中考数学题型归类与解析18---多边形与平行四边形(解析版)

中考数学题型归类与解析
专题18 多边形与平行四边形
一、单选题
1．（2021·湖南岳阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（）
A．五边形的内角和是720︒B．三角形的任意两边之和大于第三边
C．内错角相等D．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点
【答案】B
【分析】
根据相关概念逐项分析即可．
【解析】
A、五边形的内角和是540︒，故原命题为假命题，不符合题意；
B、三角形的任意两边之和大于第三边，原命题是真命题，符合题意；
C、两直线平行，内错角相等，故原命题为假命题，不符合题意；
D、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，故原命题为假命题，不符合题意；
故选：B．
【小结】
本题考查命题判断，涉及多边形的内角和，三角形的三边关系，平行线的性质，以及三角形的重心等，熟记基本性质和定理是解题关键．
2．（2021·四川眉山市·中考真题）正八边形中，每个内角与每个外角的度数之比为（）
A．1：3B．1：2C．2：1D．3：1
【答案】D
【分析】
根据正八边形的外角和等于360°，求出每个外角的度数，再求出每个内角的度数，进而即可求解．
【解析】
解：正八边形中，每个外角=360°÷8=45°，每个内角=180°-45°=135°，
∴每个内角与每个外角的度数之比=135°：45°
=3：1， 故选D ．
【小结】
本题主要考查正多边形的内角和外角，熟练掌握正多边形的外角和等于360°，是解题的关键． 3．（2021·湖南衡阳市·中考真题）下列命题是真命题的是（ ）．
A ．正六边形的外角和大于正五边形的外角和
B ．正六边形的每一个内角为120︒
C ．有一个角是60︒的三角形是等边三角形
D ．对角线相等的四边形是矩形
【答案】B
【分析】
根据多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，对各个选项逐个分析，即可得到答案．
【解析】
正六边形的外角和，和正五边形的外角和相等，均为360︒
∴选项A 不符合题意；
正六边形的内角和为：()62180720-⨯︒=︒
∴每一个内角为7201206
︒=︒，即选项B 正确； 三个角均为60︒的三角形是等边三角形
∴选项C 不符合题意；
对角线相等的平行四边形是矩形
∴选项D 不正确；
故选：B ．
【小结】
本题考查了多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的知识；解题的关键是熟练掌握多边形外角和、正多边形内角和、等边三角形、矩形的性质，从而完成求解．
4．（2021·四川自贡市·中考真题）如图，AC 是正五边形ABCDE 的对角线，ACD ∠的度数是（ ）
A ．72°
B ．36°
C ．74°
D ．88°
【答案】A
【分析】
根据正五边形的性质可得108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，根据等腰三角形的性质可得
36BCA BAC ∠=∠=︒，利用角的和差即可求解．
【解析】
解：∵ABCDE 是正五边形，
∴108B BCD ∠=∠=︒，AB BC =，
∴36BCA BAC ∠=∠=︒,
∴1083672ACD ∠=︒-︒=︒，
故选：A ．
【小结】
本题考查正五边形的性质，求出正五边形内角的度数是解题的关键．
5．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，连接AB 、BC 、CD 、DE 、EA ，若100BCD ∠=︒，则A B D E ∠+∠+∠+∠=（ ）
A ．220︒
B ．240︒
C ．260︒
D ．280︒
【答案】D
【分析】
连接BD ，根据三角形内角和求出∠CBD +∠CDB ，再利用四边形内角和减去∠CBD 和∠CDB 的和，即可得到结果．
【解析】
解：连接BD ，∵∠BCD =100°，
∴∠CBD +∠CDB =180°-100°=80°，
∴∠A +∠ABC +∠E +∠CDE =360°-∠CBD -∠CDB =360°-80°=280°，
故选D ．
【小结】
本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 6．（2021·四川资阳市·中考真题）下列命题正确的是（ ）
A ．每个内角都相等的多边形是正多边形
B ．对角线互相平分的四边形是平行四边形
C ．过线段中点的直线是线段的垂直平分线
D ．三角形的中位线将三角形的面积分成1∶2两部分
【答案】B
【分析】
分别根据正多边形的判定、平行四边形的判定、线段垂直平分线的判定以及三角形中线的性质逐项进行判断即可得到结论．
【解析】
解：A .每个内角都相等，各边都相等的多边形是正多边形，故选项A 的说法错误，不符合题意；
B . 对角线互相平分的四边形是平行四边形,说法正确，故选项B 符合题意；
C . 过线段中点且垂直这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C 的说法错误，不符合题意；
D . 三角形的中位线将三角形的面积分成1∶3两部分，故选项D 的说法错误，不符合题意． 故选：B ．
【小结】
此题主要考查了对正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断以及三角形中线性质的认识，熟练掌握正多边形、平行四边形、线段垂直平分线的判断是解答此题的关键．
7．（2021·安徽中考真题）在ABC 中，90ACB ∠=︒，分别过点B ，C 作BAC ∠平分线的垂线，垂足分别为点D ，E ，BC 的中点是M ，连接CD ，MD ，ME ．则下列结论错误的是（ ）
A ．2CD ME =
B ．//ME AB
C ．B
D CD =D ．M
E MD =
【答案】A
【分析】
设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．由题意易证()CAE FAE SAS ≅，从而证明ME 为CBF 中位线，即//ME AB ，故判断B 正确；又易证()AGD ABD ASA ≅，从而证明D 为BG 中点．即利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可求出CD BD =，故判断C 正确；由90HDM DHM ∠+∠=︒、90HCE CHE ∠+∠=︒和
DHM CHE ∠=∠可证明HDM HCE ∠=∠．再由90HEM EHF ∠+∠=︒、EHC EHF ∠=∠和90EHC HCE ∠+∠=︒可推出 HCE HEM ∠=∠，即推出HDM HEM ∠=∠，即MD ME =，故判断D 正确；假设2CD ME =，可推出2CD MD =，即可推出30DCM ∠=︒．由于无法确定DCM ∠的大小，故2CD ME =不一定成立，故可判断A 错误．
【解析】
如图，设AD 、BC 交于点H ，作HF AB ⊥于点F ，连接EF ．延长AC 与BD 并交于点G ．
∵AD 是BAC ∠的平分线，HF AB ⊥，HC AC ⊥，
∴HC =HF ，
∴AF =AC ．
∴在CAE 和FAE 中，AF AC CAE FAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()CAE FAE SAS ≅，
∴CE FE =，∠AEC =∠AEF =90°，
∴C 、E 、F 三点共线，
∴点E 为CF 中点．
∵M 为BC 中点，
∴ME 为CBF 中位线，
∴//ME AB ，故B 正确，不符合题意；
∵在AGD △和ABD △中，90GAD BAD AD AD ADG ADB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，
∴()AGD ABD ASA ≅， ∴12
GD BD BG ==，即D 为BG 中点． ∵在BCG 中，90BCG ∠=︒， ∴12
CD BG =， ∴CD BD =，故C 正确，不符合题意；
∵90HDM DHM ∠+∠=︒，90HCE CHE ∠+∠=︒，DHM CHE ∠=∠，
∴HDM HCE ∠=∠．
∵HF AB ⊥，//ME AB ，
∴HF ME ⊥，
∴90HEM EHF ∠+∠=︒．
∵AD 是BAC ∠的平分线，
∴EHC EHF ∠=∠．
∵90EHC HCE ∠+∠=︒，
∴HCE HEM ∠=∠，
∴HDM HEM ∠=∠，
∴MD ME =，故D 正确，不符合题意；
∵假设2CD ME =，
∴2CD MD =，
∴在Rt CDM 中，30DCM ∠=︒．
∵无法确定DCM ∠的大小，故原假设不一定成立，故A 错误，符合题意．
故选A ．
【小结】
本题考查角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质，三角形中位线的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等知识，较难．正确的作出辅助线是解答本题的关键． 8．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，若△ADE 的面积是3cm 2，则四边形BDEC 的面积为（ ）
A ．12cm 2
B ．9cm 2
C ．6cm 2
D ．3cm 2
【答案】B
【分析】
由三角形的中位线定理可得DE =12BC ，DE ∥BC ，可证△ADE ∽△ABC ，利用相似三角形的性质，即可求解．
【解析】 解：∵点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，
∴DE =12
BC ，DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC ，
∴21()4
ADE ABC S DE S BC ∆∆==， ∵S △ADE =3，
∴S △ABC =12，
∴四边形BDEC 的面积=12-3=9(cm 2)，
故选：B ．
【小结】
本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 9．（2021·天津中考真题）如图，ABCD 的顶点A ，B ，C 的坐标分别是()()()2,0,1,2,2,2---，则顶点D 的坐标是（ ）
A ．()4,1-
B ．()4,2-
C ．()4,1
D ．()2,1
【答案】C
【分析】
根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可．
【解析】
解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
点B 的坐标为(-2，-2)，点C 的坐标为(2，-2)，
∴点B 到点C 为水平向右移动4个单位长度，
∴A 到D 也应向右移动4个单位长度，
∵点A 的坐标为(0，1)，
则点D 的坐标为(4，1)，
故选:C ．
【小结】
本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键． 10．（2021·四川泸州市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD 中，AE 平分∠BAD 且交BC 于点E ，∠D =58°，则∠AEC 的大小是（ ）
A ．61°
B ．109°
C ．119°
D ．122°
【答案】C
【分析】
根据四边形ABCD 是平行四边形，得到对边平行，再利用平行的性质求出180122BAD D ∠=︒-∠=︒，
根据角平分线的性质得：AE 平分∠BAD 求DAE ∠，再根据平行线的性质得AEC ∠，即可得到答案．
解：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴//AB CD ，//AD BC
∴180********BAD D ∠=︒-∠=︒-︒=︒
∵AE 平分∠BAD ∴111226122
DAE BAD ∠=
∠=⨯︒=︒ ∵//AD BC
∴180********AEC DAE ∠=︒-∠=︒-︒=︒
故选C ．
【小结】
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，能利用平行四边形的性质找到角与角的关系，是解答此题的关键．
11．（2021·四川南充市·中考真题）如图，点O 是ABCD 对角线的交点，EF 过点O 分別交AD ，BC 于点E ，F ．下列结论成立的是（ ）
A ．OE OF =
B ．AE BF =
C ．DOC OC
D ∠=∠D ．CF
E DE
F ∠=∠
【答案】A
【分析】
首先可根据平行四边形的性质推出△AEO ≌△CFO ，从而进行分析即可．
∵点O 是ABCD 对角线的交点，
∴OA =OC ，∠EAO =∠CFO ，
∵∠AOE =∠COF ，
∴△AEO ≌△CFO （ASA ），
∴OE =OF ，A 选项成立；
∴AE =CF ，但不一定得出BF =CF ，
则AE 不一定等于BF ，B 选项不一定成立；
若DOC OCD ∠=∠，则DO =DC ，
由题意无法明确推出此结论，C 选项不一定成立；
由△AEO ≌△CFO 得∠CFE =∠AEF ，但不一定得出∠AEF =∠DEF ，
则∠CFE 不一定等于∠DEF ，D 选项不一定成立；
故选：A ．
【小结】
本题考查平行四边形的性质，理解基本性质，利用全等三角形的判定与性质是解题关键． 12．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图是一个由5张纸片拼成的ABCD ，相邻纸片之间互不重叠也无缝隙，其中两张等腰直角三角形纸片的面积都为1S ，另两张直角三角形纸片的面积都为2S ，中间一张矩形纸片EFGH 的面积为3S ，FH 与GE 相交于点O ．当,,,AEO BFO CGO DHO 的面积相等时，下列结论一定成立的是（ ）
A ．12S S
B ．13S S =
C ．AB A
D =D ．EH GH =
【答案】A
【分析】
根据△AED 和△BCG 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是平行四边形，四边形HEFG 是矩形可得出AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF ，GH =EF ，点O 是矩形HEFG 的中心，设AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF = b ，GH =EF = c ，过点O 作OP ⊥EF 于点P ，OQ ⊥GF 于点Q ，可得出OP ，
OQ 分别是△FHE 和△EGF 的中位线，从而可表示OP ，OQ 的长，再分别计算出1S ，2S ，3S 进行判断即可
【解析】
解：由题意得，△AED 和△BCG 是等腰直角三角形，
∴45ADE DAE BCG GBC ∠=∠=∠=∠=︒
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD =BC ，CD =AB ，∠ADC =∠ABC ，∠BAD =∠DCB
∴∠HDC =∠FBA ，∠DCH =∠BAF ，
∴△AED ≌△CGB ，△CDH ≌ABF
∴AE =DE =BG =CG
∵四边形HEFG 是矩形
∴GH =EF ，HE =GF
设AE =DE =BG =CG =a ， HE =GF = b ，GH =EF = c
过点O 作OP ⊥EF 于点P ，OQ ⊥GF 于点Q ，
∴OP //HE ，OQ //EF
∵点O 是矩形HEFG 的对角线交点，即HF 和E G 的中点，
∴OP ，OQ 分别是△FHE 和△EGF 的中位线， ∴1122OP HE b =
=，1122
OQ EF c == ∵1111()()2224
BOF S BF OQ a b c a b c ∆==-⨯=- 11112224AOE S AE OP a b ab ∆==⨯= ∵BOF AOE S S ∆∆=
∴
11()44
a b c ab -=，即ac bc ab -= 而211122
AED S S AE DE a ∆===， 222211111()()()()22222AFB S S AF BF a c a b a ab ac bc a ab ab a ∆===+-=-+-=-+= 所以，12S S ，故选项A 符合题意，
2223=()()S HE EF a b a c a bc ab ac a ab ab a =-+=--+=+-=
∴13S S ≠，故选项B 不符合题意，
而AB AD =于EH GH =都不一定成立，故,C D 都不符合题意，
故选：A
【小结】
本题考查平行四边形的性质、直角三角形的面积等知识，解题的关键是求出S1，S2，S3之间的关系．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
13．（2021·浙江丽水市·中考真题）一个多边形过顶点剪去一个角后，所得多边形的内角和为720 ，则原多边形的边数是__________．
【答案】6或7
【分析】
求出新的多边形为6边形，则可推断原来的多边形可以是6边形，可以是7边形．
【解析】
解：由多边形内角和，可得
（n-2）×180°=720°，
∴n=6，
∴新的多边形为6边形，
∵过顶点剪去一个角，
∴原来的多边形可以是6边形，也可以是7边形，
故答案为6或7．
【小结】
本题考查多边形的内角和；熟练掌握多边形的内角和与多边形的边数之间的关系是解题的关键．
14．（2021·湖北黄冈市·中考真题）正五边形的一个内角是_____度．【答案】108
【分析】
根据正多边形的定义、多边形的内角和公式即可得．
【解析】
解：正五边形的一个内角度数为180(52)
108
5
︒⨯-
=︒，
故答案为：108．
【小结】
本题考查了正多边形的内角，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键．
15．（2021·陕西中考真题）正九边形一个内角的度数为______．
【答案】140°
【分析】
正多边形的每个内角相等，每个外角也相等，而每个内角等于180︒减去一个外角，求出外角即可求解．【解析】
正多边形的每个外角
360
=
n
︒
（n为边数），
所以正九边形的一个外角
360
==40
9
︒
︒
∴正九边形一个内角的度数为18040140
︒-︒=︒
故答案为：140°．
【小结】
本题考查的是多边形的内角和，多边形的外角和为360︒，正多边形的每个内角相等，通过计算1个外角的度数来求得1个内角度数是解题关键．
16．（2021·湖南中考真题）一个多边形的每个外角的度数都是60°，则这个多边形的内角和为______．
【答案】720°
【分析】
多边形的外角和计算公式为：边数×外角的度数=360°，根据公式即可得出多边形的边数，然后再根据多边形的内角和公式求出它的内角和，n边形内角和等于(n-2) ×180°．
【解析】
解：∵任何多边形的外角和是360°，此正多边形每一个外角都为60°，边数×外角的度数=360°，
∴n=360°÷60°=6，
∴此正多边形的边数为6，
则这个多边形的内角和为(n-2) ×180°，
(6-2)×180°=720°，
故答案为720°．
【小结】
本题主要考查了多边形内角和及外角和定理，熟知“任何多边形的外角和是360°，n边形内角和等于(n-2) ×180°”是解题的关键．
17．（2021·四川广安市·中考真题）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．
【答案】8
【解析】
解：设边数为n，由题意得，
180（n-2）=360 3
解得n=8.
所以这个多边形的边数是8.
18．（2021·浙江中考真题）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点），则图中A ∠的度数是_______度．
【答案】36
【分析】
根据题意，得五边形（,,,,F G H J K 是正五边形的五个顶点）为正五边形，且AF AK =；根据多边形内角和性质，得正五边形FGHJK 内角和，从而得4∠；再根据补角、等腰三角形、三角形内角和性质计算，即可得到答案．
【解析】
∵正五角星（,,,,A B C D E 是正五边形的五个顶点）
∴五边形（,,,,F G H J K 是正五边形的五个顶点）为正五边形，且AF AK =
∴正五边形FGHJK 内角和为：()52180540-⨯︒=︒
∴
540
4108
5
︒
∠==︒
∴3180472
∠=︒-∠=︒
∵AF AK
=
∴2372
∠=∠=︒
∴11802336
∠=︒-∠-∠=︒
故答案为：36．
【小结】
本题考查了正多边形、多边形内角和、补角、等腰三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握正多边形、多边形内角和、等腰三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．19．（2021·江苏扬州市·中考真题）如图，在ABCD中，点E在AD上，且EC平分BED
∠，若30
EBC
∠=︒，10
BE=，则ABCD的面积为________．
【答案】50
【分析】
过点E作EF⊥BC，垂足为F，利用直角三角形的性质求出EF，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠BCE=∠BEC，可得BE=BC=10，最后利用平行四边形的面积公式计算即可．
【解析】
解：过点E作EF⊥BC，垂足为F，
∵∠EBC=30°，BE=10，
∴EF=1
2
BE=5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DEC=∠BCE，
又EC平分∠BED，即∠BEC=∠DEC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴BE=BC=10，
∴四边形ABCD的面积=BC EF
⨯=105
⨯=50，
故答案为：50．
【小结】
本题考查了平行四边形的性质，30度的直角三角形的性质，角平分线的定义，等角对等边，知识点较多，但难度不大，图形特征比较明显，作出辅助线构造直角三角形求出EF的长是解题的关键．20．（2021·云南中考真题）如图，在ABC中，点D，E分别是,
BC AC的中点，AD与BE相交于点F，若6
BF=，则BE的长是______．
【答案】9
根据中位线定理得到DE =12AB ，DE ∥AB ，从而证明△DEF ∽△ABF ，得到12DE EF AB BF ==，求出EF ，可得BE ．
【解析】
解：∵点D ，E 分别为BC 和AC 中点，
∴DE =12
AB ，DE ∥AB ， ∴△DEF ∽△ABF ，
∴12
DE EF AB BF ==， ∵BF =6，
∴EF =3，
∴BE =6+3=9，
故答案为：9．
【小结】
本题考查了三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据中位线的性质证明△DEF ∽△ABF ．
21．（2021·重庆中考真题）如图，ABC 中，点D 为边BC 的中点，连接AD ，将ADC 沿直线AD 翻折至ABC 所在平面内，得ADC '，连接CC '，分别与边AB 交于点E ，与AD 交于点O ．若AE BE =，2BC '=，则AD 的长为__________．
【答案】3
利用翻折的性质可得,OC OC '=推出OD 是CC B '的中位线，得出1OD =，再利用OD BC '//得出AO 的长度，即可求出AD 的长度．
【解析】
由翻折可知,OC OC '=
∴O 是CC '的中点，
∵点D 为边BC 的中点，O 是CC '的中点，
∴OD 是CC B '的中位线， ∴11,2
OD BC OD BC ''=
=// ， ∴AO AE BC BE ='， ∵AE BE =， ∴
1AE BE
=， ∴1AO BC ='， ∴2AO BC '==，
∴213AD AO OD =+=+=．
故答案为：3．
【小结】
本题考查了翻折的性质，三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质，掌握三角形的中位线的判定和性质，以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键．
22．（2021·湖南邵阳市·中考真题）如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，连接DE 、EF 、DF ，若△ABC 的周长为10，则△DEF 的周长为_______________．
【答案】5 【解析】
解：根据三角形的中位线定理可得DE=1
2
AC，EF=
1
2
AB，DF=
1
2
BC
所以△DEF的周长为△ABC的周长的一半，即△DEF的周长为5
故答案为：5．
【小结】
本题考查三角形的中位线定理．
23．（2021·浙江嘉兴市·中考真题）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O,AB AC
⊥，AH BD
⊥于点H，若AB=2，23
BC=，则AH的长为__________________．
23
【分析】
根据勾股定理求得AC的长，结合平行四边形的性质求得AO的长，然后利用相似三角形的判定和性质求解．
【解析】
解：∵AB AC ⊥，BC =AB =2
∴在Rt △ABC 中，AC =
∴在ABCD 中，AO =
12AC =
在Rt △ABO 中，BO ∵AB AC ⊥，AH BD ⊥
∴90AHB OAB ∠=∠=︒
又∵ABO HBA ∠=∠
∴ABO HBA △∽△ ∴AH AB
AO BO ==
解得：AH
【小结】
本题考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．
24．（2021·山东临沂市·中考真题）在平面直角坐标系中，ABCD 的对称中心是坐标原点，顶点A 、B 的坐标分别是(1,1)-、(2,1)，将ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，则顶点C 的对应点1C 的坐标是___．
【答案】（4，-1）
【分析】
根据平行四边形的性质得到点C 坐标，再根据平移的性质得到C 1坐标．
【解析】
解：在平行四边形ABCD 中，
∵对称中心是坐标原点，A （-1，1），B （2，1），
∴C （1，-1），
将平行四边形ABCD 沿x 轴向右平移3个单位长度，
∴C 1（4，-1），
故答案为：（4，-1）．
【小结】
本题考查了坐标与图形变化-平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
25．（2021·浙江丽水市·中考真题）小丽在“红色研学”活动中深受革命先烈事迹的鼓舞，用正方形纸片制作成图1的七巧板，设计拼成图2的“奔跑者”形象来激励自己．已知图1正方形纸片的边长为4，图2中2FM EM ，则“奔跑者”两脚之间的跨度，即,AB CD 之间的距离是__________．
【答案】133
【分析】
先根据图1求EQ 与CD 之间的距离，再求出BQ ，即可得到,AB CD 之间的距离= EQ 与CD 之间
的距离+BQ ．
【解析】
解：过点E 作EQ ⊥BM ，则//EQ CD
根据图1图形EQ 与CD 之间的距离=1114+4=3222
⨯⨯⨯ 由勾股定理得：2224EF =，解得：22EF =
2
21242AM ⎛⎫=⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得：22AM =∵2FM EM = ∴11==33
EM FM AM ∵EQ ⊥BM ，90B ∠=︒
∴//EQ AB ∴2242=333BQ BM =
=⨯ ∴,AB CD 之间的距离= EQ 与CD 之间的距离+BQ 413=3+=33
故答案为133
． 【小结】
本题考查了平行线间的距离、勾股定理、平行线所分得线段对应成比例相关知识点，能利用数形结合法找到需要的数据是解答此题的关键．
26．（2021·浙江金华市·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，有一只用七巧板拼成的“猫”，三角形①的边BC及四边形②的边CD都在x轴上，“猫”耳尖E在y轴上．若“猫”尾巴尖A的横坐标是1，则“猫”爪尖F的坐标是___________．
【答案】
1222
44
⎛++
-
⎝⎭
【分析】
设大正方形的边长为2a2a，中等腰直角三角形的腰长为a，小等
腰直角三角形的腰长为2a
2
，小正方形的边长为
2a
2
，平行四边形的长边为a，短边为
2a
2
，用含
有a的代数式表示点A的横坐标，表示点F的坐标，确定a值即可.
【解析】
设大正方形的边长为2a2a，中等腰直角三角形的腰长为a，小等
腰直角三角形的腰长为2a
2
，小正方形的边长为
2a
2
，平行四边形的长边为a，短边为
2a
2
，如图，
过点F作FG⊥x轴，垂足为G, 点F作FH⊥y轴，垂足为H, 过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q,延长大等腰直角三角形的斜边交x轴于点N，交FH于点M，
根据题意，得OC
2a
22
=
1
a
2
，CD=a,DQ=
1
a
2
，
∵点A的横坐标为1,
∴1
a
2
+a+
1
a
2
=1，
∴a=1
2
；
根据题意，得FM=PM 2a
，MH=
1
a
2
，
∴FH=(2+1)a
2
=
2+1
4
；
∴MT=2a 2a
，BT=2a2a,
∴TN2a-a，
∴MN=MT+TN=2a 2a
2a-a
(2+2)a2+2
，
∵点F在第二象限，
∴点F的坐标为（-2+1
4
，
2+2
4
）
故答案为：（2+12+2
）．
【小结】
本题考查了七巧板的意义，合理设出未知数，用未知数表示各个图形的边长，点ＡＡ的横坐标，点Ｆ的坐标是解题的关键．
三、解答题
27．（2021·四川广安市·中考真题）下图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段AB 的端点都在格点上.要求以AB 为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在下面的网格图中画出4种不同的设计图形．
【答案】见解析
【分析】
将点A 沿任意方向平移到另一格点处，然后将点B 也按相同的方法平移，最后连接点A 、B 及其对应点即可．
【解析】
解：如图，四边形ABCD 是平行四边形．
【小结】
本题主要考查作图-应用与设计作图，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键．
28．（2021·重庆中考真题）如图，四边形ABCD 为平行四边形，连接AC ，且2AC AB =．请用尺规完成基本作图：作出BAC ∠的角平分线与BC 交于点E ．连接BD 交AE 于点F ，交AC 于点O ，猜
想线段BF 和线段DF 的数量关系，并证明你的猜想．（尺规作图保留作图痕迹，不写作法）
【答案】作图见解析，猜想：DF =3BF ，证明见解析．
【分析】
根据角平分线的作法作出BAC ∠的角平分线即可；由平行四边形的性质可得出AO CO =.BO DO =,由AC =2AB 得出AO =AB ，由等腰三角形的性质得出12
BF OF BO ==
，从而可得出结论． 【解析】
解：如图，AE 即为BAC ∠的角平分线，
猜想：DF =3BF
证明：∵四边形ABCD 是平行四边形
∴AO =CO ，BO =DO
∴2AC AO =
∵AC =2AB
∴AO =AB
∵AE 是BAC ∠的角平分线
∴12BF OF BO ==
∴12BF OF DO == ∴23DF BO OF BF BF BF =+=+=．
【小结】
此题主要考查了基本作图，等腰三角形的性质以及平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解答此题的关键．
29．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，在55⨯的方格纸中，线段AB 的端点均在格点上，请按要求画图．
（1）如图1，画出一条线段AC ，使,AC AB C =在格点上；
（2）如图2，画出一条线段EF ，使,EF AB 互相平分，,E F 均在格点上；
（3）如图3，以,A B 为顶点画出一个四边形，使其是中心对称图形，且顶点均在格点上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【分析】
（1）根据“矩形对角线相等”画出图形即可；
（2）根据“平行四边形对角线互相平分”，找出以AB 对角线的平行四边形即可画出另一条对角线EF ； （3）画出平行四边形ABPQ 即可．
【解析】
解：（1）如图1，线段AC即为所作；
（2）如图2，线段EF即为所作；
（3）四边形ABPQ为所作；
【小结】
本题考查作图-复杂作图，矩形的性质以及平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
30．（2021·重庆中考真题）如图，在ABCD中，AB>AD．
（1）用尺规完成以下基本作图：在AB上截取AE，使得AE=AD；作∠BCD的平分线交AB于点F．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，连接DE交CF于点P，猜想△CDP按角分类的类型，并证明你的结论．【答案】（1）见解析；（2）直角三角形，理由见解析
【分析】
（1）直接利用角平分线的作法得出符合题意的答案；
（2）先证明∠ADE=∠CDE，再利用平行线的性质“同旁内角互补”，得出∠CPD=90 即可得出答案．【解析】
解：（1）解：如图所示：E，F即为所求；
（2）△CDP是直角三角形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴∠CDE=∠AED，∠ADC+∠BCD=180°，
∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED．
∴∠CED=∠ADE=1
2
∠ADC．
∵CP平分∠BCD，
∴∠DCP=1
2
∠BCD，
∴∠CDE+∠DCP=90°．∴∠CPD=90°．
∴△CDP是直角三角形．
【小结】
本题主要考查了基本作图以及平行四边形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
31．（2021·四川成都市·中考真题）在Rt ABC 中，90,5,3ACB AB BC ∠=︒==，将ABC 绕点B 顺时针旋转得到A BC ''△，其中点A ，C 的对应点分别为点A '，C '．
（1）如图1，当点A '落在AC 的延长线上时，求AA '的长；
（2）如图2，当点C '落在AB 的延长线上时，连接CC '，交A B '于点M ，求BM 的长；
（3）如图3，连接,AA CC ''，直线CC '交AA '于点D ，点E 为AC 的中点，连接DE ．在旋转过程中，DE 是否存在最小值？若存在，求出DE 的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）8AA '=；（2）511BM =
；（3）存在，最小值为1 【分析】
（1）根据题意利用勾股定理可求出AC 长为4．再根据旋转的性质可知AB A B '=，最后由等腰三角形的性质即可求出AA '的长．
（2）作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．再由平行线的性质可知CEB A BC ''∠=∠，即可推出CEB ABC ∠=∠，从而间接求出3CE BC BC '===，DE DB =．由三角形面积公式可求出125CD =
．再利用勾股定理即可求出185BE =，进而求出335
C E '=．最后利用平行线分线段成比例即可求出BM 的长．
（3）作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．由题意易证明BCC BC C ''∠=∠， 90ACP BCC '∠=︒-∠，90A C D BC C '''∠=︒-∠，即得出ACP A C D ''∠=∠．再由平行线性质可知APC A C D ''∠=∠，即得出ACP APC ∠=∠，即可证明AP AC A C ''==，由此即易证()APD A C D AAS ''≅，得出AD A D '=，即点D 为AA '中点．从而证明DE 为ACA '的中位线，即12DE A C '=．即要使DE 最小，A C '最小即可．根据三角形三边关系可得当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值即为=A C A B BC ''-，由此即可求出DE 的最小值．
【解析】
（1）在Rt ABC 中，2222534AC AB BC =-=-=．
根据旋转性质可知AB A B '=，即ABA '△为等腰三角形．
∵90ACB ∠=︒，即BC AA '⊥，
∴4A C AC '==，
∴8AA '=．
（2）如图，作CD AC '⊥交AC '于点D ，作//CE A B '交AC '于点E ．
由旋转可得A BC ABC ''∠=∠，3BC BC '==．
∵//CE A B '，
∴CEB A BC ''∠=∠，
∴CEB ABC ∠=∠，
∴3CE BC BC '===，DE DB =． ∵1122
ABC S AB CD AC BC ==，即543CD ⨯=⨯， ∴125
CD =． 在Rt BCD 中，95
DB ==， ∴185
BE =． ∴335C E BE BC ''=+=． ∵//CE A B '， ∴BM BC CE C E '='，即33335
BM =， ∴1511
BM =． （3）如图，作//AP A C ''且交C D '延长线于点P ，连接A C '．
∵BC BC '=，
∴BCC BC C ''∠=∠，
∵180ACP ACB BCC '∠=︒-∠-∠，即90ACP BCC '∠=︒-∠，
又∵90A C D BC C '''∠=︒-∠，
∴ACP A C D ''∠=∠．
∵//AP A C ''，
∴APC A C D ''∠=∠，
∴ACP APC ∠=∠，
∴AP AC =，
∴AP A C ''=．
∴在APD △和AC D ''中ADP A DC APD A C D AP A C '''∠=∠⎧⎪∠=∠'''⎨⎪=⎩
，
∴()APD A C D AAS ''≅，
∴AD A D '=，即点D 为AA '中点．
∵点E 为AC 中点，
∴DE 为ACA '的中位线， ∴12DE A C '=， 即要使DE 最小，A C '最小即可．
根据图可知A C A B BC ''≤-，即当点A C B '、、三点共线时A C '最小，且最小值为
==53=2A C A B BC ''--．
∴此时1=12
DE A C '=，即DE 最小值为2．
【小结】
本题为旋转综合题．考查旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质，中位线的判定和性质以及三角形三边关系，综合性强，为
困难题．正确的作出辅助线为难点也是解题关键．
32．（2021·四川遂宁市·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O的直线EF与BA、DC的延长线分别交于点E、F．
（1）求证：AE＝CF；
（2）请再添加一个条件，使四边形BFDE是菱形，并说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）EF⊥BD或EB＝ED，见解析
【分析】
≌，则可得到AE＝CF；（1）根据平行四边形的性质和全等三角形的证明方法证明AOE COF
≌，得到OE= OF，又AO=CO，所以四边形AECF是平行四边（2）连接BF，DE，由AOE COF
形，则根据EF⊥BD可得四边形BFDE是菱形．
【解析】
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA＝OC，BE∥DF
∴∠E＝∠F
在△AOE和△COF中。