由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosA，
即sin（B+C）=2sinAcosA，
则sinA=2sinAcosA，
在三角形中，sinA≠0，
∴cosA=，
即A=；
（2）若•=，
则AB•ACcosA=AB•AC=，
即AB•AC=2，
则△ABC的面积S=AB•ACsinA==．
【点评】：本题主要考查正弦定理的应用，以及三角形面积的计算，利用向量数量积的公式是解决本题的关键．
16．（13分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，CC1=4，M是棱CC1上的一点．
（1）求证：BC⊥AM；
（2）若N是AB的中点，且CN∥平面AB1M，求CM的长．
【考点】：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质．
【专题】：空间位置关系与距离．
【分析】：（1）由线面垂直得BC⊥C1C，又BC⊥AC，从而BC⊥平面ACC1A1，由此能证明BC⊥AM．
（2）取AB1的中点P，连接MP，NP，由三角形中位线定理得NP∥BB1，从而得到PNCM 是平行四边形，由此能求出CM的长．
【解析】：（1）证明：∵ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴C1C⊥平面ABC，∴BC⊥C1C，
又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，
∵AM在平面ACC1A1上，∴BC⊥AM．
（2）解：取AB1的中点P，连接MP，NP，
∵P为AB1中点，N为AB中点，
∴NP为△ABB1的中位线，∴NP∥BB1，
又∵C1C，B1B都是直三棱柱的棱，∴C1C∥B1B，∴MC∥B1B，
∴NP∥CM，∴NPCM共面，
又∵CN∥平面AB 1M，∴CN MP，∴PNCM是平行四边形，
∴CM=NP=BB1=CC1=．
【点评】：本小题线线平行、直线与平面的平行、线面所成角、探索性问题等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
17．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的
左、右焦点，顶点B的坐标为（0，b），且△BF1F2是边长为2的等边三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，C两点，记△ABF2，△BCF2的面积分别为S1，S2．若S1=2S2，求直线l的斜率．
【考点】：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．
【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】：（1）根据△BF1F2是边长为2的等边三角形，求出a，b，即可求椭圆的方程；（2）根据面积关系，求出C点坐标，即可求出直线斜率．
【解析】：解：（1）∵△BF1F2是边长为2的等边三角形，
∴a=2c=2，则c=1，b==3，
则椭圆的方程为．
（2）设B到直线AC的距离为h，由S1=2S2，
则，
即AF2=2F2C，
∴，
设A（x1，y1），C（x2，y2），
∵F2（1，0），
∴（1﹣x1，﹣y1）=2（x2﹣1，y2），
即，
由，解得，
∴直线l的斜率为k=．
【点评】：本题主要考查椭圆的方程以及直线和椭圆的位置关系的应用，考查学生的运算能力．综合性较强．
18．（12分）在长为20m，宽为16m的长方形展厅正中央有一圆盘形展台（圆心为点C），展厅入口位于长方形的长边的中间，在展厅一角B点处安装监控摄像头，使点B与圆C在同一水平面上，且展台与入口都在摄像头水平监控范围内（如图阴影所示）．
（1）若圆盘半径为2m，求监控摄像头最小水平视角的正切值；
（2）过监控摄像头最大水平视角为60°，求圆盘半径的最大值．（注：水平摄像视角指镜头中心点水平观察物体边缘的实现的夹角．）
【考点】：直线与圆的位置关系．
【专题】：计算题；直线与圆．
【分析】：（1）过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，则CE⊥BE，⊥CA⊥AB，可得监控摄像头水平视角为∠ABE时，水平视角最小；
（2）当∠ABE=60°时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大．
【解析】：解：（1）过B作圆C的切线BE，切点为E，设圆C所在平面上入口中点为A，连接CA，CE，CB，则CE⊥BE，⊥CA⊥AB
∴监控摄像头水平视角为∠ABE时，水平视角最小．
在直角三角形ABC中，AB=10，AC=8，tan∠ABC=，
在直角三角形BCE中，CE=2，BE==12，tan∠CBE=，
∴tan∠ABE=tan（∠ABC+∠CBE）=1+，
∴监控摄像头最小水平视角的正切值为1+；
（2）当∠ABE=60°时，若直线BE与圆C相切，则圆C的半径最大．
在平面ABC内，以B为坐标原点，BA为x轴建立平面直角坐标系，则直线BE方程为y=x，∴CE==5﹣4，
∴圆C的半径最大为5﹣4（m）．
【点评】：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
19．（14分）若函数y=f（x）在x=x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y=f（x）的极值点．已知函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1（a∈R）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在区间（，e）上有且只有一个极值点，求实数a的取值范围．
【考点】：利用导数研究函数的极值．
【专题】：计算题；分类讨论；导数的综合应用．
【分析】：（1）当a=0时，化简函数f（x）=3xlnx﹣1并求定义域，再求导数f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），从而由导数确定函数的极值；
（2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），再求导f′（x）=3（ax2+lnx+1），再令g（x）=ax2+lnx+1，再求导g′（x）=2ax+=，从而由导数的正负性分类讨论以
确定函数是否有极值点及极值点的个数．
【解析】：解：（1）当a=0时，f（x）=3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），
f′（x）=3lnx+3=3（lnx+1），
故f（x）=3xlnx﹣1在（0，）上是减函数，在（，+∞）上是增函数；
故f（x）在x=时取得极小值f（）=﹣3﹣1；
（2）函数f（x）=ax3+3xlnx﹣1的定义域为（0，+∞），
f′（x）=3（ax2+lnx+1），
令g（x）=ax2+lnx+1，则g′（x）=2ax+=，
当a＞0时，g′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
故f′（x）=3（ax2+lnx+1）在（0，+∞）上是增函数，
而f′（）=3[a（）2+ln+1]=3a（）2＞0，
故当x∈（，e）时，f′（x）＞0恒成立，
故f（x）在区间（，e）上单调递增，
故f（x）在区间（，e）上没有极值点；
当a=0时，由（1）知，f（x）在区间（，e）上没有极值点；
当a＜0时，令=0解得，x=；
故g（x）=ax2+lnx+1在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，
①当g（e）•g（）＜0，即﹣＜a＜0时，
g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
②令g（）=0得=0，不可能；
③令g（e）=0得a=﹣，所以∈（，e），
而g（）=g（）=+ln＞0，
又g（）＜0，
所以g（x）在（，e）上有且只有一个零点，且在该零点两侧异号，
综上所述，实数a的取值范围是[﹣，0）．
【点评】：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用，化简比较困难，属于难题．
20．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n．若≤2（n∈N*），则称{a n}是“紧密数列”
（1）若数列{a n}的前n项和S n=（n2+3n）（n∈N*），证明：{a n}是“紧密数列”；
（2）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，求q的取值范围．
【考点】：数列递推式；等比数列的性质．
【专题】：新定义；等差数列与等比数列．
【分析】：（1）由数列的a n与S n的关系式求出a n，代入化简后由n的取值求出
的范围，根据“紧密数列”的定义即可证明结论；
（2）先设公比是q并判断出q≠1，由等比数列的通项公式、前n项和公式化简和，
根据“紧密数列”的定义列出不等式组，再求出公比q的取值范围．
【解析】：证明：（1）由S n=（n2+3n）（n∈N*）得，S n﹣1=[（n﹣1）2+3（n﹣1）]（n≥2），两式相减得，a n=（n2+3n﹣n2+2n﹣1﹣3n+3）=（2n+2）=（n+1），
当n=1时，a1=S1=（1+3）=1，也适合上式，
所以a n=（n+1），
则==1+＞1，所以显然成立，
因为=1+随着n的增大而减小，所以当n=1时取到最大值，
则≤1+=＜2，则≤2成立，
所以数列{a n}是“紧密数列”；
解：（2）由题意得，等比数列{a n}的公比q
当q≠1时，所以，，
则==q，==，
因为数列{a n}与{S n}都是“紧密数列”，
所以，解得，
当q=1时，a n=a1，S n=na1，
则，=1+，则，
满足“紧密数列”的条件，
故q的取值范围是[，1]
【点评】：本题是新定义题，考查数列的a n与S n的关系式，等比数列的通项公式、前n项和公式，解题的关键是正确理解新定义并会应用．。