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第一次习题课
#第1讲作业绪论1微波的频率和波长范围分别是多少
答：频率范围从300MHz到3000GHz波长从0.1mm到Irn 2微波与其它电磁波相比，有什么特点
答：主要特点是：微波波长可同普通电路或元件的尺寸相比拟，即为分米、厘米、毫米量级，其他波段都不具备这个特点。

普通无线电波的波长大于或远大于电路或元件的尺
寸，电路或元件内部的波的传播过程（相移过程）可忽略不
计，故可用路的方法进行研究。

光波、X射线、射线的波
长远小于电路或元件的尺寸，甚至可与分子或原子的尺寸相比拟，难以用电磁的或普通电子学的方法去研究它们。

（有同学仅仅写微波的特点，有同学是把课本上微波特点写下来）
正是上述特点，使人们对微波产生极大兴趣，并将它从普通无线电波波段划分出来进行单独研究。

3微波技术、天线、电波传播三者研究的对象分别是什么它们有何区别和联系？
答：微波技术：主要研究引导电磁波在微波传输系统中如何进行有效传输，它希望电磁波按一定要求沿传输系统无
辐射地传输。

天线：是将微波导行波变成向空间定向辐射的电磁波， 或将空间的电磁波变为微波设备中的导行波。

电波传播：研究电波在空间的传播方式和特点。

微波技术、天线与电波传播是微波领域研究的三个重要 组成部分，它们共同的基础是电磁场理论，但三者研究的对 象和目的有所不同。

（有同学没有写区别和联系） #第2讲作业
1.导出如图9.1（ C ）所示的平行导体板传输线的等效电路参 H
，且 W b 。

解：令传输线上仅传播沿 z 向的行波，则传输线上的行波电
从能量或者功率的角度来求，方程中有未知量为 E ，H
所以求得这两个未知量就可以。

由于W
b 的条件，可以忽略不均匀性，视两板间为均匀电
量。

假设平行导体板间填充媒质的电参数为
，，其中
jz
，行波电流为I l o e jz。

压为U U o e
其中，U U o e jz
由于传输线理论和电路理论中传输线单位长度的电场储能 相等，可得:
s 为电场和磁场所处的横截面积，这里的
S 是标量
S
E t E t dS
2
Wb b
b
注意是'而不是ed ，因为点容与损耗无关。

由于传输线理论和电路理论中传输线周围填充的有耗电介 质引起的单位长度的损耗功率相等，可得:
场，有
E U
U 0
2
ed
II
也可以用下面的方法来求电容 C 作包围单位长度导体板的高斯面，
由高斯定理
Q D dS U
W 1 -UW
CU
S
b
b
注意S 的值，是 W*1，S 面应该与电场垂直，这里的 S 是矢 量。

有同学把这个S 写成W b 得到
W c — b
注：这实际上就是平板电容的公式。

求单位长度电感，同样认为板间磁场强度均匀分布，并忽略 导体板的厚度（忽略内自感）；设由上边导体板上电流产生 的磁场为H i ，作包围上导体板的曲线l i ，由安培环路定理,
dh I , 2W I
h
S E
t E t dS
I I
Uo b
2
Wb
F /m
其中，I l o e jz
得到
注意这里得出的H 1只是上边导体板上电流产生的， 在图中方 向朝左；下边导体板产生的磁场方向也向左；得到导体板上 电流在板间产生的总磁场:
孚.■ 2的方向关系二
由于传输线理论和电路理论中输线单位长度的电场储能相 等，可得:
由于传输线理论和电路理论中有限电导率引起的单位长度 的损耗功率相等，可得:
H
i
Io S H
t
Io
W
H t dS
2
Wb
L
2
或者：单位长度导体板间的磁通量:
B （b1）
计 b IL
L
b
L w H/m
能量损耗，它们二者分别对应了等效电路中的串联电阻和并 联电导。

（结构内部有电场才会有损耗，如果电场根本进不
R 导。

H Io 1
2
R
S
1
Io W
,,R S dl po I 2
i I 0
2W
2 R S W
得到
2. 一同轴线的内外导体半径分别为 a 和b ，内外导体间填充媒
质的介电常数为
ed ed
''，磁导率为 ，且内外导体的
U 。

， 其中外导体
因为内外导体存在表面电阻 R s ，介质存在损耗 ”，均会产生 表面电阻为R s 。

已知内外导体间的复电压为
解答:
去，也就不会产生损耗。

同时，如果只有电场而电导率为零，也没有电流流过，也无损耗)
1)由电场强度求电容;
对同轴线结构，由电位方程
电位只是r的函数，在圆柱坐标系下，上式变为
边界条件为r a U 可得
UoS
同轴线内外导体间的电场强度为
d U o
a r \ a r
dr r In a/b
可以由面电荷公式求单位长度内外导体带电量，也可以像上
题用高斯定理求，结果是一样的。

内导体表面的面电荷密度
s i r a D r |r
U o aln a/b
单位长度面电荷Q 2 a
2
In a/b
'U。

单位长度电容C
2 '
In a/b
F /m，
2
b rdrd
2 r 厂1n
（a ）
S E t
E t*dS
U o
Uo
rdrd
r In(b/a)
In (b/a)
2）求单位长度电感（这里忽略内电感，只计算外电感） 由安培环路定理可得内外导体间的磁感应强度为
单位长度电感:
L - I
或者：
b
I 』dr a 2 r
I
h
lnb/a H/m
L
Y 2
I 0
H t H t
*dS
Io
3）求串联电阻 表面电阻 代表高频电流通过导体时电导率有限产生的热损 耗，对应串联电阻。

根据表面电阻的定义，不难得到单位长 度同轴线串联
R S
4）求并联电导
由1中求得的内外导体间电场强度可得泄漏电流密度大小为
R S R I
2 1
H dl
R S .
I I 2
R s l O 2
l
I 0 2 a
dh
|
2
I 0
2 b dl 2
R S l O 2
R S
Io
I 0 2 b
其中 是内外导体间介质的电导率， 因为介质不理想绝缘。

In (b/a)
总结：方法不止一种，重要的是对这些概念的理解。

如理解 为何要
考虑导体和介质损耗（内外导体电导率有限、介质不 理想绝缘）、什么是表面电阻、什么是泄漏电流，以及它与 内外导体中传播的电流的区别等等。

且有''
单位长度泄漏电流大小为
1
2 U o
In a/ b
得到单位长度并联电导:
2 ' In a/
2 " a/ b In
或者:
S E
t
E t*dS
b
U o
Uo
rdrd
a
rin(b/a)
#第3讲作业 3-5求图所示各均匀无耗传输线输入端的反射系数及输入阻 抗。

乙n2 乙
得到A 端口输入阻抗
A 端口阻抗匹配，因此
（或根据 /4变换特性直接得出） A 端口向 2看过去，因为阻抗匹配，
所以:
Z inA
Z in1 PZ in2 Z c 200
Z in 乙 200
in
解:
Z n1 jZ c ta n — j 200tan —
4 2
根据/2重复性，A端口向1、2看过去的输入阻抗分
别为
Z in1 Z in 2 300
得到A端口输入阻抗
乙nA Z i n 1 PZ in 2 300
所以
2 2
Z in Z c / Z inA 150 /300 75
Z in Z c 1
in Z in Z c 3
注意：要求的是输入端的反射系数和输入阻抗补充题A :半无限长开路线上的电磁波处于何种工作状态?
解答：半无限长，电磁波走不到，没有发生反射，行波状态。

z 时，z 0，电磁波处于行波状态。

补充题B : 已知传输线沿线电压分布表达式为
U (z) U i cos z jl i Z c Sin z ，试从数学角度阐明传输线各点处的电 压在匹配情况下模值为常数，在非匹配下呈周期变化的缘由。

解答:
U i l i Z i |U(z)| 7u i 2cos 2 z (I i Z c )2sin 2
z
在匹配条件下，
J U 2
cos 2
~z ~(U i
)2
sin 2
~z |U i
I
|U(z)| 7U I 2COS 2
z (I i Z c )2
(1 cos 2
z)
J (l ,Z c )2 (U ,2 l ,2Z c 2)cos 2
z J (I ,Z c )2 (U i 2 hZ 2)^^!2
^ (U ： IN)等
可以看出，沿线电压的模值以
/为周期变化。

0的，sin 函数有正有负。

或者，通过计算反射系数的值来说明，
z 0e
j2 z
，当
乙 Z c
|U ⑵I
非匹配条件下，
乙 Z c
有同学化成U
Asin z
的形式，明显不对。

因为这个公式的周期是
2 /
，而且模值一定是大于等于
还有同学把电压写成U U (z)(1
) U (1 )e jz 的形式，
认为模值就是
U U (1
)， 可是不匹配的时候 是复数，前
面所说根本不是模值。

#第4讲作业
3-7:在一无耗传输线上传输频率为 3GHz 的导波，已知其
输线上的驻波系数；②离终端 10cm 处的反射系数。

解：①传输线上的驻波系数:
其中终端反射系数
所以
1 051
3.08 0.51
②：导波的波长:
变，为:
特性阻抗乙100，终端接乙
(75 j100)的负载。

试求：①传
75 j100 100 75 j100 100
1 4j 7 4j
乙Z c
l
乙Z c
9 .32
65 j
65
有同学直接用I 的模值和幅值公式，也是可以的。

0.138 jO.492 0.51 74.3 3 108
3 109
0.1m 10cm
离终端10cm 相当于离终端
1个波长，所以反射系数不
I
3
即:
4
z
max1
12
e j
9
32 丨 —— j — 0.138 j 0.492 0.51 74.3
I
65
65
3-8 :一未知负载 乙接在Z c 50的无耗传输线终端，现测得 线上电压极大值为 100mV 极小值为20mV 离负载第一个电
解：传输线终端的驻波系数:
终端反射系数的模值:
行驻波状态下:
Z max1
所以
压波节的位置为
z
min1
/3。

试求负载阻抗乙。

驻波系数满足1
U max 型5
U min 20
，传输线工作在行驻波状态。

因为离负载第一个电压波节的位置为: Z
min1
/ 3 /4
所以第一个电压波腹点的位置为:
Z max1 /3 /4 /12
1
电容分别为L 165 nH/m,C 87.3 PF/m 。

求：①传输线上波导的 相速、传输线的特性阻抗和波源的工作频率；②传输线上距 始端25cm 处以及终端的电压、电流复数和瞬时表达式；③ 传输线时段和终端的复功率。

解：波导的相速度：
1
p
V L C
无耗传输线的特性阻抗:
9
165 10 9
y 43.47 87.310
12
波源的工作频率:
f
V p 2.63
2.63 108
Hz
负载阻抗乙为:
乙乙
1
1 1需 50—3
—
250 j 300^3
7
3-26 :有一无耗传输线系统，波源产生波长为 波源的电动势E g 100e j90 V ，内阻抗Z g l 50cm,终端负载阻抗
Z l
35.7 j74.2 82.4 643
1m 的电磁波，
50 ，传输线长
50 j20 ，先的单位长度电感和 /
1
2.63 108
m/s
<165 10 9
87.310
12
有同学写成
P c
，可是算出来并不等
c
有同学写成f —是不对的。

传输线上波的频率不会变，波 源的工作频率应该等于传输线上的工作频率。

②：在传输线始端，距离传输线终端的距离为 50cm,即是/2。

根据/2阻抗重复性，所以始端处，传输线的输入阻抗为: 乙ng Z l 50 20 j
Eg
在传输线的始端的等效电路如上图，有:
射波电压。

方法一：以从负载端到源端为 z 的正方向，有公式:
令U 为传输线始端的电压，I 为传输线始端的电流， 乙ng 为传
输线的输入阻抗，U 、
U 分别为始端电压的入射波电压和反
Z
U
Z
ing Z g
E g
125 .675
13
j
13
9.62 51.92 52.83e
j100.
49
I 丄 Z ing 125 , 675
13 j
13 5 j 25 j
0.19 jO.96 0.98e j 78.69
U l cos z jI l Z c sin z
自n z
11 cos
z
其中
可以看出当/2时，即在源端时，
/2 U| cos jl i
Z c Sin
U i
/2 I
l
cos j^sin
Z c
I
l
即:
U i I l
125
13
5
26
/4时，
.675
j7r
.25
j26
52.83e j 79.51
0.98e j101.31
/4
/4
U l cos
—
2
j 101.31
jI l Z c si n^
/4
jlZ c j
0.98e
/4
11 cos
—
l2
43.47 42.26e j11.31
jU .52.83e j 曲1
j 43.47
1.22e j10.49
砺・八壽牙：
*呼 处堕錄肛G ； I /跑七 x«t -叼吗苗nfi 闵H 二• 3 礎?士
-
V” X' •・> <*，、： f 也丽1 ' -； .T
我理解成U i 是源端的电压，而公式中 以应该有一个负号。

方法二：以源端到负载端为 z 的正方向，传输线始端的电压 满足：
ing
ing
U
其中，U
始端传输线的反射系数
:
U i 为负载端的电压，所
U Z ing Z c 50 20 j 43.47 ing
U Z ing Z c 50 20 j 43.47 0.11 j0.19 0.22e j 59.92
由以上公式（1）、（2）、（3），可以得：
U 0.65 j46.8 46.8e j90-8
U 8.98 j5.04 10.3e j150-7
传输线上的电压电流满足：
jz U e jz
jz U e jz
其中，
离终端25cm 处，相当于离始端50-25=25cm处，即离始端为
/4
所以在离终端25cm处。

jU jU
,"j10.49
1.22e
j
瞬时表达式:
5.26 10
8
42.26cos5.26 108
t 11.31
1.22COS5.26 108
t 10.49
.2
13
.2
jU jU
41.76 j8.33 .2
I ----
4
Z c
42.26e R
.2
因为传输线长 50cm,为
/ 2,所以终端处:
125
52.83e j79.51
13
1
瞬时表达式:
U —
52.83cos 5.26 108
t 79.51
2
1
2
0.98COS5.26 1 08 t 101.
31
有同学直接用下面的公式是不对的
U
E g 代或者十
有同学直接用书上 49页的公式3.28来计算，也是可以的。

③：传输线的复功率 因为是无耗传输线，传输线上任意观察点的复功率都相等。

所以可以用传输线始端的电压、电流值来计算
.2
j-
e
.2
e^
Z c 0.98e
j101.31
26
26
1 * P —UI
2
1125 ,675
213 j 13
625 125
—— j——
25.9e
26 13
或者：
-52.83e j100.49 0.98e j78.6925.9e j21.8
2
1 *
P 2ReU z 1⑵是平均功率，不是复功率。

有同学写成P UI
补充题：当传输线上任一点处的输入阻抗均为特性阻抗时，传输线处于何种工作状态？若输入阻抗均为纯电抗时又如何？
由传输线的输入阻抗：（此时Z的正方向是从负载到源端）
Z z Z Z1 jZ c tg z
Z in Z Z c —Z c jZ i tg z
任一点处的输入阻抗均为特性阻抗，即是每一点都满足
Z in Z Z c
/ \ Z in (Z) Z
c in (Z)
乙n (Z)乙则:
5 .25 2
6 j 26 j21.8
每一点的反射系数都为0,传输线工作在行波状态。

输入阻抗均为纯电抗时，设纯电抗为jX z
所以反射系数的模值为:
2 2
Z c X z Z c 2
X Z 2
所以传输线工作在纯驻波状态。

有学生写反射系数=1,讨论终端开路、终端短路，这并
不全面。

#第5讲作业
1、如图所示，一均匀无耗
传输系统加上信号 E g
200e j90
V ，
%， 12 13
力 °
电流、阻抗分布图；
解：1）对称性决定12、13上波的传输情况相同，可将 R 看作2 个2R ,负
(_)
Z
in
(Z)乙
in
(z)
jX z Z c jX z 乙
Z g 100 , Z c 50 , R 50 , 11 1） 画出11、12、13三段传输线上电压、 2） 求出负载上的吸收功率。

in ⑵
l 2、 C
载的并联，分别连于12、13终端，从而可去掉连接12与13终端的导线。

等效电路图如下：
乙n
2 Z in 3
从b 点左端向负载看去的等效阻抗
25
1
Z in (b) 2Z in2 12.5。

又
|i 2，故
U a
l a
Z in (a)乙n (b) Z in (a) E Z in (a) Z g
E g
12.5
200
e 叫 9
2)a 点的功率为:
乙n (a
) Z g
由于传输线无耗，故
1 * -U a l a 2
R 的吸收功率即
1600
Re(Pa^ — W 81
阻抗分布均相同，可看作终端接大
1600
W 81
I 2
, I 3
段电压、电流、 电阻的情况。

i i
段可看作终端接小电阻的情况。

最大电压很多同学求的不对。

l 3三段传输线上电压、电流、阻抗分布图见 I
i 、
J 、
均匀无耗传输线的 Z 。

500 ，负载Z L （300 j400） 3m,传输线长度为 I 1.25，源 E g 5CV ，Z g Z 。

500 求：
1）负载反射系数与传输线驻波比； 2）用两种方法（含圆图法）求第一波节点和第一波腹点距终
'W 1
*
--
■
T
y £
' I J f l /M
a
:一*
2、
端的距离以及最大、最小输入电阻值; 3）输入阻抗与输入导纳; 4）负载吸收功率。

300 j400 500 300 j400 500 ■ j
2）求第一波节点和第一波腹点距离终端的距离: ?常规方法:
解：1）
乙Z c
1
Z | Z c
由1）中 的值可知，传输线工作在行驻波状态，终端接
感性负载，由
0.5j 知，i
，所以第一波腹点位置:
Z
max ,
4
第一波节点:
8 0-375m
Z
min
8
1.125m
?圆图法：对负载阻抗归一化得
Z 0.6 jO.8
0.2
在圆图中找到r 0.6和x 0.8两圆的交点A,即为Z在圆图中的位置。

延长OA与圆周交于一点，读得向波源方向的波长数为
0.125 ,由于电压腹点和节点分别为1和1的位置，因
此第一波腹点和第一波节点距离终端的距离分别为0.125 和0.375 最大输入阻抗
Z in max 乙1500
最小输入阻抗
Z inmin 乙 /
3）由/4阻抗变换性，
3
Z 2
Z in 专(300 j400)
Z
l
1
——(0.0012 0.0016 j)S
Z
in
4）求负载吸收的功率
—Eg —
(0.05 0.025j)V
Z
g Z in
E Z
)」- (25 12.5j)V
Z Z
Jg Jin
P 丄 Re[U(z')l *(z')] 0.46875W
2
功率不等于1
U|2/Z 0
2'
#第6讲作业
3-23 一无耗传输线的特性阻抗为70 Q ,负载阻抗
使之匹配，计算支节点的接入位置和长度。

图28单支节调配器
Y in l(z' 1.25 )
U(z' 1.25 Z i
70 j140
，波导的波长
20cm 。

试设计一单支节调配器
终端短路支节线的长度 11为:
t
互
J4L
1
2Z c
2 70
主传输线AA 处右端的电纳值为:
2
a R t 乙 X ,t X , Z c t B l 2
2
乙 R X , Z c t
702
1 70 1 40 1 40 70
70 702
140
距离负载的距离d i 为:
7.5cm
注意：距离合长度不可能为负值，所以考虑到:
t tan tan n
n arcta nt arcta nt n
主传输线上AA '处右端的输入导纳为:
解：单支节调配器如上图所示。

题中
,所以t 的值为:
d i
arcta n
t
arcta n 1
70 2 1 35
1 1
Yc ——
Zc 70
因为题目中没有说支节线是短路线还是开路线，所以分两种情况讨论:
终端短路支节线的长度
11为:
波长分别为 1 4cm, 2 3cm ，如图3.43所示。

若适当选取同轴
线的长度11到16的尺寸，即可使雷达的每部发射机的发射功率 畅通无阻地通过天线发射出去，而不进入另一部发射机。

试 确定长度11到16最短尺寸。

解：先分析发射机 1出来的波长为 1的导波
流入发射机2,需要满足以下条件:
1).l l 和12两并联支节对于波长为 1的导波来说相当于开路; 1
1
2 arctan Yc
B 1
arctan 舟
8.52cm
终端开路支节线的长度
12为:
B 1
12 ——arcta n
——
厂
arctan 2
3.52cm
3-27雷达的两部分发射机共用一副天线，
两部发射机的工作
发射机I
犬线方向
发射机1出来的波长为
1
的导波畅通无阻地进入天线而不
2).从B 端口向右看过去对于波长为
1
的导波也相当于幵
B Sr
4
发射
4
路;
3）I 5和16两并联支节对于波长为 1的导波来说相当于短路。

对于发射机2出来的波长为2的导波，情况完全类似。

短路变为开路）。

即是说:
I 3
乙n5
这样，无论16长度为多少，都能保证 C 端口向右看过去始终
对1短路。

经过14四分之波长变换后，从 B 端口向右看过去 相当于开路，发射机1发出的导波只能向天线端传播。

15的存在使C 端口向右看过去对1短路，而15和16同时又需满
通过（一个支节无法同时满足这两个条件 ，这便是C 处要设置
两根枝节的原因！！）
口有
由条件2和3容易联想到
13和14起到四分之波长变换器作（把
并可先确定15
扌（也可以是16
）
由于:
足另一个条件，即：让发射机
2发出的波长为2的导波顺利
现在来确定16 :对于波长为
2
的导波，（注意是
2
）在C 端
Y n5
Y n6
Y n5
jY c COt 2
—I5 2
jY c cot —
1
2
因此11到16的最小长度分别为
-的均匀无耗传输线来实现与主传输线的匹配。

试求，
4
)11和12传输线的特性阻抗Z c1和Z c2 ；
!)11和12传输线上的电压驻波比； D 负载电阻R 1和R ,2的吸收功率；
L)负载电阻R 1
和R ,2所接收到信号的相位差；
Y n6
jY c cot — 16
2
Y n5 jY c cot
由 cot x cot(n X)，其中
J 16可得:
2
—16
16
因为需要满足16 0
2
，所以取 n=2时得到最小值
可通过同样的分析方法得到
1
6min
1m
11
1
2min
0.5m
1m 15 2m 16 1m
E g 100e j0
°V 的匹配信号源通过 以相
等的功率馈送给 亠和
4
11 1.5m 12 0.5m 13 0.75m 补充题：如图所示，一电动势 一特性阻抗Z c 50的均匀无耗传输线，
两个分别为R 11 100和R 12 25的并联负载，并用长为
14
11
解答:
⑴首先有
Z
Z inA1
Z11 inA2 Zi
Z l2
本题关键点：A处要阻抗匹配，且功率平分，考虑到传输线
2 R i
1 11
上各点的功率相等，所以A点处两传输线功率相等，所以
Z inAI Z inA2 %
得到
Z c1 100 Z c2 50
⑵ii传输线上的反射系数为:
h传输线上的电压驻波比为:
Z|1 Z c1
11Z11
Z c1 0
1
11
l 2
传输线上的电压反射系数为:
Z
I2
Z
c2
1
12
乙2乙2 3
12传输线上的电压驻波比为:
12
2
(3)源端输出功率
2
1
2
1|0.5E g |
P out
F A -|U A |2
/Z inA 2
_ g
2
2
Z
inA
各个负载功率
R R 2
0.5F O ut 0.5* 25W 12.5W
负载的总功率等于电源功率的一半，也可以计算，但是 要注意电源的电流。

(4)从 b
到R1相位变化3
^，从b
到R2相位变化-'所
以相位相差为
1501 25W
2 50。