(新教材)【人教B版】20版《高中全程学习方略》必修三7.3.5(数学)

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6
【内化·悟】 已知余弦值怎样作余弦线?
提示:余弦线在x轴上,余弦大于0时从原点出发向右截 取,余弦小于0时从原点出发向左截取.
【类题·通】 利用余弦值求角、解不等式 将ωx+φ看作整体,先求出[0,2π]或[－π,π]上的 角,再通过周期推广到整个定义域内,最后解出x的值 或范围.
【习练·破】
32
2.求不等式cos (1 x ) － 2 的解集.
26
2
世纪金榜导学号
【思维·引】1.利用余弦线、图像求值. 2.先求出相等时的x值,再写出满足不等式的x的范围.
【解析】1.由cos (2x－)
3
3 2
>0,知角2x-
对应的
3
余弦线方向向右,且长度为 3 ,
2
如图所示,
可知角2x- 的终边可能是OP,也可能是OP′.
1.若cos(π-x)= 3 ,x∈(-π,π),则x的值等于( )
2
A. 5，7
66
B.±
6
C.± 5
D.± 2
6
3
【解析】选C.由cos(π-x)=-cos x= 3得,
2
cos x=- 3 .
2
又因为x∈(-π,π),所以x在第二或第三象限,
所以x=±
5 6
.
2.求不等式2cos (2x )－ 2 <0的解集.
所以 1 x+ =- 3 +2kπ或 1 x+ = 3+2kπ,
264
2 64
k∈Z时,cos (1 x ) 2 .
26 2
令- 3 +2kπ< 1 x+ < 3+2kπ,k∈Z,
4
2
64
解得- 11+4kπ<x< 7+4kπ,k∈Z,
6
6
所以不等式的解集为 {x|－11 4k x 7 4k, k Z}.
2
【解析】当sin x=- 2 时,
2
x= 5 +2kπ或x=- +2kπ,k∈Z,
4
4
所以- +2kπ<x< 5+2kπ,k∈Z,
4
4
所以不等式的解集为 {x|－ 2k x 5 2k, k Z}.
4
4
类型二 利用余弦值求角、解不等式
【典例】1.已知cos (2x－) 3 ,求x.
可知角x的终边可能是OP,也可能是OP′.
又因为sin 4 =sin 5 =- 3 ,
3
32
所以x=
4 3
+2kπ或x=
5+2kπ,k∈Z.
3
方法二:因为sin x=- 3 ,
2
如图所示,
由正弦函数的图像,知
在 [0, 2] 内,sin 4 =sin 5 =- 3 ,
3
32
所以x= 4 +2kπ或x= 5+2kπ,k∈Z.
又因为sin ( 5)=sin ( ) =- 1 ,
6
6
2
所以x=- 5 +2kπ或x=- +2kπ,k∈Z.
6
6
如果x终边在∠POP′中,则有sin x<- 1,
2
所以- 5 +2kπ<x<- +2kπ,k∈Z.
6
6
所以不等式的解集为 {x| 5 2k x 2k, k Z}.
4
42
所以x= +2kπ或x= 3+2kπ,k∈Z.
4
4
角度2 利用正弦值解不等式 【典例】求不等式sin x<- 1 的解集.
2
【思维·引】利用三角函数线、图像结合周期性求解
集.
【解析】方法一:由sin x=- 1 <0可知,角x对应的正
2
弦线方向朝下,而且长度为 1 ,如图所示,
2
可知角x的终边可能是OP,也可能是OP′.
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7.3.5 已知三角函数值求角
类型一 利用正弦值求角、解不等式
角度1 已知正弦值求角
【典例】已知sin x=- 3 ,求x.
2
【思维·引】利用三角函数线或正弦函数的图像解题.
【解析】方法一:由sin x=- 3 <0可知,角x对应的正
2
弦线方向朝下,而且长度为 3 ,
2
如图所示,
6
6
【类题·通】
1.利用正弦值求角
利用正弦线、正弦函数的图像求出一个周期(常用 [0, 2]、[－ , 3]、[－3 , ] )内的角,再表示出定义域上的
22 22
所有取值,即加周期的k(k∈Z)倍.
2.利用正弦值解不等式 先求出相等时的x值,再根据单位圆、图像确定x的范 围.
【习练·破】
求不等式sin x>- 2 的解集.
3
3
【素养·探】 在已知正弦值求角的过程中,常常用到核心素养中的 直观想象,借助三角函数线或图像求角. 将本例改为sin x= 2 ,试求x.
2
【解析】由sinx= 2 >0可知,角x对应的正弦线方向朝
2
上,而且长度为 2 ,如图所示,
2
可知角x的终边可能是OP,也可能是OP′.
又因为sin =sin 3 = 2 ,
6
6
方法二:因为sin x=- 1 ,
2
如图所示,
由正弦函数的图像,知
在[－2,0] 内,sin ( 5) =sin ( ) =- 1 ,
6
6
2
所以x=- 5பைடு நூலகம்+2kπ或x=- +2kπ,k∈Z,
6
6
所以- 5 +2kπ<x<- +2kπ,k∈Z.
6
6
所以不等式的解集为 {x| 5 2k x 2k, k Z}.
3
解的个数是 ( )
A.2
B.3
C.4
D.5
2.已知f(x)=tan (3x ) ,求使f(x)≤- 3 成立的x的
6
3
集合.世纪金榜导学号
【思维·引】1.利用正切线或图像求值. 2.先求x的范围,再根据周期写解集.
【解析】1.选C.
方法一:令t=2x+ ,作出函数y=tan t的图像如图:
6
【解析】不等式变为cos(2x <)
6
,2
2
则 +2kπ<2x+ < 7+2kπ,k∈Z,
4
64
解得 +kπ<x< 19+kπ,k∈Z,
24
24
所以不等式的解集为 {x| k x 19 k, k Z}.
24
24
类型三 利用正切值求角、解不等式
【典例】1.方程tan (2x ) 3 在区间[0,2π)上的
3
又因为cos =cos(- )= 3 ,
6
6
2
所以2x- =- +2kπ或2x- = +2kπ,k∈Z.
36
36
所以x= +kπ或x= +kπ,k∈Z.
12
4
2.如图所示,
在 [－, ] 上,
1 2
x+
6
=- 3 或
4
1 2
x+
6
= 3 时,cos
4
(1 x ) 26
2， 2
3
令2x+ = +kπ,k∈Z,所以x= k,k∈Z.
33
2
又由0≤ k <2π,所以k=0,1,2,3.
2
故在区间[0,2π)上有4个解.
方法二:由tan (2x )
3
3
>0,设t=2x+
3
,
所以角2x+ 对应的正切线方向朝上,而且长度为 3 ,