《 数理统计 》考试试卷( A 卷)

,,X为来自总体
10
，b=
进行假设检验，可能犯的两类错误是
为取自总体
,
X
1. 设n X X X Λ,,21是来自总体)1,0(N 的简单随机样本，则
∑=-n
i i
X X
1
2)(服从分布为（ ）。

A ．)(2n x B. )1(2
-n x C. ),0(2
n N D. )1,0(n
N
2． 设X 1,X 2,…,X 15是来自总体N(20,2)的一个样本,则Y=
10
21152
11
2i
i i i X
X ==∑∑的分布是（ ）.
（A ） (1,1)F (B)(14)t (C)2(15)χ (D)(10,5)F
3. 设随机变量X 服从标准正态分布，对给定的(0,1)α∈，定义数(),u P X u ααα>=满足则1. 64 为（ ）
（A ）0.05u
（B ）0.10u
（C ）0.95u
（D ）0.90u
4．. 设总体),(~2σμN X ，2σ已知，若样本容量n 和置信度均不变，则对于不同的样本观察值，总体均值μ的
置信区间的长度（ c ）
（A ）变长 (B)变短 (C)不变 (D)不能确定
5.设X ～N (μ,2σ),则随着σ的减小，P (|X -μ|<σ)（ ）。

（A ）单调增大 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)增减不定
6． 在假设检验中,一般情况下( ).
A. 只犯第一类错误
B. 只犯第二类错误
C. 两类错误都可能发生
D. 不会犯错误
7．设
2
*,i i
X S
表示来自总体2
(,)i i N μσ的容量为i n 的样本均值和样本修正方差)2,1(=i ，且两总体相互独立，
则（ ）.
A. )1,1(~2121212
122--n n F S S
σσ B.
)2(~)()(212
22
1
212121-++
---n n t n n X X σσμμ
C.
)(~/11
111n t n S X μ- D.
2
222
22
~(1)n S n χσ-
8．设总体),(~2σμN X ，2σ已知，X 1,X 2,……,X n 是来自总体X 的样本值，现在在显著水平α＝0.05下接受了
0H ：μ＝0μ。

若将α改为0.01时，下面结论正确的是（ ）
（A ）必拒绝0H (B) 必接受0H (C)犯第二类错误概率变小 (D) 可能接受0H ，也可能拒绝0H 。

9. 关于检验水平α的设定,下列叙述错误的是( ). A. α的选取本质上是个实际问题,而非数学问题
B. 在检验实施之前, α应是事先给定的,不可擅自改动
C. α即为检验结果犯第一类错误的最大概率
D. 为了得到所希望的结论,可随时对α的值进行修正
10．设2
2
,),,(~σμσμN X 均未知,当样本容量为n 时,2
σ的95%的置信区间为( ).
A. 22220.9750.025(,)(1)(1)nS nS x n x n --
B. 22
220.0250.975(,)(1)(1)nS nS x n x n --
C. 22220.0250.975(,)(1)(1)
nS nS t n t n --
D. 0.025((1))X n -
三． 问答题（共8分）
1．关于一元线性回归的显著性检验, 若检验结果不显著,是否表明X 与Y 间没有显著的依
赖关系？
2． 21ˆ,ˆθ
θ都是θ的估计量，且1ˆ()D θ2ˆ()D θ<，是否一定有1
ˆθ比2ˆθ更有效？为什么？
四．参数估计（共16分）
1．设总体X 的概率密度为⎪⎩
⎪⎨⎧<<-=其他,00),(6)(3θ
θθx x x
x f ,n X X X ,,,21 是来自X 的简单随机样本,求θ的
矩估计量.
2．一个车间生产滚珠，从某天的产品里随机抽取100个测量其直径（单位：毫米），得尺寸不合格的有4个。

求当天产品直径不合格率的置信区间（α＝0.05）。

3. （3分）
3．某车间生产滚珠，滚珠直径X ～正态分布，从某天的产品里随机抽取16个，测量它们的直径（毫米），得直
径的平均值为 14.43（毫米），已知总体的方差为0.01，求置信度为90%的总体均值μ的置信区间
4．（6分）
五.（6分）设12,X X 是取自总体x 的样本，试证下列统计量都是总体均值μ的无偏估计量，并指出哪一个最
有效？
(1)11211ˆ22X X μ
=+ (2)2124
3
41ˆX X +=μ (3)2113
2
31ˆX X +=
μ
五. 正常的生产条件下， 某产品的测试指标总体x ～正态分布，其方差为2
0.23。

后来改变了生
产工艺，出了新产品，假设新产品的测试指标总体仍为正态分布，从新产品中随机地抽取10件，由测得的样本值计算出样本方差220.33S =，问新产品的方差2σ有没有显著变大? （α＝0.05）
六．设1X ，2X ，3X ，4X 是来自总体
N （0，2
σ）的样本，试推导
24
23
22
1
3X
X X X ++的
分布。

为考察种子品种对作物产量的影响，同一作物选用三个品种代号为A 1，A 2，A 3的种子，分别在条件大体相同的5个等面积的小田块上试种，其作物产量（单位：kg ）结果如下，假定种
子品种A i 下的产量2~(,)i i X N μσ分布，1,2,3.i =试分析种子的不同品种对作物产量的影
1） （1分）提出待验假设0:H
附表：1212{(,)(,)}P F n n F n n αα>= 0.05α=
3） 统计 结论：（1
分）
六. (7分)
某商贸公司的年销售额y （亿元）主要与推销费用1x （万元）和营业人员数2x （人）有关，假定y 与1x ，2x 满足关系式： 1122y a b x b x ε=+++ 2~(0,)N εσ，由统计数据表
进行二元线性回归,得计算成 果表如下。

（1）模型中的2
σ的估值2
ˆσ
＝ ，y 与1x ，2x 的复相关系数＝ 。

(2)对y 与1x ，2x 间的整体显著性进行的F -检验的原假设为 H 0 ： (3)解释方差分析表中的数据“1.1E-6”表示的意义并给出
F -检验的统计结论。

（0.05α
=）
(4)如果 F -检验的统计结论为y 与1x ，2x 间的线性相关性显著，依据第三个表该进行哪些工作？
回归统计
Multiple R 0.997926 R Square 0.995857 Adjusted R
Square 0.9942
标准误差 1.998025 观测值 8 方差分析
df
SS
MS F Significance F
回归分析 2 4798.039 2399.02 600.9415 1.1E-06
残差 5 19.96051
3.992102 总计 7 4818
Coefficients
标准误差 t Stat P-value Lower 95% Upper 95%
Intercept -97.4923 47.49886 -2.05252 0.095337 -219.592 24.60745 X1 1.051491 0.605645 1.73615 0.143053 -0.50537 2.60835 X2 0.638792
0.198522
3.217739 0.023525
0.128475 1.149109
河南农业大学2008—2009学年第二学期
《 数理统计 》考试试卷（ A 卷）
年份 X1 X2 Y
1990 169 290 264
1991 181 318 298 1992 160 254 235 1993 187 341 318 1994 184 327 304 1995 178 311 289 1996 172 295 271 1997 175 296
273
分布,
2
2
1
1
()~________n
i
i X
μσ
=-∑分布，
2
2
1
1
()~n
i
i X
X σ
=-∑__________分布。

（均要指明参数）
2. 设X ～t(n)分布，X 2
～__________分布；2
1
x ～分布。

3. 设总体),(~b a U X ，（12,,
,n X X X ）为一组样本值，a,b 的极大似然估计值分别
是 和 。

4. 已知F 0.10(2,28)=2.50 则F 0.90(28,2)=
5. 进行假设检验，可能犯的两类错误是 和 。

若经检验原假设被拒绝了，所做出的判断可能引入的错误类型为 ，犯此类错误的概率不会大于 。

6．设12100,,
,X X X 为来自总体N(21,3)的样本，x 为样本均值,已知~(0,1)y ax b N =+，则
a = ，
b = 。

.
7．设125,,,X X X 为取自总体)4,0(~N X 的样本，a,b 的值分别是 和 时，
2212345()()Q a X X b X X X =++++服从2χ分布，其自由度为 。

8 8．n X X X ,,,21 为取自总体),(2σμN 的样本, 参数2
,σμ均未知, 且∑∑==-==
n
i i n
i i
n
X X Q
X X 1
22
1
1
)(,, 则假
设00:H μμ=的t 检验, 使用的统计量为 ，其服从__________分布。

（T ）. 9．在一元线性回归中,样本相关系数的自由度为 （样本容量为n ）。

二．选择题（每题2分，共20分）
1． 设X 服从)(n t 分布, a X P =>}|{|λ，则}{λ-<X P 为( ).
（A ）
a 21
(B) a 2 (C) a +2
1 （D ） a 211-
2． 设n X X X Λ,,21是来自总体)1,0(N 的简单随机样本，则∑=-n
i i
X X
1
2)(服从分布为（ ）。

（A ）2
()n χ (B)
2(1)
n χ- (C) ),0(2
n N （D ） )1
,0(n
N
3．设129,,
,X X X 和1211,,
,Y Y Y 是分别取自总体2(2,2)N -和2(5,3)N 的相互独立的简单随机样本，*2
1S
和*2
2S 分别是两个样本的修正方差，则服从F （8，10）分布的统计量是（ ）。

（A ） *21*2
294S S (B) *2
1*2
249S S (C) *2
1*2
223S S (D) *2
1*2
2
32S S
4. 设随机变量X 服从标准正态分布，对给定的(0,1)α∈，定义数(),u P X u ααα>=满足则1.96 为（ ）
（A ）0.05u
（B ）0.025u
（C ）0.95u
（D ）0.975u
5.设X ～N (μ,2
σ),则随着σ的减小，P (|X -μ|<σ)（ ）。

（A ）单调增大 (B)单调减少 (C)保持不变 (D)增减不定
6．设321,,X X X 是取自总体x 的样本，下列统计量都是总体均值μ的无偏估计量，其中最有效的为（ ）。

（A ）3211613121ˆX X X ++=μ
(B)3212313131ˆX X X ++=μ
(C)32113
2
6161ˆX X X ++=μ 7． 设总体分布为),(2σμN ,若2
σ未知,则要检验01:100,:100H H μμ=<,应采用（ ）
A. U —检验且单边检验
B. U —检验且双边检验
C. T —检验且单边检验
D. T —检验且双边检验
8. 设总体),(~2σμN X ，2σ已知，
X 1,X 2,……,X n 是来自总体X 的样本值，现在在显著水平α＝0.05下接受了0H ：μ＝0μ。

若将α改为0.01时，下面结论正确的是（ ）
（A ）必拒绝0H (B) 必接受0H (C)犯第二类错误概率变小 (D) 可能接受0H ，也可能拒绝0H 9． 在假设检验中,一般情况下( ).
A. 只犯第一类错误
B. 只犯第二类错误
C. 两类错误都可能发生
D. 不会犯错误
10．关于一元线性回归的显著性检验,下列叙述错误的是( ).
A. 对建立的回归方程进行有效性检验，针对模型 Y=a+bx+ε提出的原假设为0:0=b H
B. 在0H 成立时,
)2,1(~)
2(--n F Q
n U C. 若检验结果不显著,则X 对Y 只起到微弱的作用
D. 即使X 与Y 有强依赖关系,检验结果仍可能不显著
三． 简答题（共8分）
1．简单随机样本具有的两个基本性质是什么？
2．设总体X 有数学期望E （X ），X 1,X 2,……,X n 是样本，X 是样本均值。

试问X 与E （X ）有什
么本质差别？又有什么联系？
四．参数估计（共18分）
1．（3分）设总体),0(~θU X , （12,,,n X X X ）为一组样本值，求参数θ的矩估计量。

2．（6分）.设总体~()(1),01a
X f x a x x =+<<,求参数a 的极大似然估计量。

3．（3分）总体)9.0,(~2μN X ,129,,
,X X X 为一组的样本, 若得到样本均值X =5, 求未知参数μ的置信度为0.90
的置信区间。

4．（6分）已知某种材料的抗压强度),(~2σμN X , 现随机地抽取9个试件进行抗压试验, 测得数据的均值 X
＝503.6, 样本修正标准差*
s ＝31，求平均抗压强度μ的95%的置信区间。

附表：t 分布表 {()()}p P t n t n p ≤=
五．（6分）某工厂加工的一种零件在产品组合中是主要部件，要求其长度的标准值0μ＝
32.05(mm)。

由于零件加工过程中各种随机因素的影响，零件长度服从正态分布N(2
,σμ)，
由以往经验已知2
σ=1.12
，μ为待检参数，现从加工的零件中抽查16件，测得它们长度的平均值x ＝31.13mm ，试检验这批零件的长度是否符合产品组装要求？ (05.0=α)
六．（6分）设12,,,m X X X 和12,,,n Y Y Y 是分别取自总体211(,)N μσ和2
22
(,)N μσ的相互独立的简单随机样本，*21S 和*2
2S 分别是两个样本的修正方差，试推导*22
11*2222
//S S σσ的分布。

七. （10分）
为考察种子品种对作物产量的影响，同一作物选用三个品种代号为A 1，A 2，A 3的种子，分别在条件大体相同的5个等面积的小田块上试种，其作物产量（单位：kg ）结果如下，假定种子
品种A i 下的产量2~(,)i i X N μσ分布，1,2,3.i =试分析种子的不同品种对作物产量的影响。

（0.05α=）
3） （1分）提出待验假设0:H
填写方差分析表 （8分） 附表 120.0512{(,)(,)}0.05P F n n F n n >=
3）给出 统计 结论：（1分）
八.（12分） 某商贸公司的年销售额y （亿元）主要与推销费用1x （万元）和营业人员
数
2x （人）有关，假定y 与1x ，2x 满足模型： 1122y a b x b x ε=+++ 2
~(0,)N εσ
，
由统计数据表进行二元线性回归,得计算结果表如下。

问（1）本题中样本容量n= ，模型中2σ的估计
值2ˆσ
＝ 。

(2) 检验量F ～
________分布（指明参数），F 检验对应的原假设为
H 0 ： 。

（3） （2分）方差分析表中的数据“1.1E-6”表示什么？它与F 的观测值有怎样的对应关系？ （4） （2分）请给出F-检验的统计结论。

（0.05α=） （5） （4分）如果 F-检验的统计结论为y 与1x ，
2x 间的线性相关性显著，依据第三个表该进行哪些
工作？如何获得回归方程？
1
2
n n
2 3
12 3.89 3.49
13 3.81 3.41 14
3.74 3.34
得分
评卷人
回归统计
Multiple R 0.997926 R Square 0.995857 Adjusted R
Square 0.9942
标准误差 1.998025 观测值 8 方差分析
df SS MS F
Significance F
回归分析 2 4798.039 2399.02 600.9415 1.1E-06
残差 5 19.96051 3.992102
总计 7 4818
Coefficients 标准误差 t Stat P-value Lower 95%
Upper 95% Intercept -97.4923 47.49886 -2.05252 0.095337 -219.592 24.60745 X1 1.051491 0.605645 1.73615 0.143053 -0.50537 2.60835 X2 0.638792
0.198522 3.217739 0.023525
0.128475
1.149109。