高考数学总复习考点知识讲解与提升练习16 函数的零点与方程的解

高考数学总复习考点知识讲解与提升练习
专题16 函数的零点与方程的解
考点知识
1.理解函数的零点与方程的解的联系.
2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.
3.了解用二分法求方程的近似解．
知识梳理
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
常用结论
1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．
2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)
(2)连续函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)·f(b)<0.(×)
(3)函数y＝f(x)为R上的单调函数，则f(x)有且仅有一个零点．(×)
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点．(√)
教材改编题
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是()
答案A
解析由图象可知，B，D选项中函数无零点，A，C选项中函数有零点，C选项中函数零点两侧函数值符号相同，A选项中函数零点两侧函数值符号相反，故A选项中函数零点可以用二分法求近似值，C选项不能用二分法求零点．
2．函数y＝3
x
－ln x的零点所在区间是()
A．(3,4) B．(2,3) C．(1,2) D．(0,1) 答案B
解析因为函数的定义域为(0，＋∞)，且函数y＝3
x
在(0，＋∞)上单调递减；y＝－ln x
在(0，＋∞)上单调递减，
所以函数y＝3
x
－ln x为定义在(0，＋∞)上的连续减函数，
又当x＝2时，y＝3
2
－ln2>0；
当x＝3时，y＝1－ln3<0，两函数值异号，
所以函数y＝3
x
－ln x的零点所在区间是(2,3)．
3．函数f(x)＝e x＋3x的零点个数是() A．0B．1C．2D．3
答案B
解析由f′(x)＝e x＋3>0，所以f(x)在R上单调递增，又f(－1)＝1
e
－3<0，f(0)＝1>0，
因此函数f(x)有且只有一个零点．
题型一函数零点所在区间的判定
例1(1)函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点所在的区间是()
A．(1,2) B．(2,3)
C．(3,4) D．(4,5)
答案B
解析由题意得，f(x)＝ln x＋2x－6，在定义域内单调递增，
f(2)＝ln2＋4－6＝ln2－2<0，
f(3)＝ln3＋6－6＝ln3>0，
则f(2)f(3)<0，
∴零点在区间(2,3)上．
延伸探究用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1()
A．2B．3C．4D．5
答案C
解析∵开区间(2,3)的长度等于1，
每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，
经过n次操作后，区间长度变为1
2n ，
故有1
2n
≤0.1，解得n≥4，
∴至少需要操作4次．
(2)(2023·蚌埠模拟)已知x1＋12x＝0，x2＋log2x2＝0,3
3x-－log2x3＝0，则() A．x1<x2<x3B．x2<x1<x3
C．x1<x3<x2D．x2<x3<x1
答案A
解析设函数f (x )＝x ＋2x ，易知f (x )在R 上单调递增，
f (－1)＝－12
，f (0)＝1，即f (－1)f (0)<0， 由函数零点存在定理可知，－1<x 1<0. 设函数g (x )＝x ＋log 2x ，
易知g (x )在(0，＋∞)上单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12＝－12，g (1)＝1，
即g ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12g (1)<0，
由函数零点存在定理可知，1
2<x 2<1，
设函数h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
13x －log 2x ，
易知h (x )在(0，＋∞)上单调递减，h (1)＝1
3，h (x 3)＝0，
因为h (1)>h (x 3)， 由函数单调性可知，x 3>1， 即－1<x 1<0<x 2<1<x 3.
思维升华 确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断． 跟踪训练1(1)(多选)函数f (x )＝e x －x －2在下列哪个区间内必有零点() A ．(－2，－1) B ．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2) 答案AD
解析f(－2)＝1
e2
>0，f(－1)＝
1
e
－1<0，
f(0)＝－1<0，f(1)＝e－3<0，
f(2)＝e2－4>0，
因为f(－2)·f(－1)<0，f(1)·f(2)<0，
所以f(x)在(－2，－1)和(1,2)内存在零点．
(2)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()
A．(a，b)和(b，c)内
B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内
D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
答案A
解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a －c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c －b)>0.
所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，
即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．
题型二函数零点个数的判定
例2(1)若函数f(x)＝|x|，则函数y＝f(x)－
log|x|的零点个数是()
1
2
A．5B．4C．3D．2
答案D
解析在同一平面直角坐标系中作出f(x)＝|x|，g(x)＝
log|x|的图象如图所示，则y＝
1
2
f(x)－
log|x|的零点个数，即f(x)与g(x)图象的交点个数，由图可知选D.
1
2
(2)已知在R上的函数f(x)满足对于任意实数x都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(7＋x)＝f(7－x)，且在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，则f(x)＝0在区间[0,2023]上根的个数为()
A．404B．405C．406D．203
答案C
解析因为f(2＋x)＝f(2－x)，f(x)关于直线x＝2对称且f(5＋x)＝f(－x－1)；
因为f(7＋x)＝f(7－x)，故可得f(5＋x)＝f(－x＋9)；
故可得f(－x－1)＝f(－x＋9)，则f(x)＝f(x＋10)，
故f(x)是以10为周期的函数．
又f(x)在区间[0,7]上只有x＝1和x＝3两个零点，
根据函数对称性可知，f(x)在一个周期[0,10]内也只有两个零点，
又区间[0,2023]内包含202个周期，
故f(x)在[0,2020]上的零点个数为202×2＝404，
又f (x )在(2020,2023]上的零点个数与在(0,3]上的零点个数相同，有2个． 故f (x )在[0,2023]上有406个零点， 即f (x )＝0在区间[0,2023]上有406个根． 思维升华 求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f (x )＝0，方程有多少个解，则f (x )有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
跟踪训练2(1)(2022·泉州模拟)设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎨⎧
|lg x |，x >0，
－x 2
－2x ，x ≤0，则关
于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为() A ．3B ．7C ．5D ．6 答案B
解析根据题意，令2f 2(x )－3f (x )＋1＝0， 得f (x )＝1或f (x )＝1
2.
作出f (x )的简图如图所示，
由图象可得当f (x )＝1和f (x )＝1
2时，
分别有3个和4个交点，
故关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为7. (2)函数f (x )＝36－x 2·cos x 的零点个数为______． 答案6
解析令36－x 2≥0，解得－6≤x ≤6， ∴f (x )的定义域为[－6,6]．
令f (x )＝0得36－x 2＝0或cos x ＝0， 由36－x 2
＝0得x ＝±6， 由cos x ＝0得x ＝
π
2
＋k π，k ∈Z ， 又x ∈[－6,6]，∴x 的取值为－3π2，－π2，π2，3π2
. 故f (x )共有6个零点． 题型三函数零点的应用 命题点1根据零点个数求参数
例3(2023·黄冈模拟)函数f (x )＝⎩⎨
⎧
4－x 2
，x ≤2，
log 3(x －1)，x >2，
g (x )＝kx －3k ，若函数f (x )
与g (x )的图象有三个交点，则实数k 的取值范围为() A ．(22－6,0) B ．(23－6,0) C ．(－2,0) D ．(25－6,0) 答案D
解析作出函数f (x )＝⎩⎨
⎧
4－x 2
，x ≤2，
log 3(x －1)，x >2
的图象，如图所示，
设与y ＝4－x 2相切的直线为l ， 且切点为P (x 0,4－x 20)，
因为y ′＝－2x ，所以切线的斜率为k ＝－2x 0， 则切线方程为y －4＋x 20＝－2x 0(x －x 0)，
因为g (x )＝kx －3k 过定点(3,0)，且在切线l 上， 代入切线方程求得x 0＝3－5或x 0＝3＋5(舍去)， 所以切线的斜率为k ＝25－6，
因为函数f (x )与g (x )的图象有三个交点， 由图象知，实数k 的取值范围为(25－6,0)． 命题点2根据函数零点的范围求参数 例4(2023·北京模拟)已知函数f (x )＝3x －1＋ax
x
.若存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)
＝0，则实数a 的取值范围是() A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，43
C ．(－∞，0) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫
43，＋∞
答案B
解析由f (x )＝3x －
1＋ax
x ＝0，可得a ＝3x －1x
，
令g (x )＝3x
－1x
，其中x ∈(－∞，－1)，
由于存在x 0∈(－∞，－1)，使得f (x 0)＝0，
则实数a 的取值范围即为函数g (x )在(－∞，－1)上的值域． 由于函数y ＝3x ，y ＝－1
x
在区间(－∞，－1)上均单调递增，
所以函数g (x )在(－∞，－1)上单调递增． 当x ∈(－∞，－1)时，
g (x )＝3x －1x <g (－1)＝3－1＋1＝4
3，
又g (x )＝3x －1
x
>0，
所以函数g (x )在(－∞，－1)上的值域为⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，43.
因此实数a 的取值范围是⎝
⎛
⎭⎪⎫0，43.
思维升华 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
跟踪训练3(1)函数f (x )＝2x －2
x
－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是
()
A ．0<a <3
B ．1<a <3
C ．1<a <2
D ．a ≥2 答案A
解析因为函数y ＝2x ，y ＝－2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )＝2x
－2x
－a 在(0，
＋∞)上单调递增，
由函数f (x )＝2x －2
x
－a 的一个零点在区间(1,2)内得，f (1)×f (2)＝(2－2－a )(4－1－
a )＝(－a )×(3－a )<0，解得0<a <3.
(2)(2023·唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
ln x x ，x >0，x 2
＋2x ，x ≤0，
若g (x )＝f (x )－a 有3个
零点，则实数a 的取值范围为() A ．(－1,0) B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－1，1e
C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，1e
D.⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，1e ∪{－1}
答案B 解析设h (x )＝
ln x x
(x >0)，
则h ′(x )＝1－ln x x
2
， 令h ′(x )>0，得0<x <e ， 令h ′(x )<0，得x >e ，
所以函数h (x )在(0，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减． 所以h (x )max ＝h (e)＝1e
.
因为函数g (x )＝f (x )－a 有3个零点， 所以方程f (x )＝a 有3个解．
作出函数y ＝f (x )和y ＝a 的图象如图所示，
所以a 的取值范围为⎝
⎛
⎭⎪⎫－1，1e .
课时精练
1．(2022·焦作模拟)设函数f (x )＝2x ＋x
3的零点为x 0，则x 0所在的区间是()
A ．(－4，－2)
B ．(－2，－1)
C ．(1,2)
D ．(2,4) 答案B
解析易知f (x )在R 上单调递增且连续，f (－2)＝14－23<0，f (－1)＝12－1
3>0，所以x 0∈(－
2，－1)．
2．用二分法研究函数f (x )＝x 5＋8x 3－1的零点时，第一次经过计算得f (0)<0，f (0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为() A ．(0,0.5)，f (0.125) B ．(0,0.5)，f (0.375) C ．(0.5,1)，f (0.75) D ．(0,0.5)，f (0.25) 答案D
解析因为f (0)f (0.5)<0，
由函数零点存在定理知，零点x 0∈(0,0.5)，
根据二分法，第二次应计算f ⎝
⎛⎭⎪⎫
0＋0.52，即f (0.25)． 3．函数f (x )＝⎩⎨
⎧
x 2
－2x －3，x ≤0，
log 2x －3x ＋4，x >0的零点个数为()
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案C
解析当x ≤0时，令f (x )＝x 2－2x －3＝0， 得x ＝－1(x ＝3舍去)，
当x >0时，令f (x )＝0，得log 2x ＝3x －4， 作出y ＝log 2x 与y ＝3x －4的图象，如图所示，
由图可知，y ＝log 2x 与y ＝3x －4有两个交点， 所以当x >0时，f (x )＝0有两个零点， 综上，f (x )有3个零点．
4．已知函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1
x
＋m 在区间(1,3]上有零点，则实数m 的取值范围为()
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－53，0
B.⎝ ⎛
⎭⎪⎫－∞，－53∪(0，＋∞)
C.⎝
⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪(0，＋∞) D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫
－53，0 答案D
解析由于函数y ＝log 2(x ＋1)，y ＝m －1
x
在区间(1,3]上单调递增，
所以函数f (x )在(1,3]上单调递增，
由于函数f (x )＝log 2(x ＋1)－1
x
＋m 在区间(1,3]上有零点，
则⎩⎨
⎧
f (1)<0，f (3)≥0，
即⎩⎨⎧
m <0，m ＋5
3≥0，
解得－5
3
≤m <0.
因此，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫
－53，0.
5．已知函数f (x )＝⎩⎨
⎧
2－x
，x <0，
1＋|x －1|，x ≥0，
若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数
m 的取值范围是()
A ．(1,2]
B ．(1,2)
C ．(0,1)
D ．[1，＋∞) 答案A
解析因为函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，
所以函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点， 作出函数f (x )的图象，如图所示，
由图可知，1<m ≤2，即m 的取值范围是(1,2]．
6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，
x 2，x 3，则()
A ．x 1<x 2<x 3
B ．x 2<x 1<x 3
C ．x 2<x 3<x 1
D ．x 3<x 1<x 2 答案C
解析函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x ，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点，即为y ＝x 与
y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的交点的横坐标，
作出y ＝x 与y ＝x (x >0)，y ＝－e x ，y ＝－ln x (x >0)的图象，如图所示．
可知x 2<x 3<x 1.
7．(多选)函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝k 的交点个数可能是()
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6 答案ABC 解析由题意知，
f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]， f (x )＝⎩⎨
⎧
3sin x ，x ∈[0，π]，－sin x ，x ∈(π，2π]，
在坐标系中画出函数f (x )的图象如图所示．
由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
8．(多选)(2023·南京模拟)在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是()
A．f(x)＝2x＋x B．f(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝
1
2
x＋1 D．f(x)＝|log2x|－1
答案BCD
解析选项A，若f(x0)＝x0，则02x＝0，该方程无解，故该函数不是“不动点”函数；
选项B，若f(x0)＝x0，则x20－2x0－3＝0，
解得x0＝3或x0＝－1，故该函数是“不动点”函数；
选项C，若f(x0)＝x0，则
1
2
x＋1＝x0，
可得x20－3x0＋1＝0，且x0≥1，
解得x0＝3＋5
2
，故该函数是“不动点”函数；
选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，
即|log
2x
|＝x0＋1，
作出y ＝|log 2x |与y ＝x ＋1的函数图象，如图，
由图可知，方程|log 2x |＝x ＋1有实数根x 0， 即存在x 0，使|log 2x 0|－1＝x 0， 故该函数是“不动点”函数．
9．已知指数函数为f (x )＝4x ，则函数y ＝f (x )－2x ＋1的零点为________． 答案1
解析由f (x )－2x ＋1＝4x －2x ＋1＝0，得2x (2x －2)＝0，x ＝1.
10．(2023·苏州质检)函数f (x )满足以下条件：①f (x )的定义域为R ，其图象是一条连续不断的曲线；②∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )；③当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2
>0；
④f (x )恰有两个零点，请写出函数f (x )的一个解析式________． 答案f (x )＝x 2－1 (答案不唯一)
解析因为∀x ∈R ，f (x )＝f (－x )，所以f (x )是偶函数，
因为当x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2时，f (x 1)－f (x 2)
x 1－x 2>0，
所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 因为f (x )恰有两个零点，
所以f (x )图象与x 轴只有2个交点，
所以函数f (x )的一个解析式可以为f (x )＝x 2－1(答案不唯一)． 11．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
log 2x ，x >0，
3x
，x ≤0，
且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实
根，则实数a 的取值范围是________． 答案(1，＋∞)
解析方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，即f (x )＝－x ＋a 有且只有一个实根， 即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝－x ＋a 有且只有一个交点．
如图，在同一直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距．
由图可知，当a ≤1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )有两个交点， 当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝f (x )只有一个交点． 故实数a 的取值范围是(1，＋∞)．
12．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧
|2x
－1|，x ≤1，
(x －2)2
，x >1，
函数y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，
x 3，x 4，且x 1<x 2<x 3<x 4，则12
3422x x x x ++＝________.
答案12
解析y ＝f (x )－a 有四个不同的零点x 1，x 2，x 3，x 4， 即方程f (x )＝a 有四个不同的解，
即y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有四个交点．
在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象，如图所示，
由二次函数的对称性可得，x 3＋x 4＝4.因为1－12x ＝22x －1，
所以1
2x ＋2
2x ＝2，故1234
22x x x x ++＝1
2
.
13．已知函数f (x )＝|e x －1|＋1，若函数g (x )＝[f (x )]2＋(a －2)f (x )－2a 有三个零点，则实数a 的取值范围是()
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2) 答案A
解析令t ＝f (x )，则函数g (t )＝t 2＋(a －2)t －2a ，由t 2＋(a －2)t －2a ＝0得，t ＝2或
t ＝－a .
f (x )＝|e x
－1|＋1＝⎩⎨⎧
e x
，x ≥0，2－e x
，x <0，
作出函数f (x )的图象，如图所示，由图可知，当
t ＝2时，方程f (x )＝|e x －1|＋1＝2有且仅有一个根，则方程f (x )＝|e x －1|＋1＝－a 必有两个不同的实数根，此时由图可知，1<－a <2，即－2<a <－
1.
14．已知函数f (x )＝x ＋1
x
－sin x －1，x ∈[－4π，0)∪(0,4π]，则函数f (x )的所有零
点之和为________．
答案0
解析因为函数f (x )＝x ＋1x －sin x －1＝1x
－sin x ， 所以f (x )的对称中心是(0,0)，
令f (x )＝0，得1x
＝sin x ， 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x
，y ＝sin x 的图象，如图所示，
由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f (x )有8个零点，
由对称性可知，零点之和为0.
15．(2023·南昌模拟)定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝e x －1，若关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，则实数m 的取值范围为()
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －16，e －15
B.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －16
，e －14 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫e －18
，e －16 D ．(0，e －1) 答案B
解析∵f (x )＝f (2－x )，
∴函数f (x )关于直线x ＝1对称，
又f (x )为定义在R 上的偶函数，
∴函数f (x )关于直线x ＝0对称，
作出函数y ＝f (x )与直线y ＝m (x ＋1)的图象，如图所示，
要使关于x 的方程f (x )＝m (x ＋1)(m >0)恰有5个实数解，
则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝m (x ＋1)有5个交点，
∴⎩⎨⎧ 6m >e －1，4m <e －1，即e －16<m <e －14
. 16．已知M ＝{α|f (α)＝0}，N ＝{β|g (β)＝0}，若存在α∈M ，β∈N ，使得|α－β|<n ，则称函数f (x )与g (x )互为“n 度零点函数”．若f (x )＝32－x －1与g (x )＝x 2－a e x 互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为________．
答案⎝ ⎛⎦
⎥⎤1e ，4e 2 解析由题意可知f (2)＝0，且f (x )在R 上单调递减，
所以函数f (x )只有一个零点2，
由|2－β|<1，得1<β<3，
所以函数g (x )＝x 2－a e x 在区间(1,3)上存在零点．
由g (x )＝x 2－a e x ＝0，得a ＝x 2e x . 令h (x )＝x 2
e x ， 则h ′(x )＝2x －x 2e x ＝x (2－x )e x ，
所以h (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，
且h (1)＝1e ，h (2)＝4e 2， h (3)＝9e 3>1e
，
要使函数g (x )在区间(1,3)上存在零点， 只需a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤
1e ，4e 2.。