2020-2021全国备战中考数学二次函数的综合备战中考真题分类汇总附答案

2020-2021全国备战中考数学二次函数的综合备战中考真题分类汇总附答案
一、二次函数
1．如图，已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ，B 两点，且点A （1，－4）为抛物线的顶点，点B 在x 轴上。

（1）求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P ，使△POB 与△POC 全等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点Q 是y 轴上一点，且△ABQ 为直角三角形，求点Q 的坐标。

【答案】解：（1）2
y x 2x 3=--；（2）存在，P （
1-132，13-1
2
）；（3）Q 点坐标为（0，-72）或（0，3
2
）或（0，－1）或（0，－3）. 【解析】 【分析】
（1）已知点A 坐标可确定直线AB 的解析式，进一步能求出点B 的坐标．点A 是抛物线的顶点，那么可以将抛物线的解析式设为顶点式，再代入点B 的坐标，依据待定系数法可解. （2）首先由抛物线的解析式求出点C 的坐标，在△POB 和△POC 中，已知的条件是公共边OP ，若OB 与OC 不相等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB 等于OC ，那么还要满足的条件为：∠POC=∠POB ，各自去掉一个直角后容易发现，点P 正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x 与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同时还要注意点P 在第二象限的限定条件.
（3）分别以A 、B 、Q 为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可. 【详解】
解：（1）把A （1，﹣4）代入y ＝kx ﹣6，得k ＝2， ∴y ＝2x ﹣6， 令y ＝0，解得：x ＝3， ∴B 的坐标是（3，0）． ∵A 为顶点，
∴设抛物线的解析为y ＝a （x ﹣1）2﹣4，
把B（3，0）代入得：4a﹣4＝0，
解得a＝1，
∴y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在．
∵OB＝OC＝3，OP＝OP，
∴当∠POB＝∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y＝﹣x．
设P（m，﹣m），则﹣m＝m2﹣2m﹣3，解得m＝1-13
2
（m＝
1+13
2
＞0，舍），
∴P（1-13，13-1）．
（3）①如图，当∠Q1AB＝90°时，△DAQ1∽△DOB，
∴1
DQ
AD
OD DB
=，即5
6
=1
35
，∴DQ1＝
5
2
，
∴OQ1＝7
2
，即Q1（0，-
7
2
）；
②如图，当∠Q2BA＝90°时，△BOQ2∽△DOB，
∴2
OQ
OB
OD OB
=，即2
3
63
OQ
=，
∴OQ2＝3
2
，即Q2（0，
3
2
）；
③如图，当∠AQ3B＝90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ3∽△Q3EA，
∴3
3
OQ
OB
Q E AE
=，即3
3
3
41
OQ
OQ
=
-
∴OQ32﹣4OQ3+3＝0，∴OQ3＝1或3，
即Q3（0，﹣1），Q4（0，﹣3）．
综上，Q点坐标为（0，-
7
2
）或（0，
3
2
）或（0，﹣1）或（0，﹣3）．
2．如图1，对称轴为直线x=1的抛物线y=
1 2
x2+bx+c，与x轴交于A、B两点（点A在点B
的左侧），且点A坐标为(-1，0).又P是抛物线上位于第一象限的点，直线AP与y轴交于点D，与抛物线对称轴交于点E，点C与坐标原点O关于该对称轴成轴对称.
（1）求点B 的坐标和抛物线的表达式；
（2）当AE：EP=1：4 时，求点E 的坐标；
（3）如图 2，在（2）的条件下，将线段 OC 绕点 O 逆时针旋转得到OC ′，旋转角为α(0°＜α＜90°)，连接C ′D、C′B，求C ′B+
2
3
C′D 的最小值．
【答案】（1）B（3，0）；抛物线的表达式为：y=
1
2
x2-x-
3
2
；（2）E(1，6)；（3）C′B＋2
3
C′D
4
10
3
【解析】
试题分析：（1）由抛物线的对称轴和过点A，即可得到抛物线的解析式，令y=0，解方程可得B的坐标；
（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．由平行线分线段弄成比例定理可得
AE
AP
=
AG
AF
=
EG
PF
=
1
5
，从而求出E的坐标；
（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，得到D（0，3）．
如图，取点M（0，
4
3
），连接MC′、BM．则可求出OM，BM的长，得到
△MOC′∽△C′OD．进而得到MC′＝
2
3
C′D，由C′B＋
2
3
C′D＝C′B＋MC′≥BF可得到结论．
试题解析：解：（1）∵抛物线y=
1
2
x2+bx+c的对称轴为直线x=1，∴-1
2
2
b
=1，∴b=-1．∵抛物线过点A（-1，0），∴
1
2
-b+c=0，解得：c=-
3
2
，
即：抛物线的表达式为：y=1
2
x2-x-
3
2
．
令y=0，则1
2
x2-x-
3
2
=0，解得：x1=-1，x2=3，即B（3，0）；
（2）过点P作PF⊥x轴，垂足为F．
∵EG∥PF，AE：EP=1：4，∴AE
AP =
AG
AF
=
EG
PF
=
1
5
．
又∵AG=2，∴AF=10，∴F（9，0）．
当x=9时，y=30，即P（9，30），PF=30，∴EG=6，∴E（1，6）．
（3）由E（1，6）、A（-1，0）可得AP的函数表达式为y=3x+3，则D（0，3）．∵原点O与点C关于该对称轴成轴对称，∴EG=6，∴C（2，0），∴OC′＝OC＝2．
如图，取点M（0，4
3
），连接MC′、BM．则OM＝
4
3
，BM＝22
4
3()
3
+＝
97
．
∵
4
2
3
'23
OM
OC
==，
'2
3
OC
OD
=，且∠DOC′＝∠C′OD，∴△MOC′∽△C′OD．∴
'2
'3
MC
C D
=，
∴MC′＝2
3C′D，∴C′B＋
2
3
C′D＝C′B＋MC′≥BM＝
4
10
3
，∴C′B＋
2
3
C′D的最小值为
4
10
3
．
点睛：本题是二次函数的综合题，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，求得AF的长是解答问题（2）的关键；和差倍分的转化是解答问题（3）的关键．
3．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经
过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封
闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：
2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由； （3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值． 【答案】（1）A （
，0）、B （3，0）．
（2）存在．S △PBC 最大值为2716
（3）2
m 2
=-或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】 【分析】
（1）在2
y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．
（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．
（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值． 【详解】
解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，
∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=． ∴A （
，0）、B （3，0）．
（2）存在．理由如下：
∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），
把C （0，3
2-）代入可得，12
a =．
∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=+-，即213
y x x 22
=--．
设P （p ，
213
p p 22
--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =2
3
327p 42
16
--+
（）．
∵3a 4=-
<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716
． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -）， ∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+． ∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：
当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+， 解得：12m =-
,22
m =(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+， 解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ． 综上所述，2
m 2
=-
或1m =-时，△BDM 为直角三角形．
4．如图，直线l ：y ＝﹣3x +3与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ，交x 轴正半轴于点C ． （1）求该抛物线的函数表达式；
（2）已知点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，连接AM 、BM ，设点M 的横坐标为m ，△ABM 的面积为S ，求S 与m 的函数表达式，并求出S 的最大值及此时动点M 的坐标；
（3）将点A 绕原点旋转得点A ′，连接CA ′、BA ′，在旋转过程中，一动点M 从点B 出发，沿线段BA ′以每秒3个单位的速度运动到A ′，再沿线段A ′C 以每秒1个单位长度的速度运动到C 后停止，求点M 在整个运动过程中用时最少是多少？
【答案】（1）y ＝﹣x 2
+2x +3；（2）S 与m 的函数表达式是S ＝252
m m
--，S 的最大值是
258，此时动点M 的坐标是（52，74）；（3）点M 82秒． 【解析】 【分析】
（1）首先求出B 点的坐标，根据B 点的坐标即可计算出二次函数的a 值，进而即可计算
出二次函数的解析式;
（2）计算出C 点的坐标，设出M 点的坐标，再根据△ABM 的面积为S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ，化简成二次函数，再根据二次函数求解最大值即可. （3）首先证明△OHA ′∽△OA ′B ，再结合A ′H +A ′C ≥HC 即可计算出t 的最小值. 【详解】
（1）将x ＝0代入y ＝﹣3x +3，得y ＝3， ∴点B 的坐标为（0，3），
∵抛物线y ＝ax 2﹣2ax +a +4（a ＜0）经过点B ， ∴3＝a +4，得a ＝﹣1，
∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；
（2）将y ＝0代入y ＝﹣x 2+2x +3，得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴点C 的坐标为（3，0），
∵点M 是抛物线上的一个动点，并且点M 在第一象限内，点M 的横坐标为m ， ∴0＜m ＜3，点M 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3）， 将y ＝0代入y ＝﹣3x +3，得x ＝1， ∴点A 的坐标（1，0）， ∵△ABM 的面积为S ，
∴S ＝S 四边形OAMB ﹣S △AOB ＝S △BOM +S △OAM ﹣S △AOB ＝()
2123313222
m m m ⨯-++⨯⨯+-， 化简，得
S ＝252m m --＝2
1525228
m ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭，
∴当m ＝
52时，S 取得最大值，此时S ＝258，此时点M 的坐标为（52，74
）， 即S 与m 的函数表达式是S ＝252
m m
--，S 的最大值是258，此时动点M 的坐标是
（
52，7
4
）； （3）如右图所示，取点H 的坐标为（0，
1
3
），连接HA ′、OA ′， ∵∠HOA ′＝∠A ′OB ，13OH OA '=，1
3
OA OB '=， ∴△OHA ′∽△OA ′B ，
∴3BA A H
'
'=， 即3
BA A H ''=，
∵A ′H +A ′C ≥HC ＝2
218233⎛⎫+= ⎪⎝⎭
， ∴t ≥
82
， 即点M 在整个运动过程中用时最少是
82
秒．
【点睛】
本题主要考查抛物线的性质，关键在于设元，还有就是（3）中利用代替法计算t 的取值范围，难度系数较大，是中考的压轴题.
5．在平面直角坐标系中，有两点(),A a b 、(),B c d ，若满足：当a b ≥时，c a =，
2d b =-；当a b <时，c a <-，d b <，则称点为点的“友好点”.
（1）点()4,1的“友好点”的坐标是_______.
（2）点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，点B 是点A 的“友好点”. ①当B 点与A 点重合时，求点A 的坐标.
②当A 点与A 点不重合时，求线段AB 的长度随着a 的增大而减小时，a 的取值范围. 【答案】（1）()41-,；（2）①点A 的坐标是()2,0或()1,1-；②当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小； 【解析】 【分析】
（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B 点坐标，A 点又在直线2y x =-上，得到2b a =-；①当点A 和点B 重合，得2b b =-．解出即可，②当点A 和点B 不重合， 1a ≠且2a ≠．所以对a 分情况讨论，1°、当1a <或
2a >时，()2
2231
3224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝⎭
，所以当a ≤32时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取1a <．2°当12a <<时，()2
2231
+3224
AB b b a a a ⎛
⎫=--=--=--+
⎪
⎝
⎭
，当
32a ≥
时，AB 的长度随着a 的增大而减小，即取3
2
2a ≤<． 综上，当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【详解】
（1）点()4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点()4,1的“友好点”的坐标是()41-, （2）Q 点(),A a b 是直线2y x =-上的一点，
∴2b a =-．
Q 2a a >-，根据友好点的定义，点B 的坐标为()
2,B a b -，
①当点A 和点B 重合，∴2b b =-． 解得0b =或1b =-． 当0b =时，2a =；当1b =-时，1a =，
∴点A 的坐标是()2,0或()1,1-．
②当点A 和点B 不重合，1a ≠且2a ≠．
当1a <或2a >时，()2
2
2
313224AB b b a a a ⎛⎫=--=-+=-- ⎪⎝
⎭． ∴当a ≤
3
2
时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取1a <．
当12a <<时， ()2
2
2
31+3224AB b b a a a ⎛
⎫=--=--=--+ ⎪⎝
⎭ ．
∴当3
2
a ≥时，AB 的长度随着a 的增大而减小， ∴取
3
2
2a ≤<． 综上，当1a <或3
2
2a ≤<时，AB 的长度随着a 的增大而减小． 【点睛】
本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB 的长用a 进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论
6．红星公司生产的某种时令商品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种商品在未来40天内的 日销售量(件)与时间(天)的关系如下表：
未来40天内，前20天每天的价格y1(元/件)与t时间(天)的函数关系式为：y1=t+25(1≤t≤20且t为整数)；后20天每天的价格y2(原/件)与t时间(天)的函数关系式为：y2=—
t+40(21≤t≤40且t为整数).下面我们来研究这种商品的有关问题.
(1)认真分析上表中的数量关系，利用学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据之间的函数关系式；
(2)请预测未来40天中那一天的销售利润最大，最大日销售利润是多少？
(3)在实际销售的前20天中该公司决定每销售一件商品就捐赠a元利润(a＜4)给希望工程，公司通过销售记录发现，前20天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求a的取值范围.
【答案】（1）y=﹣2t+96；（2）当t=14时，利润最大，最大利润是578元；（3）3≤a＜4．
【解析】
分析：（1）通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的，所以确定m与t是一次函数关系，利用待定系数法即可求出函数关系式；
（2）根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数，然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少；
（3）列式表示前20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数的性质求出a的取值范围．
详解：（1）设数m=kt+b，有,解得
∴m=-2t+96，经检验，其他点的坐标均适合以上
析式故所求函数的解析式为m=-2t+96．
（2）设日销售利润为P，
由P=（-2t+96）=t2-88t+1920=（t-44）2-16，
∵21≤t≤40且对称轴为t=44，
∴函数P在21≤t≤40上随t的增大而减小，
∴当t=21时，P有最大值为（21-44）2-16=529-16=513（元），
答：来40天中后20天，第2天的日销售利润最大，最大日销售利润是513元.
（3）P1=（-2t+96）
=-+（14+2a）t+480-96n，
∴对称轴为t=14+2a，
∵1≤t≤20，
∴14+2a≥20得a≥3时，P1随t的增大而增大，
又∵a＜4，
∴3≤a＜4．
点睛：解答本题的关键是要分析题意根据实际意义准确的求出解析式，并会根据图示得出所需要的信息．同时注意要根据实际意义准确的找到不等关系，利用不等式组求解．
7．若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z构成“和谐三组数”．
(1)实数1，2，3可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；
(2)若M(t，y1)，N(t+1，y2)，R(t+3，y3)三点均在函数y＝k
x
(k为常数，k≠0)的图象上，且这
三点的纵坐标y1，y2，y3构成“和谐三组数”，求实数t的值；
(3)若直线y＝2bx+2c(bc≠0)与x轴交于点A(x1，0)，与抛物线y＝ax2+3bx+3c(a≠0)交于B(x2，y2)，C(x3，y3)两点．
①求证：A，B，C三点的横坐标x1，x2，x3构成“和谐三组数”；
②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P(c
a
，
b
a
)与原点O的距离OP的取值范围．
【答案】(1)不能，理由见解析；(2)t的值为﹣4、﹣2或2；(3)①证明见解析；≤OP
OP≠1．
【解析】
【分析】
（1）由和谐三组数的定义进行验证即可；
（2）把M、N、R三点的坐标分别代入反比例函数解析式，可用t和k分别表示出y1、
y2、y3，再由和谐三组数的定义可得到关于t的方程，可求得t的值；
（3）①由直线解析式可求得x1＝﹣c
b
，联立直线和抛物线解析式消去y，利用一元二次
方程根与系数的关系可求得x2+x3＝﹣b
a
，x2x3＝
c
a
，再利用和谐三数组的定义证明即可；
②由条件可得到a+b+c＝0，可得c＝﹣(a+b)，由a＞2b＞3c可求得b
a
的取值范围，令m＝
b
a
，利用两点间距离公式可得到OP2关于m的二次函数，利用二次函数的性质可求得OP2的取值范围，从而可求得OP的取值范围．
【详解】
（1）不能，理由如下：
∵1、2、3的倒数分别为1、1
2、
1
3
，
∴1
2+
1
3
≠1，1+
1
2
≠
1
3
，1+
1
3
≠
1
2
，
∴实数1，2，3不可以构成“和谐三组数”；
（2）∵M(t ，y 1)，N(t+1，y 2)，R(t+3，y 3)三点均在函数
k x (k 为常数，k≠0)的图象上， ∴y 1、y 2、y 3均不为0，且y 1＝
k t ，y 2＝1k t +，y 3＝3k t +， ∴11y ＝t k ，21y ＝1t k +，31y ＝3t k
+， ∵y 1，y 2，y 3构成“和谐三组数”，
∴有以下三种情况： 当11y ＝21y +31y 时，则t k ＝1t k ++3t k
+，即t ＝t+1+t+3，解得t ＝﹣4； 当21y ＝11y +31y 时，则1t k +＝t k +3t k
+，即t+1＝t+t+3，解得t ＝﹣2； 当
31y ＝11y +21y 时，则3t k +＝t k +1t k +，即t+3＝t+t+1，解得t ＝2； ∴t 的值为﹣4、﹣2或2；
（3）①∵a 、b 、c 均不为0，
∴x 1，x 2，x 3都不为0，
∵直线y ＝2bx+2c(bc≠0)与x 轴交于点A(x 1，0)，
∴0＝2bx 1+2c ，解得x 1＝﹣c b
， 联立直线与抛物线解析式，消去y 可得2bx+2c ＝ax 2+3bx+3c ，即ax 2+bx+c ＝0，
∵直线与抛物线交与B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)两点，
∴x 2、x 3是方程ax 2+bx+c ＝0的两根，
∴x 2+x 3＝﹣b a ，x 2x 3＝c a
， ∴21x +31x ＝2323x x x x +＝b a c a
-＝﹣b c ＝11x ， ∴x 1，x 2，x 3构成“和谐三组数”；
②∵x 2＝1，
∴a+b+c ＝0，
∴c ＝﹣a ﹣b ，
∵a ＞2b ＞3c ， ∴a ＞2b ＞3(﹣a ﹣b)，且a ＞0，整理可得253a b b a
>⎧⎨>-⎩，解得﹣35＜b a ＜12， ∵P(c a ，b a
)，
∴OP2＝(c
a )2+(
b
a
)2＝(
a b
a
--
)2+(
b
a
)2＝2(
b
a
)2+2
b
a
+1＝2(
b
a
+
1
2
)2+
1
2
，
令m＝b
a
，则﹣
3
5
＜m＜
1
2
且m≠0，且OP2＝2(m+
1
2
)2+
1
2
，
∵2＞0，
∴当﹣3
5＜m＜﹣
1
2
时，OP2随m的增大而减小，当m＝﹣
3
5
时，OP2有最大临界值
13
25
，
当m＝﹣1
2
时，OP2有最小临界值
1
2
，
当﹣1
2
＜m＜
1
2
时，OP2随m的增大而增大，当m＝﹣
1
2
时，OP2有最小临界值
1
2
，当m
＝1
2
时，OP2有最大临界值
5
2
，
∴1
2≤OP2<
5
2
且OP2≠1，
∵P到原点的距离为非负数，
∴2≤OP＜10且OP≠1．
【点睛】
本题为二次函数的综合应用，涉及新定义、函数图象的交点、一元二次方程根与系数的关系、勾股定理、二次函数的性质、分类讨论思想及转化思想等知识．在(1)中注意利用和谐三数组的定义，在(2)中由和谐三数组得到关于t的方程是解题的关键，在(3)①中用a、b、c分别表示出x1，x2，x3是解题的关键，在(3)②中把OP2表示成二次函数的形式是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大．
8．在平面直角坐标系xOy中（如图）．已知抛物线y=﹣1
2
x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和
点B（0，5
2
），顶点为C，点D在其对称轴上且位于点C下方，将线段DC绕点D按顺时
针方向旋转90°，点C落在抛物线上的点P处．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）求线段CD的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C移到原点O的位置，这时点P落在点E的位置，如果点M在y轴上，且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣
12x 2+2x+52；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，
72）或（0，﹣72
）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）利用配方法得到y=﹣
12（x ﹣2）2+92
，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，
92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52
得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长； （3）P 点坐标为（4，92），D 点坐标为（2，52
），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到
12•（m+52+2）•2=8当m ＜0时，利用梯形面积公式得到
12•（﹣m+52+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．
【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，52）代入y=﹣12
x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩， ∴抛物线解析式为y=﹣
12x 2+2x+52
； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+92， ∴C （2，
92
），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，92﹣t ）， ∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处，
∴∠PDC=90°，DP=DC=t ，
∴P （2+t ，92
﹣t ），
把P（2+t，9
2
﹣t）代入y=﹣
1
2
x2+2x+
5
2
得﹣
1
2
（2+t）2+2（2+t）+
5
2
=
9
2
﹣t，
整理得t2﹣2t=0，解得t1=0（舍去），t2=2，∴线段CD的长为2；
（3）P点坐标为（4，9
2
），D点坐标为（2，
5
2
），
∵抛物线平移，使其顶点C（2，9
2
）移到原点O的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位，
而P点（4，9
2
）向左平移2个单位，向下平移
9
2
个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），
当m＞0时，1
2
•（m+
5
2
+2）•2=8，解得m=
7
2
，此时M点坐标为（0，
7
2
）；
当m＜0时，1
2
•（﹣m+
5
2
+2）•2=8，解得m=﹣
7
2
，此时M点坐标为（0，﹣
7
2
）；
综上所述，M点的坐标为（0，7
2
）或（0，﹣
7
2
）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
9．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（1）240
7
mm，
480
7
mm；（2）PN=60mm，40
PQ mm．
【解析】
【分析】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm），根据平行得出△APN和△ABC 相似，根据线段的比值得出y的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y与x的函数关系式，然后求出S与x的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值.
【详解】
(1)、设PQ=y（mm），则PN=2y（mm），AE=80-y（mm）
∵PN∥BC,
∴=，△APN∽△ABC
∴=
∴=
∴=解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm
(2)、设PQ=x（mm），PN=y（mm），矩形面积为S ，则AE=80-x（mm）．.
由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy===
∵
∴ S有最大值
∴当x=40时，S 最大=2400（mm 2） 此时，y==60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ 、PN 长分别是40 mm ，60 mm ．
考点：三角形相似的应用
10．已知：如图，抛物线y ＝ax 2+bx +3与坐标轴分别交于点A ，B （﹣3，0），C （1，0），点P 是线段AB 上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线解析式；
（2）当点P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？
（3）过点P 作x 轴的垂线，交线段AB 于点D ，再过点P 作PE ∥x 轴交抛物线于点E ，连接DE ，请问是否存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）y ＝﹣x 2﹣2x +3 （2）（﹣
32，154） （3）存在，P （﹣2，3）或P 517-+5317-+ 【解析】
【分析】
（1）用待定系数法求解；（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F ，直线AB 解析式为y ＝x +3，设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则F （t ，t +3），则PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t ，根据S △PAB ＝S △PAF +S △PBF 写出解析式，再求函数最大值；（3）设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3），PD ＝﹣t 2﹣3t ，由抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4，由对称轴为直线x ＝﹣1，PE ∥x 轴交抛物线于点E ，得y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称，所以2
E P x x +＝﹣1，得x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t ，故PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |，由△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°，得PD ＝PE ，再分情况讨论：①当﹣3＜t≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t ；②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t
【详解】
解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +3过点B （﹣3，0），C （1，0）
∴933030a b a b -+=⎧⎨++=⎩ 解得：12a b =-⎧⎨=-⎩
∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x +3
（2）过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，交AB 于点F
∵x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3
∴A （0，3）
∴直线AB 解析式为y ＝x +3
∵点P 在线段AB 上方抛物线上
∴设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0）
∴F （t ，t +3）
∴PF ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t
∴S △PAB ＝S △PAF +S △PBF ＝12PF •OH +12PF •BH ＝12PF •OB ＝32（﹣t 2﹣3t ）＝﹣32（t +32）2+278
∴点P 运动到坐标为（﹣
32
，154），△PAB 面积最大 （3）存在点P 使△PDE 为等腰直角三角形
设P （t ，﹣t 2﹣2t +3）（﹣3＜t ＜0），则D （t ，t +3）
∴PD ＝﹣t 2﹣2t +3﹣（t +3）＝﹣t 2﹣3t
∵抛物线y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4
∴对称轴为直线x ＝﹣1
∵PE ∥x 轴交抛物线于点E
∴y E ＝y P ，即点E 、P 关于对称轴对称 ∴2
E P x x +＝﹣1 ∴x E ＝﹣2﹣x P ＝﹣2﹣t
∴PE ＝|x E ﹣x P |＝|﹣2﹣2t |
∵△PDE 为等腰直角三角形，∠DPE ＝90°
∴PD ＝PE
①当﹣3＜t ≤﹣1时，PE ＝﹣2﹣2t
∴﹣t 2﹣3t ＝﹣2﹣2t
解得：t 1＝1（舍去），t 2＝﹣2
∴P （﹣2，3）
②当﹣1＜t ＜0时，PE ＝2+2t
∴﹣t 2﹣3t ＝2+2t
解得：t 1＝5172-+，t 2＝5172
--（舍去）
∴P （5172-+，53172-+） 综上所述，点P 坐标为（﹣2，3）或（
517-+，5317-+）时使△PDE 为等腰直角三角形．
【点睛】
考核知识点：二次函数的综合.数形结合分析问题，运用轴对称性质和等腰三角形性质分析问题是关键.
11．如图1，抛物线C 1：y=ax 2﹣2ax+c （a ＜0）与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点O 为坐标原点，OC=3OA ，抛物线C 1的顶点为G ．
（1）求出抛物线C 1的解析式，并写出点G 的坐标；
（2）如图2，将抛物线C 1向下平移k （k ＞0）个单位，得到抛物线C 2，设C 2与x 轴的交点为A′、B′，顶点为G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求k 的值：
（3）在（2）的条件下，如图3，设点M 为x 轴正半轴上一动点，过点M 作x 轴的垂线分别交抛物线C 1、C 2于P 、Q 两点，试探究在直线y=﹣1上是否存在点N ，使得以P 、Q 、N 为顶点的三角形与△AOQ 全等，若存在，直接写出点M ，N 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线C 1的解析式为y=﹣x 2+2x+3，点G 的坐标为（1，4）；（2）k=1；（3）M 1113+0）、N 1131）；M 2113+，0）、N 2（1，﹣1）；M 3（4，0）、N 3（10，﹣1）；M 4（4，0）、N 4（﹣2，﹣1）．
【解析】
【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标，将A、C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1，
3m），代入所设解析式求解可得；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），根据PQ=OA=1且
∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN，延长PQ交直线y=﹣1于点H，证
△OQM≌△QNH，根据对应边相等建立关于x的方程，解之求得x的值从而进一步求解即可．
【详解】（1）∵点A的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点C的坐标为（0，3），
将A、C坐标代入y=ax2﹣2ax+c，得：
20
3
a a c
c
++=
⎧
⎨
=
⎩
，
解得：
1
3
a
c
=-
⎧
⎨
=
⎩
，
∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以点G的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k，即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点G′作G′D⊥x轴于点D，设BD′=m，
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴33，
则点B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（13），
将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
240
43
m k
k m
⎧-+-=
⎪
⎨
-=
⎪⎩
，
解得：1
1
4
m
k
=
⎧
⎨
=
⎩
（舍），2
2
3
1
m
k
⎧=
⎪
⎨
=
⎪⎩
，
∴k=1；
（3）设M（x，0），则P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ 、∠PQN 均为钝角，
∴△AOQ ≌△PQN ，
如图2，延长PQ 交直线y=﹣1于点H ，
则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ ≌△PQN ，
∴OQ=QN ，∠AOQ=∠PQN ，
∴∠MOQ=∠HQN ，
∴△OQM ≌△QNH （AAS ），
∴OM=QH ，即x=﹣x 2+2x+2+1，
解得：x=1132±（负值舍去）， 当x=113+时，HN=QM=﹣x 2+2x+2=131-，点M （113+，0）， ∴点N 坐标为（
113++131-，﹣1），即（13，﹣1）； 或（1132+﹣1312
-，﹣1），即（1，﹣1）； 如图3，
同理可得△OQM ≌△PNH ，
∴OM=PH ，即x=﹣（﹣x 2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或x=4，
当x=4时，点M的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点N的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点M1（113
2
+
，0）、N1（13，﹣1）；M2（
113
2
+
，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运用分类讨论思想是解题的关键.
12．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A 点的直线y=﹣
1
2
x﹣1交于点C．
（1）求抛物线解析式及对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为：y=2
11
1
84
x x
--，抛物线对称轴为直线x=1；（2）存在P 点坐标为（1，﹣
1
2
）；（3）N点坐标为（4，﹣3）或（2，﹣1）
【解析】
分析：（1）由待定系数法求解即可；
（2）将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可；
（3）利用相似三角形对应点进行分类讨论，构造图形．设出点N坐标，表示点M坐标代入抛物线解析式即可．
详解：（1）把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得
0421
01641
a b
a b
--
⎧
⎨
+-
⎩
＝
＝
解得
1
8
1
4 a
b
⎧
⎪⎪
⎨
⎪-
⎪⎩
＝
＝
∴抛物线解析式为：y=1
8
x2−
1
4
x−1
∴抛物线对称轴为直线x=-
1
4
1
22
8
b
a
-
=-
⨯
＝1
（2）存在
使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小
∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点．
设过点C′、O直线解析式为：y=kx
∴k=-
1
2
∴y=-
1
2
x
则P点坐标为（1，-
1
2
）
（3）当△AOC∽△MNC时，
如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E
∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90°
∴∠CDN=∠CAO
由相似，∠CAO=∠CMN
∴∠CDN=∠CMN
∵MN⊥AC
∴M、D关于AN对称，则N为DM中点
设点N坐标为（a，-1
2
a-1）
由△EDN∽△OAC ∴ED=2a
∴点D坐标为（0，-5
2
a−1）
∵N为DM中点
∴点M坐标为（2a，3
2
a−1）
把M代入y=1
8
x2−
1
4
x−1，解得
a=4
则N点坐标为（4，-3）
当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM
∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N
由（2）N（2，-1）
∴N点坐标为（4，-3）或（2，-1）
点睛：本题为代数几何综合题，考查了待定系数、两点之间线段最短的数学模型构造、三角形相似．解答时，应用了数形结合和分类讨论的数学思想．
13．如图，抛物线y=﹣（x﹣1）2+c与x轴交于A，B（A，B分别在y轴的左右两侧）两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D，已知A（﹣1，0）．
（1）求点B，C的坐标；
（2）判断△CDB的形状并说明理由；
（3）将△COB沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t＜3）得到△QPE．△QPE与△CDB重叠部分（如图中阴影部分）面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB
为直角三角形；
(Ⅲ)22333(0)221933(3)2
22t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】
【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：
①当0＜t≤
32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32
＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】
解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2
1y x c =--+上， ∴()2
011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()2
14y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；
令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .
(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：
由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.
如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，
则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.
过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆
中，由勾股定理得：BC ===
在Rt CND ∆
中，由勾股定理得：CD ==
在Rt BMD ∆
中，由勾股定理得：BD =
==.
∵222BC CD BD +=，
∴CDB ∆为直角三角形.
(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，
∵()()3,0,0,3B C ，
∴303
k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，
∴3y x =-+，
直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，
∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；
设直线BD 的解析式为y mx n =+，
∵()()3,0,1,4B D ，
∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩
，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.
连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫
⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：
(1)当302
t <≤时，如答图2所示：
设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.
设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t =-+⎧⎨=-++⎩
. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩
， ∴()3,2F t t -. 111222QPE PBK
FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=
⋅-⋅-⋅ ()221113333232222
t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332t <<时，如答图3所示：
设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .
∵CQ t =，
∴KQ t =，3PK PB t ==-. 直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.
1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=
⋅-⋅ ()()()211362322
t t t =---- 219322
t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩
.
14．在平面直角坐标系xOy 中(如图)，已知抛物线y ＝x 2－2x ，其顶点为A ．
(1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A 的坐标，并说明它的变化情况；
(2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”
①试求抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标；
②平移抛物线y ＝x 2－2x ，使所得新抛物线的顶点B 是该抛物线的“不动点”，其对称轴与x 轴交于点C ，且四边形OABC 是梯形，求新抛物线的表达式.
【答案】(l)抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的；(2)①(0，0)、(3，3)； ②新抛物线的表达式是y ＝(x ＋1)2－1.
【解析】
【分析】
（1）Q 10a =>，故该抛物线开口向上，顶点A 的坐标为()1,1-；
（2）①设抛物线“不动点”坐标为(),t t ，则22t t t =-，即可求解；②新抛物线顶点B 为“不动点”，则设点(),B m m ，则新抛物线的对称轴为：x m =，与x 轴的交点(),0C m ，四边形OABC 是梯形，则直线x m =在y 轴左侧，而点()1,1A -，点(),B m m ，则1m =-，即可求解.
【详解】
(l)Q 10a =>，
抛物线y ＝x 2－2x 的开口向上，顶点A 的坐标是(1，－1)，
抛物线的变化情况是：抛物线在对称轴左侧的部分是下降的，右侧的部分是上升的.
(2)①设抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”坐标为(t ，t).
则t ＝t 2－2t ，解得t 1＝0，t 2＝3.
所以，抛物线y ＝x 2－2x 的“不动点”的坐标是(0，0)、(3，3).
②∵新抛物线的顶点B 是其“不动点”，∴设点B 的坐标为(m ，m)
∴新抛物线的对称轴为直线x ＝m ，与x 轴的交点为C(m ，0)
∵四边形OABC 是梯形，
∴直线x ＝m 在y 轴左侧.
∵BC 与OA 不平行
∴OC∥AB.
又∵点A的坐标为(1，一1)，点B的坐标为(m，m)，
m＝－1.
∴新抛物线是由抛物线y＝x2－2x向左平移2个单位得到的，
∴新抛物线的表达式是y＝(x＋1)2－1.
【点睛】
本题为二次函数综合运用题，涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质，此类新定义题目，通常按照题设顺序，逐次求解即可.
15．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理
由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可；
（3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x 轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．。