非线性期望理论中若干问题的研究

非线性期望理论中若干问题的研究
对于金融衍生产品越来越受到国内外持续关注的主要原因之一就是全球金融危机的不断爆发。

大型的银行、金融机构和保险公司,如美国国际集团(American International Group,AIG)、雷曼兄弟(Lehman Brothers)和美林银行(Merrill Lynch),的倒闭或者有着很大的风险管理问题等等,这些问题的发生其中很大一部分原因就是这些机构有着巨大的金融衍生产品的交易额。

很显然,交易金融衍生产品有着巨大的利润,但是同时也有着巨大的风险。

因此,如何发展适当的方法来评估,管理和控制来自交易衍生产品的内在风险就显得格外的重要。

这里在评估和管理金融衍生产品的风险中有一个非常具有挑战性问题是：这些金融衍生产品的风险行为是非线性的。

然而,评估和管理风险的非线性行为的严格的、精确的理论还是很缺乏或仍处于起步阶段。

这就使得我们有动机去探索用于描述和解释非线性风险的严谨的数学理论。

这是一个富有挑战性且具有重要现实意义的新领域。

把未来不确定的风险看作一个随机变量X,然后赋予一个泛函E,这个泛函
E[X]就被称作风险度量或者叫做数学期望。

通常来说,研究金融衍生产品的非线性的风险行为就是研究非线性的数学期望。

Pardoux和Peng解决了非线性的倒向随机微分方程(BSDE):并给出了解的存在唯一性。

在对BSDE的性质深入研究的基础上,Peng在1997年基于BSDE解提出了g-期望和条件g-期望的概念。

值得注意的是,Peng的g-期望是第一个非常适合于描述风险的非线性行为一个工具,因为它具有除线性性之外线性期望的所有的性质。

而且条件g-期望是
第一个动态相容的非线性期望。

进一步,为了研究股票市场波动率的不确定性,Peng又提出了一个完全不需要概率框架的更一般的次线性期望理论。

Peng(2006)提出了G-正态分布,G-布朗运动的概念,建立了基于G-布朗运动的随机积分得到了相应的Ito公式等等一系列的结果,创立了套完整的理论框架。

与非线性期望理论密切相关的就是非线性概率理论,有时候我们也称之为容度理论。

关于容度理论,在1953年,有两个重要的工作,一个是Choquet(1953),另一个是Shaply(1953).Choquet是从位势论的角度去理解容度理论,并提出了Choquet期望的定义。

Shaply是从合作博弈的角度去理解容度理论,提出了在合作博弈领域应用
广泛的Shaply值的概念。

在非线性期望理论下,有许许多多的理论问题需要研究,其中一个很重的研究内容就是极限理论问题。

彭实戈院士证明了一个非线性期望下弱大数定律和中心极限定理,见Peng (2010).在Chen (2010)中,陈增敬教授证明了一个由次线性期望所诱导的非线性概率下的强大数定律,称为“容度下的强大数定律”,他断言样本均值,不像经典概率论中那样收敛于期望值,而是落在随机变量的上下期望之间的区间之内。

之后有很多学者开始关注非线性期望理论极限理论下这一领域。

本文的工作就是在这些工作的基础上的进一步的研究和探索。

本文主要研究内容包括：(一)我们提出了共单调随机集的概念,并以此为基础,研究了关于集值映射的Choquet积分的几个性质：(1)关于集值映射的Choquet积分的共单调可加性质、正齐性、平移不变、sup范数连续性等等；(2)关于集值映射的Choquet 积分的Fubini定理.(二)我们研究了关于次线性期望的弱大数定律。

在这里我们的假设条件与经典的弱大数定律的条件是一致的。

另外我们也给出了一些具体的非线性期望,例如平均偏差泛函、单边矩相容风险测度等,并研究了在这些具体的次线性期望下的弱大数定律以及模型不确定情形下的弱大数定律。

(三)我们提出了关于容度的事件负相关的概念,并用例子说明了这一概念的可能性。

在关于容度的事件负相关的情形下,我们得到了容度下的强大数定律,并且给出了强大数定律的几个应用：更新定理、下熵与上熵、不变原理等。

另外,在没有独立性、也没有非线性期望的次可加性的假设下,我们得到了第二Borel-Cantelli引理。

(四)Peng提出G-布朗运动后,关于G-布朗运动的研究就一直非常活跃。

我们研究了G-布朗运动的Hausdorff维数以及推广的G-Ito公式。

(1)在容度意义下,我们得到-维G-布朗运动图和轨道的Hausdorff维数：(2)我们将关于G-布朗运动的二次连续可微函数的G-Ito公式推广为函数不是二次可微的连续函数,而仅仅是有局部平方可积导数的绝对连续函数。