量子力学第二章

ˆ F r r
ˆ 就称 r 为算符 F 相应本征值 的本征函数
2、本征方程的解 简并
（1）分离解：
ˆ F 本征值 本征函数


1 2


1
2

2、连续解
ˆ F



3、简并、非简并 非简并：一个本征值 m 对应一个本征函数
例题（1 p x是否是厄米算符？(x , 0, 0) ：）ˆ
(全微分

d ( * ) *
*
x
dx (
x
)* dx )
ˆ dx * ( i d ) dx Px dx i d ( * ) ( i ) ( i ( * ) (i x
z
2 2
2 ma
2
(1,2,1)
6 2 E111
121
8 a
3
sin

a
2 a
y sin

a
z
(2,1,1)
当能量次低时，发生3重简并
211
8 a
3
sin
2 a
x sin

a
y sin

a
z
例： 绕定轴转动的刚体称为平面转子，假设其转动惯量 用 I 表示，转角用 表示，则其哈密顿算符表示为 ，试求算符 的本征值和本征函数。
4、算符对易
BA ˆˆ ˆˆ AB ˆˆ BA ˆ ˆ A、 B对易 ˆ ˆ A、 B不对易
5、单位算符
ˆ I
例题: （ ） F d , 1 ˆ
dx
ˆ G x 是否对易？
d d d dx , x ( x ) dx [ x ( x )] x dx ( x ) d ( x ) d ( x ) ( x) x x dx dx ( x) d dx , x 1 0 ˆ ˆ F , G不对易
d


d
必为实数
n d

(2) 厄米算符的正交归一性 ① 属于不同本征值的本征函数彼此正交
m
证明：
ˆ F m 有：
m
m
n
n n
满足正交性


n
m

d 0
m
ˆ F n n
m
ˆ ( n , F m ) ( n ,
m
m
m
简并：一个本征值 m对应多个本征函数，本征 函数个数称为简并度。

m
m1 m 2 mf
f 重简并
如果本征值为能量，简并就意味着不同状态具 有相同的能量。
m1 状态1 m 2 状态 2 Em ms 状态 s
dx d ( x )
[ x ( x )] d ( x ) dx ]
dx i ( x ) ˆˆ ˆ ˆ xp x p x x i 0
i [ ( x ) x
3 本征值与本征函数
1、本征方程、本征值、本征函数 ˆ 算符 F 和函数 r 、常数 如果满足方程

x
)* dx
i (
x
)* dx
)* dx
ˆ ( Px )* dx ˆ Px 是厄米算符
ˆ = 是否是厄米算符？ , 0, 0) (x （2） A x
全微分： d ( ) dx
*
ˆ 代替 p , 用 r 代替 r 而得到。
ˆ 1、位移算符 r ˆ 2、动量算符 p i2 p 3、动能算符 T
2 ˆ p2 2 ˆ T 1 2
ˆ rr d ˆ p x i dx
i
2
2 2
2
4、能量算符 E T V
ˆ ˆ ˆ H T V
第 二章
2.1 力学量和算符
算符：某种运算符号
算符
ˆ Fu v
注意：算符后一定跟函数，即算符作用于函数，单个 算符无意义。
2.1.1 力学量算符
力学量算符：经典力学中的力学量在量子力学中有
对应的算符。
对于每一个力学量F ( r , p )，对应着一个
ˆ 量子力学量算符 F r ,i ，它是用 i
简并度为 s
例：三维无限深立方势阱
(n1,n2,n3) (1,1,1) 能量
E111
波函数
3
2 2
2 ma 2
111
8 a
3
sin

a
x sin

a
y sin

a
z
(1,1,2)
E
112
8 a
3
sin

a
x sin x sin

a
y sin
2 a
n
n
r
cn n d ( n (r ), ( r ))

连续谱时
( r ) c ( r ) dr , c ( r )* ( r ) d ( ( r ), ( r ))
2.3 力学量的测量及其几率 1、基本假设： 量子力学中的力学量算符都是线性厄米算符。 它们的本征函数组成完备系，体系所处的任 意状态 r 都可以表示为这些本征函数的线 性组合。 r c n n r
n
此时，在任意状态 r 下，测量力学量 F 所得 ˆ 数值，必定是 F 算符的本征值之一，测得 2 F n 的几率为 c n
( c n n d )
例题：一个谐振子系统处于归一化波函数 ( x ) 所描述的状态：
( x)
1 2 u0 ( x ) 1 2 u1 ( x ) c3u3 ( x )
有

m

m
d 1
正交归一性 1 mn 0

m

n
d
mn
m n 归一性 mn 正交性
(3)厄米算符本征函数的完备性 完备系：任何一个波函数都可向本征函数系 n 展开 ，即任何一个波函数都可以表示成本征 函数的线性组合。
r cn
解：
的本征方程为
令 ，
方程的解为
( ) Ae i Be i

根据波函数的单值性 得 e i 2 1
波函数为 ( ) Ae im Be im
逆时针转动 顺时针转动
im
本征函数为: ( ) Ae 由 本征值为:
α可取正负
2.2 力学量算符的特征
2.2.1 线性算符
ˆ F c1 1 c2 ˆ c1 F 1 2 ˆ c2 F
2
由于态叠加原理的要求，量子力学 中力学量的算符都是线性算符。
2.2.2 厄密算符
1、标积
( , )
全空间

d

( , ) * d 0 ( , )* ( , ) ( , c11 c2 2 ) c1 ( , 1 ) c2 ( , 2 )
ˆ ˆ AB
ˆ ˆ ˆ A B C
3、算符相乘
有 幂
AB ˆˆ ˆ C ˆˆ ˆ AA A 2

ˆ ˆˆ C AB
ˆˆ ˆ ˆ AB A B

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ A，B AB BA 0 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ A，B AB BA 0
dx (

x
)* dx
x
不是厄米算符
3、厄米算符的本征值与本征函数
(1) 厄米算符的本征值必为实数
ˆ A
if ˆ A为厄米算符，满足

n
ˆ A
n
n
ˆ d A
n

n


n
d

n

n
n
d
n

n
（2）计算
ˆˆ ˆ ˆ xp x p x x ?
d ) ( x ) ( i ] i d dx d dx ˆ ) x ( x )
ˆˆ ˆ ˆ ˆ （ xp x p x x） ( x ) x ( i ˆ x[ i ix
dx d ( x )
5、角动量算符
2 2
2 V r
Lrp
2 2 x 2 y
ˆ ˆ ˆ L r p
2 z
L L L L
ˆ2 L2 L2 L2 ˆ ˆ ˆ L x y z
2.1.2 算符的性质
1、算符相等 ˆ ˆ A B
2、算符相加
有 ˆ A B ˆ ˆ C
m ) m ( n , m )
由厄米算符定义和本征值是实数的特点 有 ˆ ˆ ( n , F m )=( F n , m )=( n n, m )= n ( n, m ) ( m - n )( n , m ) 0 m ( n , m )= n ( n , m )，
* x

dx


*
x
dx
解：


*
x
dx





d ( * ) dx
*
* x
dx

( ) (




(
x
)* dx
x
)* dx

*


x
* * ( c1 1 c2 2 , ) c1 ( 1 , ) c2 ( 2 , )
2、厄密算符

满足等式 或

ˆ ˆ F d F




d
ˆ ˆ （ ，F）=(F , )
ˆ F 是厄米算符
力学量的算符都是线性厄米算符
u 其中，n ( x ) 是谐振子的量子数为n 的本征函 数，试求： c （1） 3 ? （2）写出t 时刻的 ( x, t ) ； （3）能量的可能取值及可能取值的几率。
解： （1） 1 2 ( ) (
2
1 2
2 ) 2 c3 1
可以得到 c 3
1 2 u1 ( x ) e
i E1t
m n,
( n , m ) 0, 即 n 和 m 正交
② 属于同一本征值的本征函数彼此正交

m
m1 m 2 m i m j
有

mi

mj
d 0
③ 归一性 ˆ 如果 F 的本征函数归一化
1 1 ( )2 2 4
2、力学量的平均值公式
F
或

ˆ r , t F r , t d
cn
2
2
F
n
（本征值是分离值）
F c d
（本征值连续）
例题：质量为 的粒子在宽度为 a的一维无限深势阱（0 x a ) 中运动，其状态由波函数 x A sin
( x ) 是u 0 ( x ) 、 ( x ) u1
，
( n 1 / 2)
、 3 ( x) u 这三个本征态的线性叠加，能量的可能取值为：
E 0 / 2
E1 3 / 2
几率： 几率： 几率：
1 1 ( )2 2 4
(
1 2
)2
1 2
E 3 7 / 2

a a （1)归一化常数 A；（2）粒子能量的可能值及相应的几率；
x cos
2

x描述，求：
（3）能量平均值。
解：

2
dx A sin
0
a
x
a
cos
2
x
a
2
dx 1
A 4/ a
一维无限深势阱中，能量的本征值和本征函数为
En n 2 2 2 2 a 2
2 n x sin n ( x) a a 0
0 xa x 0, x a
将波函数 ( x )向能量的本征函数系展开为
1 2
i E3 t
(2) ( x )
1 2 1 2
，
u0 ( x )e u0 ( x )e
i E0 t


1 2
u3 ( x )e 1 2

i1 t 2
1 2
u1 ( x )e

i3 t 2

u3 ( x )e

i7 t 2
（3）谐振子的量子数取n 的本征态的能量为 E n