高中数学北师大版一学案：第三章 6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

学习目标 1.了解三种函数的增长特征。

2.初步认识“直线上升”“指数爆炸”和“对数增长”.3.尝试函数模型的简单应用．
知识点一同类函数增长特点
思考同样是增函数,当x从2变到3，y＝2x到y＝10x的纵坐标增加了多少？
梳理当a〉1时，指数函数y＝a x是增函数,并且当a越大时,其函数值的增长就越快．
当a>1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．
当x〉0，n>1时,幂函数y＝x n是增函数，并且当x〉1时，n越大其函数值的增长就越快．
知识点二指数函数、幂函数、对数函数的增长差异
思考当x从1变到10，函数y＝2x,y＝x2和y＝lg x的纵坐标增长了多少?
梳理一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管指数函数y＝a x(a>1）、幂函数y＝x n(n〉0)与对数函数y＝log a x（a〉1）都是增函数，但它们的增长速度不同,而且不在同一个档次上．随着x的增大，y＝a x（a>1)的增长速度越来越快，会远远超过幂函数y＝x n（n〉0)的增长速度，而对数函数y＝log a x（a>1）的增长速度越来越慢,因此总会存在一个x0，当x>x0时，就有________________________（a>1,n>0)．
类型一根据图像判断函数的增长速度
例1函数f（x)＝2x和g（x)＝x3的图像如图所示．设两函数的图像交于点A（x1,y1),B（x2，y2)，且x1〈x2。

(1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；
（2)结合函数图像，判断f(6），g（6)，f(2 013)，g(2 013)的大小．
反思与感悟判断函数的增长速度，一个是从x增加相同量时,函数值的增长量的变化；另一方面，也可从函数图像的变化,图像越陡，增长越快．
跟踪训练1函数f(x)＝lg x，g(x)＝0。

3x－1的图像如图所示．
(1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)以两图像交点为分界点，对f(x),g(x)的大小进行比较．
类型二函数增长模型的应用
例2假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：
方案一：每天回报40元；
方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元;
方案三:第一天回报0。

4元，以后每天的回报比前一天翻一番．
请问，你会选择哪种投资方案？
反思与感悟直线上升反映了一次函数(一次项系数大于0)的增长趋势，其增长速度不变（恒为常数)；指数爆炸反映了指数函数（底数大于1)的增长趋势,其增长速度急剧（越来越快)；对数增长反映了对数函数(底数大于1）的增长趋势，其增长速度平缓(越来越慢）．解题时，注意根据各函数的增长类型选择合适的函数模型刻画实际的变化规律．
跟踪训练2某公司为了实现1 000万元的利润目标,准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利
润进行奖励，且资金y（单位:万元）随销售利润x（单位：万元)的增加而增加，但资金总数不超过5万元，同时资金不超过利润的25％。

现有三个奖励模型:y＝0。

25x,y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？
1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应是() A．y＝3x B．y＝log3x
C．y＝x3D．y＝3x
2．当a〉1时，有下列结论：
①指数函数y＝a x，当a越大时,其函数值的增长越快；
②指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值的增长越快;
③对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值的增长越快；
④对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值的增长越快．
其中正确的结论是（）
A．①③B．①④
C．②③D．②④
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10。

4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x）的图像大致是（)
4．当2＜x＜4时,2x,x2，log2x的大小关系是(）
A．2x＞x2＞log2x B．x2＞2x＞log2x
C．2x＞log2x＞x2D．x2＞log2x＞2x
5．某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势，现有三种函数模型:
①f（x)＝p·q x(q〉0，q≠1）；
②f（x)＝log p x＋q（p〉0，p≠1）；
③f（x）＝x2＋px＋q。

能较准确反映商场月销售额f(x）与月份x关系的函数模型为
________（填写相应函数的序号）,若所选函数满足f（1）＝10，f(3）＝2，则f(x)＝____________.
三种函数模型的选取
(1)当增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．
(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．
（3)幂函数模型y＝x n（n＞0）,则可以描述增长幅度不同的变化：n 值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大（n＞1）时,增长较快．
答案精析
问题导学
知识点一
思考23－22＝4，103－102＝900，即同样是x从2变到3，y＝2x 与y＝10x的纵坐标分别增加了4和900.
知识点二
思考210－21＝1 024－2＝1 022，102－12＝99，lg 10－lg 1＝1，即同样是x从1变到10,y＝2x，y＝x2和y＝lg x的纵坐标分别增加了1 022，99和1。

梳理log a x<x n〈a x
题型探究
例1解(1）C1对应的函数为g（x)＝x3,C2对应的函数为f（x）＝2x。

（2)∵f(1）>g（1)，f（2)<g（2），
f(9)<g(9)，f（10）〉g（10)，
∴1<x1〈2，9<x2〈10，
∴x1〈6〈x2，2 013>x2.
从图像上可以看出，
当x1<x〈x2时,f(x）<g(x),
∴f（6)<g（6)．
当x〉x2时，f（x)〉g（x)，
∴f(2 013)>g(2 013）．
又g（2 013）>g（6)，
∴f(2 013）>g(2 013）〉g（6）>f(6)．
跟踪训练1解（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1,
C2对应的函数为f(x)＝lg x。

（2)当x〈x1时，g（x)〉f（x)；
当x1〈x<x2时，f(x）>g（x)；
当x>x2时,g(x)>f(x）；
当x＝x1或x＝x2时，f(x）＝g(x)．
例2解设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y＝40(x∈N＋）进行描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N＋)进行描述;方案三可以用函数y＝0.4×2x－1（x∈N＋)进行描述．要对三个方案作出选择,就要对它们的增长情况进行分析．
画出三个函数的图像，如图所示，
由图可知方案一的函数是常数函数，方案二、方案三的函数都是增函数，但方案三的函数与方案二的函数的增长情况很不相同．
可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三的100倍和25倍，但它们的增长量固定不变，而方案三是“指数增长
",但“增长量”是成倍增加的，从第7天开始,方案三比其他两个方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二所无法企及的．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多;在第4天，方案一和方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多;第9天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．
下面再看累计的回报数．列表如下：
案二;投资8～10天，应选择方案二；投资11天（含11天）以上，
应选择方案三．
跟踪训练2解作出函数y＝5，y＝0。

25x，y＝log7x＋1,y＝1.002x 的图像（如图）．
观察图像发现，在区间[10,1 000］上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5和y＝0.25x的下方,这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．
当堂训练
1．D2。

B 3.D4。

B 5.③x2－8x＋17
攀上山峰，见识险峰，你的人生中，也许你就会有苍松不惧风吹和不惧雨打的大无畏精神，也许就会有腊梅的凌寒独自开的气魄，也许就会有春天的百花争艳的画卷，也许就会有钢铁般的意志。