九年级数学一元二次方程与实际问题题型归纳

九年级数学一元二次方程与实际问题题型
归纳
实际问题与一元二次方程题型归纳总结
一、列一元二次方程解应用题的一般步骤：
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似，可归纳为七个步骤：“审、找、设、列、解、验、答”。

1）审：审清题意，弄清已知量与未知量；
2）找：找出等量关系；
3）设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；
4）列：列出一元二次方程；
5）解：求出所列方程的解；
6）验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；
7）答：作答。

二、典型题型
1.数字问题
例1：有两个连续整数，它们的平方和为25，求这两个数。

例2：有一个两位数，它的个位上的数字与十位上的数字
的和是6，如果把它的个位上的数字与十位上的数字调换位置，所得的两位数乘以原来的两位数所得的积就等于1008，求调
换位置后得到的两位数。

练：
1、两个连续的整数的积是156，求这两个数。

2、一个两位数等于它个位上数字的平方，个位上的数字比十位上的数字大3，则这个两位数为（）
A。

25.B。

36.C。

25或36.D。

-25或-36
2.传播问题
公式：(a+x)n=M，其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数。

例3：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？
例4：有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数为（）
A。

8.B。

9.C。

10.D。

11
练：有一个人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？
3.相互问题（循环、握手、互赠礼品等）问题
1.循环问题：又可分为单循环问题n(n-1)和双循环问题
n(n-1)。

例5：参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？
例6：参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？
例7：一次会上，每两个参加会议的人都相互握手一次，一共握手66，请问参加会议的人数共有多少人？
例8：生物兴趣小组的同学，将自己收集的标本向本组其
他同学各赠送1件，全组共互赠了182件，设全组有x个同学，则根据题意列出的方程是（）
A。

x(x-1)=364.B。

x(x-1)=182.C。

x(x+1)=364.D。

x(x+1)=182
1.甲A联赛中共有n个队参加比赛，则比赛场数为
C(n,2)*2=110，化简得n^2-n-55=0，解得n=11.
2.假设参加聚会的人数为n，则握手次数为C(n,2)=n*(n-
1)/2=15，化简得n=6.
3.假设参加晚会的人数为n，则照片数为C(n,2)=n*(n-
1)/2=90，化简得n=11.
4.例7：设2月份的价格为p元，则(1-0.1)p*1.02=64.8，
解得p=60，平均增长率为(64.8-60)/60*2=8%。

例8：设每次降价的百分率为x，则200*(1-x)^2=128，解
得x=20%。

练1：十月份的销售额为200*(1-0.2)=160万元，两个月
的销售额增长率为(193.6-160)/160*2=21%。

练2：设每次倒出溶液的升数为x，则20-x+(20-x)*x/20=5，解得x=10升。

练3：设年利润平均增长率为x，则300*(1+x)^2=507，
解得x=13.5%。

练4：设1月份的销售额为a万元，则(4.5-a)/2a=W，解
得W=150%。

练5：设每个月生产成本的下降率为x，则400*(1-
x)^2*(1-x)^1=361，解得x=5%。

预测4月份的生产成本为
400*(1-0.05)^3=342.225万元。

6.某蛋糕产销公司拥有A品牌和B品牌两条产销线。

2015年，A品牌产销线的销售量为9.5万份，平均每份获利
1.9元。

预计未来四年，每年销售量将递减5000份，平均每份获利也将逐年递减。

为了满足市场对蛋糕的多元需求，公司在2014年底投入了10.89万元资金，新增了一条B品牌产销线。

2015年，B品牌产销线的销售量为1.8万份，平均每份获利3元。

预计未来四年，每年销售量将递增相同的份数，平均每份获利将逐年递增上述递减百分数的2倍。

根据以上数据，2016年A、B两品牌产销线的销售量总和将达到11.4万份，而B
品牌产销线2017年的销售获利将恰好等于当初的投入资金数。

现在，需要求出A品牌产销线2018年的销售量，以及B品牌
产销线2016年平均每份获利增长的百分数。

7.某地为做好“精准扶贫”，在2015年投入了1280万元资
金用于异地安置，并规划逐年增加投入资金。

到了2017年，
该地在2015年的基础上增加了1600万元投入资金。

现在需要求出以下两个问题的答案：（1）从2015年到2017年，该地
投入异地安置资金的年平均增长率是多少？（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励。

规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元。

按租房400天计算，需要求出2017年该地至少有多少户可以享受到优先搬迁
租房奖励。

5.某商店购进一种商品，进价为30元。

根据试销情况，
每天的销售量P（件）与每件的销售价X（元）满足关系：
P=100-2X。

如果商店每天销售这种商品要获得200元的利润，需要求出每件商品的售价应该定为多少元，以及每天需要售出多少件商品。

1.XXX代销某工厂的建筑材料，当售价为260元/吨时，
月销售量为45吨。

为提高经营利润，经销店准备采取降价促
销的方式。

市场调查发现，每当售价下降10元/吨，月销售量
就会增加7.5吨。

每售出1吨建筑材料需要支付厂家及其他费
用100元。

现在问题如下：
1）当售价为240元/吨时，月销售量是多少？
2）在遵循“薄利多销”的原则下，售价应为多少元/吨时，
可以实现月利润为9000元？
3）XXX认为当月利润最大时，月销售额也最大，你认为
对吗？请说明理由。

2.某水果批发商场经销一种高档水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克。

市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠。

那么每千克应涨价多少元？
3.某商店原来平均每天可销售某种商品160件，每件盈利30元。

为了减少库存，经市场调查，这种商品每件降价1元，每天可多售出10件。

若要平均每天盈利5200元，则每件商品应降价多少元？设每件商品降价x元，则所列方程是（）
A.（160+x）（30+x）=5200
B.（160+10x）（30-x）=5200
C.（160+10x）（30+x）=5200
D.（160+x）（30+10x）=5200
4.某商店以每件16元的价格购进一批商品，物价局规定，每件商品的利润不得超过30%。

若每件商品售价定为x元，
则可卖出（170-5x）件。

商店预期要盈利280元，那么每件商
品的售价应定为（）
A。

20元
B。

20.8元
C。

20元或30元
D。

30元
5.某商店销售一种商品，每件成本为30元，售价为x元，市场调研得知售价每上涨1元，销售量将减少10件，可销售150件。

设售价上涨x元，商店盈利为1560元。

根据题意，
可列方程为：(x-40)×10=1560，解得x=46.因此，售价上涨16
元时，该商店可盈利1560元。

6.某游乐园进行市场调研，价每增加1元，售出的门票就
减少30张。

要使门票总收入达到元，应该定价为多少元？设
票价为x元，可列方程为：(30-x)×1200=，解得x=22.5.因此，票价应该定为23元。

7.某商店以20元/千克的单价新进一批商品，销售量y
（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示。

要使销售利润达到800元，销售单价应定为每千克60元。

8.某花圃用花盆培育某种花苗，每盆植入3株时，平均单
株盈利为3元；每盆每增加1株，平均单株盈利就减少0.5元。

要使每盆的盈利达到10元，每盆应该植4株。

9.天山旅行社推出了如图所示的收费标准。

某单位支付给
旅行社旅游费用元，共有90名员工去旅游。

10.某青年旅社有60间客房供游客居住，客房定价为x元。

当x=200时，所有客房都可以住满。

每提高10元，就会有1
间客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/天的维护费用。

填表如下：
定价x | 空闲客房数 | 总收入 | 维护费用 | 净收入 |
200.| 0.| | 0.| |
210.| 1.| | 120.| |
220.| 2.| | 240.| |
230.| 3.| | 360.| |
240.| 4.| | 480.| |
250.| 5.| | 600.| |
若该青年旅社希望每天净收入为元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为250元。

11.某果农今年收获樱桃和枇杷共400千克，其中枇杷的
产量不超过樱桃产量的7倍。

设樱桃产量为x千克，则枇杷产量不超过7x千克。

因此，x+7x≤400，解得x≤50.因此，该果
农今年至少收获樱桃50千克。

2.该果农今年销售的樱桃和枇杷的总金额与去年相同。

去
年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克。

今
年樱桃的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同。

去年枇杷的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克。

今年枇杷的市场销售量比去年增加了2m%，但销售均价比去
年减少了m%。

求m的值。

12.某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车。

每售出1
辆汽车，所有售出的汽车的进价降低0.1万元/辆。

若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元。

月底厂家根据销
售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内（含10辆），每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元。

1）该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为26万元。

2）如果汽车的售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利
12万元，则需要售出16辆汽车。

18.某科技公司研发出一种新型高科技设备，每台设备成
本价为30万元。

经过市场调研，发现每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台。

设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系。

1）y = -10x + 1000
2）设备的销售单价不得高于70万元。

该公司想获得
10,000万元的年利润，则该设备的销售单价应为63万元。

6.形积问题
例11、在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽
的三条路（两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直），把这块耕地分成大小相等的六块试验田。

要使试验田的面积是570平方米，道路应该宽2米。

例12、一张长方形铁皮，四个角各剪去一个边长为4cm
的小正方形，再折起来做成一个无盖的小盒子。

已知铁皮的长是宽的2倍，做成的小盒子的容积1536cm³，长方形铁皮的长
为24cm，宽为16cm。

1.解方程C.x（10－x）＝6和D.x（10－2x）＝6，其中x
为正整数。

2.一块正方形空地被划分成绿化区和剩余的矩形空地，其
中矩形空地的面积为20平方米，一边减少了2米，另一边减
少了3米。

求原正方形空地的边长。

3.一块矩形菜地的面积是120平方米，如果将其长减少2米，菜地就变成正方形。

求原菜地的长。

4.一块邻边不等的矩形花圃ABCD，其中AD利用已有的
围墙，另外三边所围的栅栏的总长度为6米。

若矩形的面积为
4平方米，则求AB的长度。

5.利用一面墙建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400
平方米的三个大小相同的矩形羊圈。

墙长为25米，求羊圈的
边长AB。

6.在一块长30米，宽20米的长方形空地中建造矩形花园，要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草。

已知种植花草的面积为532平方米，求小道进出口的宽度。

7.利用直角墙角建造矩形花园，用28米长的篱笆围成。

花园面积为192平方米，求直角墙角的一边的长度。

8.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙，中间用一
道墙隔开，并在三处各留1米宽的门。

已知计划中的材料可建墙体总长为27米，求能建成的饲养室面积最大为多少平方米。

1.已知一个直角三角形的两条直角边的和是14cm，面积
是24cm²，求两条直角边的长分别是多少？
2.为了绿化学校，需要在操场上移植草皮。

已知矩形操场
的长比宽多14米，面积是3200平方米。

求操场的长和宽分别是多少米？
3.在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开
始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。

如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动。

求：
1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm²？
2）△PBQ的面积会等于10cm²吗？如果会，请求出此时
的运动时间。

如果不会，请说明理由。

4.在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm。

动点P从点A出发沿边AB向点B移动，过点P作PQ∥AC，PR∥BC。

当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于
16cm²。

1.已知一个直角三角形的两条直角边的和为14cm，面积
为24cm²，求这两条直角边分别是多少？
2.为了美化学校，需要在操场上移植草皮。

已知矩形操场
的长比宽多14米，面积为3200平方米。

求操场的长和宽分别是多少米？
3.在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm。

点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开
始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。

如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动。

求：
1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm²？
2）△PBQ的面积会等于10cm²吗？如果会，请求出此时
的运动时间。

如果不会，请说明理由。

4.在等腰直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm。

动点P从点A出发沿边AB向点B移动，过点P作PQ∥AC，PR∥BC。

当AP=4cm时，平行四边形PQCR的面积等于
16cm²。

5.在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm。

点P从A出发沿AB以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止。

同时，
点Q从点C出发沿CD以2cm/s的速度向点D移动。

经过多
长时间P、Q两点的距离是10cm？
6.在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm。

点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动。

同时，点Q从点B
出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。

经过t秒后△PDQ
的面积等于28cm²，则t的值为（）
7.如图是由三个边长分别为6、9、x的正方形所组成的图形。

若直线AB将它分成面积相等的两部分，则x的值是（）
8.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=10cm。

点P从A
出发沿射线AB以1cm/s的速度作直线运动，点Q从C出发沿边BC的延长线以2cm/s的速度作直线运动。

如果P、Q分别
从A、C同时出发，经过多少秒，△PCQ的面积为24cm²？
9.如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm。

点P从点A出发沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，点Q
从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动。

1）如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PBQ的面积
等于8cm²？
2）点P、Q在移动过程中，是否存在某一时刻，使得
△PBQ的面积等于△ABC的面积的一半？若存在，求出移动
时间；若不存在，说明理由。

10.如图，正方形ABCD的边长为10cm。

点P从点A开
始沿折线A→D→C以2cm/s的速度移动，点Q从点D开始沿DC边以1cm/s的速度移动。

如果点P、Q分别从A、D同时
出发，当其中一点到达点C时，另一点也随之停止运动。

设
运动时间为t（s）。

1）t为何值时，△PQB为直角三角形？
2）t为何值时，△PQB的面积为正方形ABCD面积的1/4？
11.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F分别是BC、CD上的点，且△AEF是等边三角形，则BE的长度为（）。

A。

2-3
B。

2+3
C。

2+5
D。

5-2
12.某校为了培养青少年的科技创新能力，举办了动漫制
作活动。

XXX设计了一个做圆周运动的雏形，如图所示。

甲、乙两点从直径的两端点A、B出发，分别以顺时针、逆时针的
方向沿着圆周运动。

甲运动的路程l（cm）与时间t（s）满足
关系：l＝t²＋t（t≥0），乙以4 cm/s的速度匀速运动，半圆的
长度为21 cm。

1）求甲运动4 s后的路程。

2）求甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多
长时间？
3）求甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多
长时间？
19.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C＝90°，AB＝6cm，CD＝10cm，AD＝5cm。

动点P、Q分别从点A、
C同时出发，点P以2cm/s的速度向点B移动，点Q以1cm/s
的速度向点D移动，当一个动点到达终点时另一个动点也随
之停止运动。

1）经过几秒钟，点P、Q之间的距离为5cm？
2）连接PD，是否存在某一时刻，使得PD恰好平分
∠APQ？若存在，求出此时的移动时间；若不存在，请说明理由。

作业题：
1.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件。

求该小组共有多少名同学？
2.要组织一场篮球联赛，赛制为单循环形式，即每两队之间都要比一场。

计划安排28场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？
3.国家为了加强对香烟产销的宏观管理，对销售香烟实行征收附加税政策。

现在知道某种品牌的香烟每条的市场价格为70元，不加收附加税时，每年产销100万条。

若国家征收附加税，每销售100元征税x元（叫做税率x%），则每年的产销量将减少10x万条。

要使每年对此项经营所收取附加税金为168万元，并使香烟的产销量得到宏观控制，年产销量不超过50万条。

问税率应确定为多少？国家征收的附加税金总额=香烟的销售额（即单价×销售量）×征收的税率。

4.XXX在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元。

为了迎接“十一”国庆节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。

经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件。

要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装因应降价多少元？。