甘肃省张掖市高三数学上学期10月月考试题 理 (奥班)新人教A版

高三数学（理科奥班）
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题：本大题共12小题（每小题5分，共60分。

）四个选项中只有一项符合要求。

1
．函数y =
的定义域为 （ ）
A ． [4,1]-
B ．[4,0)-
C ． (0,1]
D ．[4,0)
(0,1]-
2．函数y=x x 4
4
sin cos -的最小正周期是 （ ） A ．
2
π
B ．π
C ．2π
D ．4π
3．已知向量(2,1)a =，10a b ⋅=，52a b +=，则b = （
） A
B
C ．5
D ．25
4．设变量x y ，满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≥+-≥-3311
y x y x y x 则目标函数4z x y =+的最大值为（ ）
A ．4
B ．11
C ．12
D ．14
5．设函数()sin()cos()(0,)2
f x x x π
ωϕωϕωϕ=+++><
的最小正周期为π，且
()()f x f x -=，则（ ）
A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减
B ．()f x 在3,44ππ
⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减 C ．()f x 在0,
2π⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
单调递增 6．已知数列{n a }满足)(log log 1133++∈=+N n a a n n ，且2469a a a ++=，则
15793
log ()a a a ++的值是 （ ）
A ．
1
5
B ．15
-
C ．5-
D ．5
7．若曲线2
1-=x y 在点),(2
1-a a 处的切线与两个坐标围成的三角形的面积为18，则
a =( )
A ．64
B ．32
C ．16
D ．8
8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2
110m m m a a a -++-=，2138m S -=,则m = ( )
A ．38
B ．20
C ．10
D ．9
9．已知函数()f x 满足：x≥4,则()f x ＝1
()2
x
；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)
f +＝ A ．
1
24
B ．
112 C ．18 D ．38
10．已知i ，j 为互相垂直的单位向量，向量2a i j =+，b i j =+，且a 与a b λ+的夹角
为锐
角，则实数λ的取值范围是（ ） A ．),0()0,35
(+∞- B ．),3
5(+∞- C ．),0()0,35
[+∞- D ．)0,3
5(-
11．下列命题中，真命题的个数为( )
（1）在ABC ∆中，若B A >，则B A sin sin >；
（2）已知)1,2(),4,3(--==，则AB 在CD 上的投影为2-；
（3）已知1cos ,:=∈∃x R x p ，01,:2
>+-∈∀x x R x q ，则“q p ⌝∧”为假命题； （4）已知函数2)6
sin()(-π
+ω=x x f )0(>ω的导函数的最大值为3，
则函数)(x f 的图
象关于3
π
=x 对称． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12．函数)(x f y =为定义在R 上的减函数，函数)1(-=x f y 的图像关于点（1,0）对称，
,x y
满足不等式0)2()2(2
2
≤-+-y y f x x f ，(1,2),(,)M N x y ，O 为坐标原点，则当
41≤≤x 时，OM ON ⋅的取值范围为( )
A ．[12,)+∞
B ．[0,3]
C ．[3,12]
D ．[]0,12
第II 卷(共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知数列{n a }的首项1a ＝2，231+=+n n a a ，数列{n a }通项公式为n a = ．.
14．已知），（），（），，（0--1,2-1b OC a OB OA ===→
→
→
（其中0,0>>b a ，O 是坐标原点）,若A 、
B 、
C 三点共线，则
b
a 2
1+的最小值为 . 15．已知数列{}n a 满足111,22,n
n n a a a +==+则数列{}n a 的前n 项和n s = .
16．已知函数2
1212(),,[1,1],|()()|x f x e x x x x f x f x k =+-∈--≤若对任意恒成立，则
k 的
取值范围为 。

三、解答题：（本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17．（本小题满分12分）设2()6cos 2f x x x =．
（Ⅰ）求()f x 的最大值及最小正周期；
（Ⅱ）若锐角α满足()3f α=-α的值．
18．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．
（Ⅰ）证明数列{}n a n -是等比数列； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．
（Ⅲ）证明对任意n ∈*
N ，不等式14n n S S +≤成立．
19．(本小题满分12分)
在ABC ∆中，角,,A B C 所对的三边分别为,,a b c 成等比数列，且3
cos 4
B =
． （1）求
11
tan tan A C
+
的值；
（2）设3
2
BA BC ⋅=，求a c +的值．
20．(本小题满分12分)
已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点),
(n S n n 在直线2
11
21+=x y 上.数列{b n }满足 11),(023*12=∈=+-++b N n b b b n n n 且，前9项和为153.
（Ⅰ）求数列{a n }、{b n }的通项公式； （Ⅱ）设)12)(112(3--=n n n b a c ，数列{c n }的前n 和为T n ，求使不等式57
k T n >对一
切
*N n ∈都成立的最大正整数k 的值.
21．(本小题满分12分) 函数()ln f x x =，)()()(x f x f x g '+=． （Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值； （Ⅱ）讨论()g x 与1
()g x
的大小关系； （Ⅲ）是否存在00x >，使得01
|()()|g x g x x
-<
对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值
范围；若不存在，请说明理由．
选做题：请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

22．选修4－4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同．直线l 的极坐标方程为：)
4
sin(210π
θρ-=
,点(2cos ,2sin 2)P αα+，参数
[]0,2απ∈．
（Ⅰ）求点P 轨迹的直角坐标方程； （Ⅱ）求点P 到直线l 距离的最大值．
23．选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分）
设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

（Ⅰ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集； （Ⅱ）若不等式()0f x ≤的解集为{}|1
x x ≤- ，求a 的值。

张掖二中2012—2013学年度高三月考试卷(10月)
高三数学（理科奥班）答案
一、选择题：
1. D
2.B
3. C
4. B
5. A
6. C
7. A
8. C
9. A 10. A 11. B 12. D 二、填空题：
13. 31n
- 14. 8 15. (1)21n
n -+ 16. [1,)e -+∞
三、解答题：
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）1cos 2()6
22
x
f x x +=-
3cos 223x x =+
1
cos 2sin 2322x x ⎫=-+⎪⎪⎭
236x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭．
故()f x 的最大值为3； 最小正周期22
T π
=
=π． …………6分
（Ⅱ）由()3f α=-2336απ⎛⎫++=- ⎪⎝⎭cos 216απ⎛⎫+=- ⎪⎝
⎭ 又由02απ<<得2666απππ<+<π+，故26απ+=π，解得5
12
α=π． (12)
分
18. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得
1(1)4()n n a n a n +-+=-，n ∈*N ．
又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列．…………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为1
4n n a n -=+．
所以数列{}n a 的前n 项和41(1)
32
n n n n S -+=+．…………8分 （Ⅲ）证明：对任意的n ∈*
N ，
1141(1)(2)41(1)44323
2n n n n n n n n S S ++⎛⎫-++-+-=+-+ ⎪
⎝⎭2
1(34)02n n =-+-≤． 所以不等式14n n S S +≤，对任意n ∈*
N 皆成立．…………12分
19. （本小题满分12分）
解：（1）由,4
7
)43(1sin ,43cos 2=-==
B B 得…………2分 因为,,a b c 成等比数列，所以2b ac =．则2sin sin sin B A
C =．则
2
11cos cos sin cos cos sin sin()1tan tan sin sin sin sin sin sin A C C A C A A C A C A C A C B B +++=+====
或者由3
cos 4
B =，得到sin 4B =．…………6分
（2）因为3
2
BA BC ⋅=，由向量数量积公式，得3cos 2ac B =．
23
cos ,2, 2.4
B ca b ===由可得即…………8分
由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，所以224cos 2a c B +-=．则225a c += (10)
分
所以2
22()
2549a c a c ac +=++=+=．因此3a c +=．…………12分
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意，得.2
11
21,211212n n S n n S n n +=+=即 故当2≥n 时，.5)]1(2
11)1(21[)21121(2
21+=-+--+=-=-n n n n n S S a n n n
当n = 1时，611==S a ，而当n = 1时，n + 5 = 6，所以，).(5*
N n n a n ∈+= (3)
分
又)(,02*
11212N n b b b b b b b n n n n n n n ∈-=-=+-+++++即，
所以{b n }为等差数列，于是.1532)
(973=+b b 而.33
711
23,23,1173=--===d b b 故
因此，).(23,23)3(3*
3N n n b n n b b n n ∈+=+=-+=即 …………6分
（Ⅱ）]
1)23(2][11)5(2[3
)12)(112(3-+-+=--=
n n b a c n n n
).1
21
121(21)12)(12(1+--=+-=
n n n n
所以，)]1
21
121()7151()5131()311[(2121+--++-+-+-=+++=n n c c c T n n .1
2)1211(21+=+-=
n n
n …………8分
由于0)
12)(32(1
123211>++=+-++=
-+n n n n n n T T n n ，
因此T n 单调递增，故.3
1
)(min =n T ………………10分 令
.18,19,57
31max =<>K k k
所以得 ………………12分 21．（本小题满分12分）
（1）∵1
()f x x
'=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），又∵(1)0f =，所以ln10c +=，即0c =，
∴()ln f x x =；1()ln g x x x =+
，∴21()x g x x -'=，令()0g x '=，即21
0x x
-=，解得1x =，
因为x ＞0，所以()h x ＜0，'2
2()x
f x x =-
＜0， 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，故区间在(0,1)是函数()g x 的减区间； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 是增函数，故区间在(1,)+∞是函数()g x 的增区间； 所以1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点， 所以()g x 的最小值是(1)1g =．…………4分
（2）1()ln g x x x =-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x
=-=-+，则22
(1)()x h x x -'=-， 当1x =时，(1)0h =，即1
()()g x g x
=，当(0,1)(1,)x ∈+∞时，()0h x '<，(1)0h '=，
因此函数()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)h x h >=0，
∴1
()()g x g x
>； 当1x >时，()(1)h x h <=0，∴1
()()g x g x
<．…………8分
（3）满足条件的0x 不存在．证明如下：
证法一 假设存在00x >，使01
|()()|g x g x x
-<对任意0x >成立， 即对任意0x >有02
ln ()ln x g x x x
<<+
① 但对上述的0x ，取0()
1g x x e =时，有10ln ()x g x =，这与①左边的不等式矛盾， 因此不存在00x >，使01
|()()|g x g x x
-<
对任意0x >成立． …………12分 证法二 假设存在00x >，使01
|()()|g x g x x
-<对任意0x >成立，
由（1）知，()g x 的最小值是(1)1g =，
又1
()ln ln g x x x x
=+
>，而1x >时，ln x 的值域为(0,)+∞， ∴当1x 时，()g x 的值域为[1,)+∞，
从而可以取一个值11x >，使10()
()1g x g x +，即10()()
1g x g x -,∴
101
1
|()()|1g x g x x ->
，这与假设矛盾． ∴不存在00x >，使01
|()()|g x g x x
-<对任意0x >成立 选做题： 22．（本小题满分10分）
解：(Ⅰ)2cos ,
2sin 2.
x y αα=⎧⎨
=+⎩ 且参数[]0,2απ∈，
所以点P 的轨迹方程为2
2
(2)4x y +-=． ················ 3分
(Ⅱ)因为)
4
sin(210
π
θρ-=
，所以)104π
θ-
=，
所以sin cos 10ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为100x y -+=． ·· 6分
法一：由(Ⅰ) 点P 的轨迹方程为2
2
(2)4x
y +-=，圆心为
(0,2)，半径为2.
d
=
=P 到直线l 距离的最大值2. ···
10分 法二
：
)4
4
d π
α=
+
+，当74
π
α=，
max
2d =，
即点P 到直线l 距离的最大值2. ·················· 10分 23．（本小题满分10分）
解析：（Ⅰ）当1a =时，()32f x x ≥+可化为|1|2x -≥。

由此可得 3x ≥或1x ≤-。

故不等式()32f x x ≥+的解集为{|3x x ≥或1}x ≤-。

…………5分 ( Ⅱ) 由()0f x ≤ 得 30x a x -+≤ 此不等式化为不等式组30x a x a x ≥⎧⎨
-+≤⎩ 或30
x a
a x x ≤⎧⎨-+≤⎩
即 4
x a a x ≥⎧⎪⎨≤⎪⎩ 或2x a
a x ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩ 因为0a >，所以不等式组的解集为{}|2
a
x x ≤-
由题设可得2
a
-
= 1-，故2a = …………10分。