2023-2024学年河南省高一上册第一次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年河南省高一上册第一次月考数学试题
一、单选题
1．已知集合{}
2
20A x x x =-≤，{}1,0,3B =-，则()R A B ⋂=ð（
）
A ．∅
B ．{}0,1
C ．{}
1,0,3-D ．{}
1,3-【正确答案】D
【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合A ，再由集合的补集和交集运算可求得答案.
【详解】因为{}
{}2
2002A x x x x x =-≤=≤≤，所以{R |0A x x =<ð或}2x >，
又{}1,0,3B =-，所以(){}1,3R A B ⋂=-ð，故选：D ．
2．已知函数()f x =()()3y f x f x =+-的定义域是（）
A ．[-5，4]
B ．[-2，7]
C ．[-2，1]
D ．[1，4]
【正确答案】D
【分析】由函数解析式可得2820x x +-≥，解不等式可得24x -≤≤，再由24234x x -≤≤⎧⎨-≤-≤⎩
即
可求解.
【详解】由()f x =2820x x +-≥，解得24x -≤≤，
所以函数()()3y f x f x =+-的定义域满足24
234
x x -≤≤⎧⎨
-≤-≤⎩，解得14x ≤≤，所以函数的定义域为[1，4].故选：D 3．不等式31
12x x
-≥-的解集是（）
A ．3
{|
2}4
x x ≤≤B ．3
{|
2}4
x x ≤<C ．{>2x x 或3
}
4x ≤D ．3
{|}
4
x x ≥
【正确答案】B
【分析】把原不等式的右边移项到左边，通分计算后，然后转化为()()4320
20x x x ⎧--⎨-≠⎩
，求出
不等式组的解集即为原不等式的解集．【详解】解：不等式
3112x x --可转化为31102x x ---，即4302x x --，即43
02
x x --，所以不等式等价于()()432020x x x ⎧--⎨-≠⎩
，解得：
3
24x <，所以原不等式的解集是3
{|2}4
x x <．故选：B ．
4．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N+，使n ≥2x+1”的否定形式是（）
A ．∀x ∈R ，∃n ∈N+，有n<2x+1
B ．∀x ∈R ，∀n ∈N+，有n<2x+1
C ．∃x ∈R ，∃n ∈N+，使n<2x+1
D ．∃x ∈R ，∀n ∈N+，使n<2x+1【正确答案】D
【分析】根据全称命题、特称命题的否定表述：条件中的∀→∃、∃→∀，然后把结论否定，即可确定答案
【详解】条件中的∀→∃、∃→∀，把结论否定
∴“∀x ∈R ，∃n ∈N+，使n ≥2x+1”的否定形式为“∃x ∈R ，∀n ∈N+，使n<2x+1”故选：D
本题考查了全称命题、特称命题的否定形式，其原则是将原命题条件中的∀→∃、∃→∀且否定原结论
5．已知12a b ≤-≤，24a b ≤+≤，则32a b -的取值范围是（）
A ．3,92⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
B ．5,82⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
C ．5,92⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
D ．7,72⎡⎤⎢⎥
⎣⎦
【正确答案】D
【分析】令32()()a b m a b n a b -=-++求,m n ，再利用不等式的性质求32a b -的取值范围.【详解】令32()()()()a b m a b n a b m n a n m b -=-++=++-，
∴32
m n n m +=⎧⎨-=-⎩，即51,22m n ==，
∴
55()5,121()222a b a b ≤-≤≤+≤，故7
3272
a b ≤-≤.故选：D
6．如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，16AB =，点P 是斜边AB 上任意一点，过点P 作PQ AB ⊥，垂足为P ，交边AC （或边CB ）于点Q ，设AP x =，APQ △的面积为y ，则y 与x 之间的函数图象大致是（
）
A ．
B ．
C ．
D ．
【正确答案】D
【分析】首先过点C 作CD AB ⊥于点D ，由ABC 中，90ACB ∠= ，30A ∠= ，可求得B ∠的度数与AD 的长度，再分别从当012AD ≤≤与当1216x <≤时，去分析求解即可求得y 与x 之间的函数关系式，进一步选出图象.
【详解】过点C 作CD AB ⊥于点D ，因为90ACB ∠= ，30A ∠= ，16AB =，所以60B ∠= ，142
BD BC ==，12AD AB BD =-=.
如图1，当012AD ≤≤时，AP x =，tan 30PQ AP x =⋅ ，
所以21236
y x x x =
=，如图2：当1216x <≤时，16BP AB AP x =-=-，
所以)tan 6016PQ BP x =⋅=-
，
所以)211622
y x x x =-=-+，故选：D
此题考查了动点问题，注意掌握含30 直角三角形的性质与二次函数的性质；注意掌握分类讨论的思想.属于中档题.
7．已知函数2
21111x x
f x x --⎛⎫= ⎪++⎝⎭
，则()f x 的解析式为（）A ．()()2211x f x x x =≠-+B ．()()2
211x
f x x x =-≠-+C ．()()2
11x
f x x x =
≠-+D ．()()2
11x
f x x x =-
≠-+【正确答案】A 【分析】令11x t x -=+，则11t
x t
-=+，代入已知解析式可得()f t 的表达式，再将t 换成x 即可求解.
【详解】令11x t x -=
+，则11t
x t
-=+，所以()()2
22
112111111t t t f t t t t t -⎛⎫- ⎪+⎝⎭==≠-+-⎛⎫
+ ⎪+⎝⎭，所以()()2211x
f x x x
=≠-+，故选：A.
8．已知0x >，0y >，且21
21x y
+=+，若2231x y m m +>--恒成立，则实数m 的取值范围是（
）
A ．1m ≤-或4m ≥
B ．4m ≤-或m 1≥
C ．14-<<m
D ．41
m -<<【正确答案】C 由
2121x y +=+得1
21y x
=+，利用基本不等式求出2x y +的最小值，再将不等式恒成立转化为最值，解不等式可得结果.【详解】由
2121x y +=+得212(1)y x x y ++=+，所以12x xy +=，所以1
21y x
=+，
所以121x y x x +=+
+13≥=，当且仅当1,1x y ==时，等号成立，所以()min 23x y +=，
所以2231x y m m +>--恒成立，可化为2331m m >--，即2340m m --<，解得14-<<m .故选：C
结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：①若()k f x ≥在[,]a b 上恒成立，则max ()k f x ≥；②若()k f x ≤在[,]a b 上恒成立，则min ()k f x ≤；③若()k f x ≥在[,]a b 上有解，则min ()k f x ≥；④若()k f x ≤在[,]a b 上有解，则max ()k f x ≤；
二、多选题
9．有以下判断，其中是正确判断的有（）.
A ．()x
f x x =
与()1,01,0x g x x ≥⎧=⎨-<⎩
表示同一函数
B ．函数()2
21
22
x f x x =++
+的最小值为2C ．函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个
D ．若()1f x x x =--，则112f f ⎛
⎫⎛⎫= ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
【正确答案】CD
【分析】根据函数的定义域可判断A 的正误，根据基本不等式可判断B 的正误，根据函数的定义可判断C 的正误，根据函数解析式计算对应的函数值可判断D 的正误.【详解】对于A ，()x
f x x
=
的定义域为()(),00,∞-+∞U ，而()1,0
1,0
x g x x ≥⎧=⎨-<⎩的定义域为R ，两个函数的定义域不同，故两者不是同一函数.
对于B ，由基本不等式可得()2
2
1
222
f x x x =++
≥+，但221x +=无解，
故前者等号不成立，故()2f x >，故B 错误.
对于C ，由函数定义可得函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个，故C 正确.
对于D ，()1012f f f ⎛
⎫
⎛⎫== ⎪
⎪⎝⎭⎝
⎭
，故D 正确.故选：CD.
10．下面命题正确的是（）
A ．“3x >”是“5x >"的必要不充分条件
B ．“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件
C ．“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件
D ．设,R x y ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的充分不必要条件【正确答案】ABC
【分析】利用充分条件，必要条件的定义逐项判断作答.
【详解】对于A ，3x >不能推出5x >，而5x >，必有3x >，“3x >”是“5x >"的必要不充分条件，A 正确；
对于B ，若0ac <，一元二次方程20ax bx c ++=判别式240b ac ∆=->，方程有二根12,x x ，120c
x x a
=
<，即12,x x 一正一负，反之，一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根12,x x ，
则120c
x x a
=
<，有0ac <，所以“0ac <”是“一元二次方程20ax bx c ++=有一正一负两个实根”的充要条件，B 正确；
对于C ，当1x ≠时，若3x =，有2430x x -+=，当2430x x -+≠时，1x ≠且3x ≠，因此“1x ≠”是“2430x x -+≠”的必要不充分条件，C 正确；
对于D ，,R x y ∈，若4x y +≥，取1,4x y ==，显然“2x ≥且2y ≥”不成立，而2x ≥且2y ≥，必有4x y +≥，
设,R x y ∈，则“4x y +≥”是“2x ≥且2y ≥”的必要不充分条件，D 不正确.故选：ABC
11．函数()1,Q
0,Q
x D x x ∈⎧=⎨
∉⎩被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是（）
A ．函数()D x 的值域为[]0,1
B ．若()01D x =，则()011D x +=
C ．若()()120
D x D x -=，则12x x -∈Q D ．x ∃∈R ，(1
D x =【正确答案】BD
【分析】求得函数()D x 的值域判断选项A ；推理证明判断选项B ；举反例否定选项C ；举
例证明x ∃∈R ，(1D x =.判断选项D.
【详解】选项A ：函数()D x 的值域为{}0,1.判断错误；
选项B ：若()01D x =，则0Q x ∈，01Q x +∈，则()011D x +=.判断正确；选项C ：()()2ππ000D D -=-=，但2ππ=πQ -∉.判断错误；
选项D ：当x =时，((()01D x D D ===.
则x ∃∈R ，(1D x =.判断正确.故选：BD
12．已知集合{}
2
0,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，则下面正确的是（
）
A ．224
a b -≤B ．2
14a b
+
≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，则120
x x >D ．若不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，且124x x -=，则4c =【正确答案】ABD
【分析】根据集合{}2
0,0x x ax b a ++=>子集的个数列方程，求得,a b 的关系式，对A ，利
用二次函数性质可判断；对B ，利用基本不等式可判断；对CD ，利用不等式的解集及韦达定理可判断.
【详解】由于集合{}2
0,0x x ax b a ++=>有且仅有两个子集，所以2240,4a b a b ∆=-==，
由于0a >，所以0b >.
A ，()2
2224244a b b b b -=-=--+≤，当2,b a ==时等号成立，故A 正确.
B ，21144a b b b +
=+≥=，当且仅当114,,2b b a b ===时等号成立，故B 正确.
C ，不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，120x x b =-<，故C 错误.
D ，不等式2x ax b c ++<的解集为()12,x x ，即不等式20x ax b c ++-<的解集为()12,x x ，且
124x x -=，则1212,x x a x x b c +=-=-，
则()(
)2
2
212121244416x x x x x x a b c c -=+-=--==，4c ∴=，故D 正确，故选：ABD
三、填空题
13．已知21,0
()2,
0x x f x x x ⎧+≥=⎨-<⎩,求()1f f -=⎡⎤⎣⎦________.
【正确答案】5
【分析】先求()1f -，再根据()1f -值代入对应解析式得()1.f f ⎡⎤-⎣⎦【详解】因为()()1212,f -=-⨯-=所以()[]1241 5.
f f f ⎡⎤-==+=⎣⎦求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现(())f f a 的形式时，应从内到外依次求值.14．已知正实数a 、b 满足
13
1a b
+=，则()()12a b ++的最小值是___________.
【正确答案】13+13+【分析】由已知可得出3
b
a b =-且3b >，化简代数式()()12a b ++，利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为正实数a 、b 满足
131a b +=，则03
b a b =>-，由0b >可得3b >，所以，()()()()()()32312122222333b b a b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫
++=++=++=++
⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭
()
()()335152223131313
33b b b b b -+=
++=-++≥+=+--
当且仅当62
b =
时，等号成立.
因此，()()12a b ++的最小值是13+.
故答案为.13+
15．对于[]1,1a ∈-，()2
210x a x a +-+->恒成立的x 取值________.
【正确答案】()()
,02,-∞+∞ 【分析】设()()()22
21121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+关于a 的一次函数，只需
()()10
10f f ⎧>⎪⎨
->⎪⎩
即可求解.【详解】令()()()22
21121f a x a x a x a x x =+-+-=-+-+，
因为对于[]11a ∈-，
，不等式()2210x a x a +-+->恒成立，所以()()10
10f f ⎧>⎪⎨->⎪⎩即220320x x x x ⎧->⎨-+>⎩解得：0x <或2x >.
故答案为.()()02-∞⋃+∞，
，方法点睛：求不等式恒成立问题的方法（1）分离参数法
若不等式(),0f x λ≥()x D ∈（λ是实参数）恒成立，将(),0f x λ≥转化为()g x λ≥或
()()g x x D λ≤∈恒成立，进而转化为()max g x λ≥或()()min g x x D λ≤∈，求()g x 的最值即可.
（2）数形结合法
结合函数图象将问题转化为函数图象的对称轴、区间端点的函数值或函数图象的位置关系（相对于x 轴）求解.此外，若涉及的不等式转化为一元二次不等式，可结合相应一元二次方程根的分布解决问题.（3）主参换位法
把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解，一般情况下条件给出谁的范围，就看成关于谁的函数，利用函数的单调性求解.16．若函数2()2f x x x =+，()2(0)g x ax a =+>，对于1x ∀∈[]1,2-，[]21,2x ∃∈-，使12()()g x f x =，则a 的取值范围是_____________.
【正确答案】(]
0,3【分析】由题意可知函数()g x 在区间[]1,2-的值域是函数()f x 在区间[]1,2-的值域的子集，转化为子集问题求a 的取值范围.
【详解】()()20g x ax a =+>在定义域上是单调递增函数，所以函数在区间[]1,2-的值域是[]
2,22a a -+函数()2
2f x x x =+在区间[]1,2-是单调递增函数，
所以函数()f x 的值域是[]1,8-，由题意可知[][]2,221,8a a -+⊆-，所以21228a a -≥-⎧⎨+≤⎩
，解得.3
a ≤故答案为.(]
0,3本题考查双变量等式中任意，存在问题求参数的取值范围，重点考查函数的值域，转化与化归的思想，属于中档题型.
四、解答题
17．已知{|13}A x x =-<≤，{|13}B x m x m =≤<+（1）若1m =时，求A B ⋃；
（2）若R B A ⊆ð，求实数m 的取值范围．
【正确答案】（1）(1,4)A B =-U ；（2）()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝
⎦ ．
（1）利用集合的并集定义代入计算即可;
（2）求出集合R A ð，利用集合包含关系，分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列出关于m 的不等式，求解可得答案.
【详解】（1）当1m =时，{|14}B x x =≤<，则{|14}A B x x ⋃=-<<即(1,4)A B =-U ．
（2）{|1R A x x =≤-ð或}(]()3,13,x >=-∞-⋃+∞，由R B A ⊆ð，可分以下两种情况：①当B =∅时，13m m ≥+，解得：1
2
m ≤-
②当B ≠∅时，利用数轴表示集合，如图
由图可知13131m m m <+⎧⎨+≤-⎩或133m m m <+⎧⎨>⎩
，解得3m >；综上所述，实数m 的取值范围是：12
m ≤-或3m >，即()1,3,2m ⎛⎤∈-∞-+∞ ⎥⎝
⎦ 易错点睛：本题考查利用集合子集关系确定参数问题，易错点是要注意：∅是任何集合的子集，所以要分集合B =∅和集合B ≠∅两种情况讨论，考查学生的逻辑推理能力，属于中档题.
18．（1）已知a b c <<，且0a b c ++=，证明：a a a c b c
<--．（2213a a a a ---(3)
a ≥【正确答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析
【分析】(1)利用不等式的性质证明即可；
(2)a 3a -<1a -2a -，对不等式两边同时平方后只需证明()3a a -<()()12a a --.
【详解】证明：（1）由a b c <<，且0a b c ++=，
所以0a <，且0,
a c
b
c -<-<所以()()0a c b c -->，所以
()()a c a c b c -<--()()b c a c b c ---，即1b c -<1a c -；所以a b c ->a a c -，即a a c -<a b c
-．（2213a a a a ---，(3)a ≥a 3a -<1-a 2a -，即证(3)(3)(1)(2)2(1)(2)a a a a a a a a +-+--+-+--()3a a -<()()12a a --即证(3)(1)(2)a a a a -<--；即证02<，显然成立；213a a a a ---
19．已知二次函数y ＝ax 2+bx ﹣a +2．
(1)若关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0的解集是{x |﹣1＜x ＜3}，求实数a ，b 的值；
(2)若b ＝2，a ＞0，解关于x 的不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0．
【正确答案】(1)a ＝﹣1，b ＝2
(2)见解析
【分析】（1）根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可；
（2）根据一元二次不等式的解法进行求解即可.
【详解】（1）由题意知，﹣1和3是方程ax 2+bx ﹣a +2＝0的两根，所以132(1)3b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-+⎪-⨯=⎪⎩
，解得a ＝﹣1，b ＝2；（2）当b ＝2时，不等式ax 2+bx ﹣a +2＞0为ax 2+2x ﹣a +2＞0，
即（ax ﹣a +2）（x +1）＞0，所以()210a x x a -⎛⎫-+> ⎪⎝
⎭，当21a a
-=-即1a =时，解集为{}1x x ≠-；当
21a a -<-即01a <<时，解集为2a x x a -⎧<⎨⎩
或}1x >-；当21a a ->-即1a >时，解集为2a x x a -⎧>⎨⎩或}1x <-.20．（1）求函数(
)3f x x 在区间[]2,4上的值域.
（2）已知二次函数2()1(R)f x x mx m m =-+-∈.函数在区间[]1,1-上的最小值记为()g m ，求()g m 的值域；
【正确答案】（1
）12,4⎤-⎦；
（2）(]0-∞，【分析】(1)
t =，可得函数()22()36318g t t t
t t =--=+-，讨论其值域即
可求解；(2)分类讨论二次函数的对称轴与给定区间[]1,1-的关系，分别表示出函数的最小值，表示为分段函数形式，作出图象即可求解.
【详解】(1)函数(
)3f x x =，
t =，则2
6x t =-∵[]2,4x ∈
2
t ≤≤那么函数()f x 转化为()22()36318
g t t t t t =--=+-其对称轴16
t =-，
2t ≤≤时()g t 单调递增，
∴()(2)g g t g ≤≤，
12()4g t -≤≤-，
故得()f x
的值域为12,4⎤--⎦.
（2）2()1f x x mx m =-+-，二次函数对称轴为2m x =
，开口向上①若12
m <-，即2m <-，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以最小值()(1)2g m f m =-=.②若112
m -≤≤，即22m -≤≤，此时当2m x =时，函数()f x 最小，最小值2()124m m g m f m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭
.③若12
m >，即m>2，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以最小值()(1)0g m f ==.综上2
2,2()1,2240,
2m m m g m m m m <-⎧⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪>⎪⎩
，作出分段函数的图像如下，所以当2m <-时，()(,4);
g m ∈-∞-当22m -≤≤时，[]4,0;
g(m)∈-
当m>2时，()0g m =，
综上知()g m 的值域为(]0.，
-∞21．今年，我国某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2023年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需
另投入成本()R x 万元，且()2101001000,040100007018450,40x x x R x x x x ⎧++<<⎪=⎨+-≥⎪⎩
，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2023年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；
(2)2023年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？
【正确答案】(1)()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩(2)2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元
【分析】（1）根据已知条件求得分段函数()W x 的解析式.
（2）结合二次函数的性质、基本不等式求得()W x 的最大值以及此时的产量.
【详解】（1）当040x <<时，()()
22700101001000250106001250W x x x x x x =-++-=-+-；当40x ≥时，()100001000070070184502508200W x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+--=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；∴()2106001250,040100008200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-++≥ ⎪⎪⎝
⎭⎩；（2）若040x <<，()()2
10307750W x x =--+，
当30x =时，()max 7750W x =万元；若40x ≥，(
)10000820082008000W x x x ⎛⎫=-++≤-= ⎪⎝⎭
，当且仅当10000x x
=即100x =时，()max 8000W x =万元.答：2023年产量为100（千部）时，企业所或利润最大，最大利润是8000万元.
22．已知()11282,0,11f x f x x x x x ⎛⎫+=+-≠≠ ⎪-⎝⎭
，(1)求()f x 的解析式；
(2)已知()()()22,22g x mx mx g x x f x m =--<-+在()1,3上有解，求m 的取值范围．
【正确答案】(1)1()2f x x
=+
，0,1x x ≠≠；(2)3m <.【分析】（1）根据给定条件，用11,1x x x
--依次替换x ，再消元求解作答.（2）由（1）结合已知，变形不等式，分离参数构造函数，求出函数在()1,3的最大值作答.
【详解】（1）0,1x x ≠≠，11()2()821f x f x x x +=+--，用11x
-替换x 得：11()2912()1
x f f x x x x -+=-+--，则有1114()4()8222(9)1011
x f x f x x x x x x x --=+---+=-+---，用1x x
-替换x 得：1112()2()82(1)711x f f x x x x x x x -+=+--=++--，于是得99()18f x x =+，则1()2f x x
=+，所以()f x 的解析式为1()2f x x
=+，0,1x x ≠≠.（2）(1,3)x ∈，2221()()22(2)22g x x f x m mx mx x m x
-<-+⇔--+<-+，即22(2)22m x x x x -+<++，于是得22222x x m x x ++<-+，令2222(),132
x x h x x x x ++=<<-+，依题意，(1,3)x ∈，()m h x <有解，当(1,3)x ∈时，222223()22323()22222222[()][()]23333
x x x x h x x x x x x x -++-==+=+-+-+-+--+
+322316219(2333x x =+≤+-++-，当且仅当16292
33
x x -=-，即2x =时取等号，
因此当2x =时，max ()(2)3h x h ==，则3m <，所以m 的取值范围是3m <．。