古典概型 几何概型
古典概型与几何概型的异同点
古典概型与几何概型的异同点一、背景和定义1. 古典概型：基于等可能性的最直观概率模型。
若一个试验只有有限个基本事件，且每个基本事件发生的可能性相同，则该试验称为古典概型。
2. 几何概型：当试验的可能结果不是有限可数时，或者每个结果发生的可能性不都是相等的，这时候就需要用到几何概型。
它是基于长度、面积、体积等几何量与概率的结合。
二、相同点1. 两者都是概率模型，用于描述随机试验中各种结果出现的可能性。
2. 在每种模型下，每个基本事件（或样本点）的概率都是非负的，并且它们的和都等于1。
三、不同点1. 试验的基本事件数量：古典概型是有限可数的，而几何概型则可能无限不可数。
2. 概率的定义方式：在古典概型中，概率是基于等可能的假设来定义的。
而在几何概型中，概率是通过与某个几何量（如长度、面积、体积等）的关联来定义的。
3. 概率的计算方法：在古典概型中，概率通常是直接计算基本事件的数量来得到。
而在几何概型中，概率的计算可能需要使用几何知识，如长度、面积或体积等。
4. 适用范围：古典概型适用于具有有限个等可能结果的情况，例如掷骰子、抽签等。
而几何概型适用于试验结果连续且无限的情况，例如在一定范围内的随机落点、随机选择一条线段上的点等。
5. 公平性：古典概型假定每个基本事件的发生是公平的，即每个基本事件的概率都是相等的。
而几何概型中，公平性的概念可能不那么直观，因为基本事件的发生可能与空间的分布有关。
6. 概率的取值：在古典概型中，概率的取值是离散的，通常是0或1。
而在几何概型中，概率的取值是连续的，可以在0到1之间任意取值。
7. 问题的复杂性：对于一些复杂的问题，如复杂的多因素决策问题，可能需要考虑更复杂的概率模型，而不仅仅是古典概型或几何概型。
四、例子1. 古典概型例子：抛掷一枚硬币，正面朝上或反面朝上的概率都是0.5；从一副扑克牌中抽取一张牌，每种花色的概率都是1/4。
这些例子都是基于等可能的假设，每个基本事件的发生概率都是相等的。
古典概型与几何概型的区别
古典概型和几何概型的意义和主要区别在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于从事相应的教学。
几何概型是在学习了古典概型之后，将等可能事件的概念从有限向无限的延伸，这两种概型，在初中阶段都呈现了出来，作为教师,理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，有利于培养学生的建模能力、逻辑推理能力和空间观念,下面我就两种概型的意义、两种概型的主要区别以及怎样应用它们发展学生的诸多能力加以简单介绍.一、古典概型和几何概型的意义（一）。
几何概型的定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型。
1。
几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．．．．。
（2)每个基本事件出现的可能性相等．．．．．。
2。
几何概型求事件A的概率公式：P（A）=构成事件A的区域长度(面积或体积)/ 实验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积)（二) 古典概型的意义大家都很熟知，此处不在介绍1. 古典概型的特点:（1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．．．。
（2）每个基本事件出现的可能性相等．．．．．.2。
古典概型求事件A的概率公式：P（A)=事件A可能发生的结果数/实验发生的所有等可能的结果数二. 古典概型与几何概型的主要区别几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，利用几何概型可以很容易举出概率为0的事件不是不可能事件的例子，概率为1的事件不是必然事件的例子。
三。
利用不同概率模型，培养学生的建模能力及实际应用能力（一）结合实例进行建模题组一：情境1、抛掷两颗骰子，求出现两个“6点”的概率情景2、1号口袋中装有两只红球一只白球，2号口袋中装有一只红球一只白球,这些球处颜色不同外，其他都相同，小明从两个袋各摸一球，问摸出的两球异色的概率是多少？情景3、一口袋中装有3只红球2只白球，小明从口袋里摸出一球放回去，摇匀后，在摸出一球，问两次摸出的球为异色的概率是多少？情景4、一口袋中装有3只红球2只白球,小明从口袋里一次摸出2球，问两球异色的概率是多少？说明:第一组题是古典概型,（1）通过解题让学生从多角度理解古典概型的特征；(2）通过作树状图，让学生领略各题之间存在的不同；（3）体会应用古典概型解决实际问题时应注意的事项（如：元素是否重复利用、元素间有无顺序；实验出现的结果确保等可能性）。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型一）古典概型（1）特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； （2）概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数包含的基本事件个数A ；P （A ）=nm 。
二）几何概型1．随机数的概念随机数是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内任何一个数的机会是均等的。
2．随机数的产生方法 3．几何概型的概念如果事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称模型为几何概率模型； 4．几何概型的概率公式： P （A ）=积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件A 。
5．几种常见的几何概型（1）设线段l 是线段L 的一部分,向线段L 上任投一点.若落在线段l 上的点数与线段L 的长度成正比,而与 线段l 在线段l 上的相对位置无关,则点落在线段l 上的概率为：P=l 的长度/L 的长度（2）设平面区域g 是平面区域G 的一部分,向区域G 上任投一点,若落在区域g 上的点数与区域g 的面积成 正比,而与区域g 在区域G 上的相对位置无关,则点落在区域g 上概率为：P=g 的面积/G 的面积 （3）设空间区域上v 是空间区域V 的一部分,向区域V 上任投一点.若落在区域v 上的点数与区域v 的体积 成正比,而与区域v 在区域v 上的相对位置无关,则点落在区域V 上的概率为：P=v 的体积/V 的体积题型一 古典概型类型1 骰子硬币型1.先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是12，11，10的概率依次是P1，P2，P3 ，则（ ） A ． P1=P2<P3 B ． P1<P2<P3 C ． P1<P2=P3 D ．P3=P2<P12.将一颗骰子连续抛掷两次，至少出现一次6点向上的概率是（ ）A ． 118 B ．1136 C ． 2536 D ．1363.同时掷两颗骰子，下列命题正确的个数是（ ） ①“两颗点数都是6”比“两颗点数都是4”的可能性小；②“两颗点数相同的概率”都是16； ③“两颗点数都是6”的概率最大；④“两颗点数之和为奇数”的概率与“两颗点数之和为偶数”的概率相等。
古典概型与几何概型
解2
C C C C C 13 P ( A) 4 C10 21
2 5 1 5 2 4 1 2 1 2
2 1 2 1 C5 C5 (C8 C4 ) 13 P( A) 4 C10 21
解3
0 4 1 3 2 2 3 1 4 0 C 5 C 5 C 5 C 4 C 5 C 3 C 5 C 2 C 5 C1 8 P( A ) 4 C10 21
状无关。
2、几何概型的计算公式
g的测度 P( A g )＝ 的测度
其中Ag表示“在区域 中随机地取一点落在区域 g中 ”这一事件。
例 (会面问题)两人相约7点到8点在某地
会面，先到者等候另一人20分钟，过时可
离去，试求两人会面的概率。
例 (蒲丰(Buffon)投针问题)1777年法国
科学家蒲丰提出了下列著名问题： 平面上画着一些平行线，它们 之间的距离都等于a，向此平面上任 投一长度为l(I<a)的针，试求此针与任一平行线相交的 概率。 a l
在古典概型中：
设 {1 ,2 ,,n } ，则 1 P(i ) , i 1,2,, n. n 若事件A包含k个基本事件，则
A中所含基本事件数 k P(A) . 基本事件总数 n
二、排列组合的复习
1、乘法原理：
若进行Ⅰ阶段有k1种方法， 进行Ⅱ阶段有k 2种方法，
1 例5 有n个男生，每人都以同样的概率 N
到 N个房间的每一间去（ 件的概率。 A：某指定的 n 间房中各有一人； B：恰有某 n 间房，其中各有一人； C：某指定的一间房中恰有 m 人（
被分
nN
）。求下列事
mn
）。
高中数学中几种常见的概率模型
高中数学中几种常见的概率模型高中数学中几种常见的概率模型：古典概型、几何概型、贝努利概型、超几何分布概型1、古典概型：也叫传统概率、其定义是由法国数学家拉普拉斯提出的。
如果一个随机试验所包含的单位事件是有限的，且每个单位事件发生的可能性均相等，则这个随机试验叫做拉普拉斯试验，这种条件下的概率模型就叫古典概型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果是有限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的；古典概型是概率论中最直观和最简单的模型，概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。
2、几何概型：是概率模型之一，别名几何概率模型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型。
在这个模型下，随机实验所有可能的结果都是无限的，并且每个基本结果发生的概率是相同的。
一个试验是否为几何概型在于这个试验是否具有几何概型的两个特征，无限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是几何概型。
3、贝努利模型：为纪念瑞士科学家雅各布·贝努利而命名。
对随机试验中某事件是否发生，实验的可能结果只有两个，这个只有两个可能结果的实验被称为贝努利实验；重复进行n次独立的贝努利试验，这里“重复”的意思是指各次试验的条件是相同的，它意味着各次试验中事件发生的概率保持不变。
“独立是指是指各次试验的结果是相互独立的。
基于n重贝努利试验建立的模型，即为贝努利模型。
4、超几何分布：是统计学上一种离散概率分布。
它描述了从有限N个物件（其中包含M个指定种类的物件）中抽出n个物件，成功抽出该指定种类的物件的次数（不放回）。
称为超几何分布，是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。
超几何分布中的参数是M,N,n，上述超几何分布记作X~H(n,M,N) 。
1.3 古典概型与几何概型
S ( )
10 60
1 6
0
[A )
50 60
例 某货运码头仅能容一船卸货, 甲、乙两船卸货 时间分别为 一小时和两小时,设甲、乙两船在 24 小时内随时可能到达,求它们中任何一船 都不需 y x 1 等待码头空出的概率. 2 4 ( 2 3 , 2 4 ) ( 2 4 , 2 2 ) 解 设 x ,分别为 甲、乙两船 y 到达的时刻, ( x , y ) 为一个样本点, 1 样本空间为
二、几何概型 1.计算机在区间[0,1]上 任意打一个数 x , 求
x
小于 3 的概率.
1
0
1 3
1
x
2. 随机地在单位圆内任掷一点M, 求点M到原点的距离小于 的概率. 2
1
1 2
这两个随机试验 的样本空间Ω,都是欧氏空间的
一个区域,样本点落在区域内的每一点的机会都 均等. 设区域 A , 如果样本点落在A中, A 就说事件A发生了. 的确切含义是: “机会均等” 点落在A中的可能性的大小 P ( A ) 与A的面积 S ( A ) 成正比,而与A的位置形状无关. 1 P ( A ) t S ( A ) 由 1 P ( ) t S ( ) t
有限性
等可能性
定义2 设试验E是古典概型, 其样本空间Ώ 由n个样本点组成 , 事件A由k个样本点组成 . 则定义事件A的概率为：
A包含的样本点数(A中基本事件数)
P(A)＝k/n＝
Ώ中的样本点总数(基本事件总数)
称此概率为古典概率. 这种确定概率的方法 称为古典方法 . 这样就把求概率问题转化为计数问题 .
§1.3
古典概型与几何概型
!
.
若 n = 64， P(A) 0.997.
“分房模型”可应用于很多类似场合
人
“球”可 视为
人 信 钥匙 男舞伴
“盒子” 相应 视为
房子 生日 信封 门锁 女舞伴
例1.3.7 在电话号码簿中人取一个号码（电话号码由7个数 字组成），求取到的号码是由完全不同的数字组成的概率？
3. 随机取数问题
（3）某指定的一个盒子没有球；(m k)
（4）恰有 k 个盒子中各有一球；
（5）至少有两个球在同一盒子中；
（6）每个盒子至多有一个球.
解 n Nk
设 (1) ~ (6)的各事件分别为 A1 A6
则 k A1 k!
kA2 Ckm (N 1)km
P( A1)
k A1 n
k! Nk
P P P
2
n
则称此试验为古典型随机试验，简称为古典概型。
二、概率的古典定义
定义：设古典概型的所有基本事件为：为：
，事
件A含有 其,中,的,k个基本事件 ，则定义事件A的概率为
1
2
n
P( A) k A包含的基本事件数
n 基本事件的总数
种．
(2)多组组合 把 n 个元素分成 k 个不同的组
（组编号），各组分别有 r1, r2,, rk 个元素，
r1 r2 rk n, 不同的分法共有
C C C r1 r2
rk
n nr1
rk
n! r1!r2! rk ! 种．
（3）若 n 个元素中有 n1 个带足标“1”， n2 个带足标“2”，……， nk
PA4 1
C1 7
古典概型与几何概型g
几何概型实例
01
02
03
转动轮盘
在转动轮盘时，指针指向 任意一个区域的概率与该 区域的面积成正比，这是 几何概型的实例。
随机落点
在平面内随机落点，该点 落在某个区域内的概率与 该区域的面积成正比，也 是几何概型的实例。
随机抛物线
在平面内随机抛出一条线 段，该线段与某一直线相 交的概率与该直线的长度 成正比，属于几何概型。
03
试验结果是随机的且具有等可能性。
几何概型的应用场景
当试验结果的取值范围是连续 的、可度量的几何区域时，可 以考虑使用几何概型来描述概
率。
例如，在掷骰子游戏中，如 果关心的是点数落在某个区 间内，就可以使用几何概型
来计算概率。
在物理学、工程学和经济学等 领域中，当需要描述随机现象 的概率时，也可以考虑使用几
02
每个基本事件发生的概率是相等的。
每个基本事件只有两种结果，试验
生日问题
假设我们有一个公正的硬币，抛掷一 次出现正面的概率是50%。
在23人中至少有两人生日相同的概率 接近于1，即生日悖论。
摸球试验
在一个袋子里有5个红球和3个白球， 随机摸出一个球，摸到红球的概率是 5/8。
04
几何概型中，概率计算通常采用积分方法。
适用范围与注意事项
古典概型适用于描述具有有 限个可能结果的随机试验， 例如掷骰子、摸球等。
在使用古典概型和几何概型时 ，需要注意区分试验中基本事 件的总数是否有限或无限。
ABCD
几何概型适用于描述具有无限 个可能结果的随机试验，例如 随机落点、随机方向等。
几何概型
概率计算公式为$P = frac{测度}{总测度}$， 其中测度可以是长度、面积、体积等。
古典概型与几何概型
＊对应演练＊
（1）如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一 个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE 和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工 作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 求该地点无 信号的概率是多少？ A． B．
C．
D．
（2）已知棱长为2的正方体有一内切球.若在正方 体内任取一点，求这一点不在球内的概率？
小结
1. 求古典概型的概率的基本步骤为：
(1) 设所求的事件为A；
(2)算出所有基本事件的个数n；
(3)求出事件A包含的所有基本事件数m；
（4）代入公式，求出P(A).
2.几何概型中的三种基本度量为长度、面积和体积， 在解题时要几何概型的区别（基本事件的有限性 和无限性），正确选用几何概型解题.
用图表和列举法解决古典概型问题显得更加直观、 清晰，这种方法可有效地防止重复和遗漏，不失为一种 好的方法，随机试验和事件的结果等都尽收眼底，大家 要好好把握这种方法.
知识点三 几何概型 例2.已知某地铁列车每5分钟一班,在车站停1分钟,求
乘客到达站台立即上车的概率.
【分析】乘客必须在6分钟内的某一时刻到达才能 上车, 或者必须在最后的1分钟内的某一时刻到达才能 立即上车,乘客在某一时刻到达站台都是一个基本事件, 而这基本事件是无限的,于是不能用古典概型计算,应考 虑用几何概型计算.
知识点一 基本事件辨析 判断下列试验是否为古典概型
(1)种下一粒种子观察它是否会发芽;
(2)从直径为250mm~250.6mm的一批合格产品中任意 抽一根，测量其直径d; （3）抛一枚硬币，观察其出现正面或反面向上； （4）某人射击中靶或不中靶；
弄清一次试验的意义以及每个基本事件的含义是解
古典概型和几何概型
一、古典概型1)基本事件:一次试验中所有可能得结果都就是随机事件,这类随机事件称为基本事件.２)基本事件得特点:①任何两个基本事件就是互斥得;②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件得与.３)我们将具有这两个特点得概率模型称为古典概率模型,其特征就是:①有限性:即在一次试验中所有可能出现得基本事件只有有限个。
②等可能性:每个基本事件发生得可能性就是均等得;称这样得试验为古典概型.４)基本事件得探索方法:①列举法:此法适用于较简单得实验.②树状图法:这就是一种常用得方法,适用于较为复杂问题中得基本事件探索。
5)在古典概型中涉及两种不通得抽取放方法,下列举例来说明:设袋中有个不同得球,现从中一次模球,每次摸一只,则有两种摸球得方法:①有放回得抽样每次摸出一只后,任放回袋中,然后再摸一只,这种模球得方法称为有放回得抽样,显然对于有放回得抽样,依次抽得球可以重复,且摸球可以无限地进行下去.②无放回得抽样每次摸球后,不放回原袋中,在剩下得球中再摸一只,这种模球方法称为五放回抽样,每次摸得球不会重复出现,且摸球只能进行有限次.二、古典概型计算公式１)如果一次试验中可能出现得结果有个,而且所有结果出现得可能性都相等,那么每一个基本事件得概率都就是;2)如果某个事件包括得结果有个,那么事件得概率.３)事件与事件就是互斥事件4)事件与事件可以就是互斥事件,也可以不就是互斥事件。
古典概型注意:①列举法:适合于较简单得试验。
②树状图法:适合于较为复杂得问题中得基本事件得探求、另外在确定基本事件时,可以瞧成就是有序得,如与不同;有时也可以瞧成就是无序得,如与相同、三、几何概型事件理解为区域得某一子区域,得概率只与子区域得几何度量(长度、面积或体积)成正比,而与得位置与形状无关,满足此条件得试验称为几何概型.四、几何概型得计算１)几何概型中,事件得概率定义为,其中表示区域得几何度量,表示区域得几何度量。
2)两种类型线型几何概型:当基本事件只受一个连续得变量控制时。
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型一、基础知识1.古典概型(1)古典概型的特征：①有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限的，即只有有限个不同的基本事件；,②等可能性：每个基本事件出现的可能性是相等的.一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.(2)古典概型的概率计算的基本步骤：①判断本次试验的结果是否是等可能的，设出所求的事件为A；②分别计算基本事件的总数n和所求的事件A所包含的基本事件个数m；③利用古典概型的概率公式P(A)＝mn，求出事件A的概率.(3)频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同(1)概念：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型.(2)几何概型的基本特点：①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；②每个基本事件出现的可能性相等.(3)计算公式： P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).几何概型应用中的关注点(1)关键是要构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何度量来求随机事件的概率.(2)确定基本事件时一定要选准度量，注意基本事件的等可能性.考点一 古典概型[典例精析](1)(优质试题·全国卷Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )A.112 B.114 C.115D.118(2)(优质试题·武汉调研)将一枚质地均匀的骰子投掷两次，得到的点数依次记为a 和b ，则方程ax 2＋bx ＋1＝0有实数解的概率是( )A.736B.12C.1936D.518[解析] (1)不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同的数，共有C 210＝45种情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况，所以所求概率P ＝345＝115.(2)投掷骰子两次，所得的点数a 和b 满足的关系为⎩⎪⎨⎪⎧1≤a ≤6，a ∈N *，1≤b ≤6，b ∈N *，所以a和b的组合有36种.若方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，则Δ＝b2－4a≥0，所以b2≥4a.当b＝1时，没有a符合条件；当b＝2时，a可取1；当b＝3时，a可取1,2；当b＝4时，a可取1,2,3,4；当b＝5时，a可取1,2,3,4,5,6；当b＝6时，a可取1,2,3,4,5,6.满足条件的组合有19种，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率P＝19 36.[答案](1)C(2)C[题组训练]1.(优质试题·益阳、湘潭调研)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)e x＋b为减函数的概率是()A.310 B.35C.25 D.15解析：选C若函数f(x)＝(a2－2)e x＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a2－2)e x＋b为减函数的概率是2×25×2＝25.2.从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A.518 B.49C.59 D.79解析：选C由题意得，所求概率P＝5×4×29×8＝59.3.将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是()A.12B.14C.16D.18解析：选B A ，B ，C ，D 4名同学排成一排有A 44＝24种排法.当A ，C 之间是B 时，有2×2＝4种排法，当A ，C 之间是D 时，有2种排法，所以所求概率P ＝4＋224＝14. 考点二 几何概型类型(一) 与长度有关的几何概型[例1] (优质试题·濮阳模拟)在[－6,9]内任取一个实数m ，设f (x )＝－x 2＋mx ＋m ，则函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率等于( )A.215 B.715 C.35D.1115[解析] ∵f (x )＝－x 2＋mx ＋m 的图象与x 轴有公共点，∴Δ＝m 2＋4m ≥0，∴m ≤－4或m ≥0，∴在[－6,9]内取一个实数m ，函数f (x )的图象与x 轴有公共点的概率P ＝[－4－(－6)]＋(9－0)9－(－6)＝1115，故选D.[答案] D类型(二) 与面积有关的几何概型[例2] (1)(优质试题·潍坊模拟)如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )A.14 B.13 C.23D.34(2)(优质试题·洛阳联考)如图，圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域记为M (图中阴影部分)，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率是( )A.4π2 B.4π3 C.2π2D.2π3[解析] (1)设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos 120°，得BG ＝33，所以S △BCG ＝12×BG ×BG ×sin 120°＝12×33×33×32＝312，因为S 六边形ABCDEF ＝S △BOC ×6＝12×1×1×sin 60°×6＝332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P ＝1－6S△BCGS 六边形ABCDEF＝23.(2)由题意知圆O 的面积为π3，正弦曲线y ＝sin x ，x ∈[－π，π]与x 轴围成的区域记为M ，根据图形的对称性得区域M 的面积S ＝2∫π0 sin x d x ＝－2cos x |π0 ＝4，由几何概型的概率计算公式可得，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域M 内的概率P ＝4π3.[答案] (1)C (2)B类型(三) 与体积有关的几何概型[例3] 已知在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O -ABCD 的体积不小于23的概率为________.[解析] 当四棱锥O -ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P -ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，所以PH P A ＝34， 又四棱锥P -ABCD 与四棱锥P -EFGH 相似，所以四棱锥O -ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P -EFGH V 四棱锥P -ABCD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫PH P A 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫343＝2764.[答案] 2764类型(四) 与角度有关的几何概型[例4] 如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝3，BC ＝1，以A 为圆心，1为半径作四分之一个圆弧，在∠DAB 内任作射线AP ，则射线AP 与线段BC 有公共点的概率为________.[解析] 连接AC ，如图， 因为tan ∠CAB ＝BC AB ＝33，所以∠CAB ＝π6，满足条件的事件是直线AP 在∠CAB 内，且AP 与AC 相交时，即直线AP 与线段BC 有公共点，所以射线AP 与线段BC 有公共点的概率P ＝∠CAB ∠DAB＝π6π2＝13. [答案] 13[题组训练]1.(优质试题·豫东名校联考)一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是AB 的中点，一只蝴蝶在几何体ADF -BCE 内自由飞翔，则它飞入几何体F -AMCD 内的概率为( )A.34 B.23 C.13D.12解析：选D 由题图可知V F -AMCD ＝13×S 四边形AMCD ×DF ＝14a 3，V ADF -BCE＝12a 3， 所以它飞入几何体F -AMCD 内的概率P ＝14a 312a 3＝12.2.在区间[0，π]上随机取一个数x ，则事件“sin x ＋cos x ≥22”发生的概率为________.解析：由题意可得⎩⎨⎧sin x ＋cos x ≥22，0≤x ≤π，即⎩⎨⎧sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥12，0≤x ≤π，解得0≤x ≤7π12，故所求的概率为7π12π＝712. 答案：7123.(优质试题·唐山模拟)向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率为________.解析：如图，连接CA ，CB ，依题意，圆心C 到x 轴的距离为3，所以弦AB 的长为2.又圆的半径为2，所以弓形ADB 的面积为12×23π×2－12×2×3＝23π－3，所以向圆(x －2)2＋(y －3)2＝4内随机投掷一点，则该点落在x 轴下方的概率P ＝16－34π.答案：16－34π[课时跟踪检测]A 级1.(优质试题·衡水联考)优质试题年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币.如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22 mm ，面额100元.为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是( )A.363π10 mm 2 B.363π5 mm 2 C.726π5 mm 2D.363π20 mm 2解析：选A 向硬币内投掷100次，恰有30次落在军旗内，所以可估计军旗的面积大约是S ＝30100×π×112＝363π10(mm 2).2.(优质试题·漳州一模)甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“《论语》知识大赛”，决出第1名到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”，从上述回答分析，丙是第一名的概率是( )A.15B.13C.14D.16解析：选B 由于甲和乙都不可能是第一名，所以第一名只可能是丙、丁或戊.又因为所有的限制条件对丙、丁或戊都没有影响，所以这三个人获得第一名是等可能事件，所以丙是第一名的概率是13.3.(优质试题·郑州模拟)现有5人参加抽奖活动，每人依次从装有5张奖票(其中3张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到3张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第4人抽完结束的概率为()A.110 B.15C.310 D.25解析：选C将5张奖票不放回地依次取出共有A55＝120(种)不同的取法，若活动恰好在第四次抽奖结束，则前三次共抽到2张中奖票，第四次抽到最后一张中奖票，共有C23C12A33＝36(种)取法，所以P＝36120＝310.4.(优质试题·长沙模拟)如图是一个边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为()A.π8 B.π16C.1－π8 D.1－π16解析：选C正方形的面积为82，正方形的内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为π×42－π×22－4×π×12＝8π，所以黑色区域的面积为82－8π.在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为P＝82－8π82＝1－π8.5.(优质试题·郑州模拟)已知圆C：x2＋y2＝1，直线l：y＝k(x＋2)，在[－1,1]上随机选取一个数k，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为()A.12 B.2－22C.3－33 D.2－32解析：选C圆C：x2＋y2＝1的圆心C(0,0)，半径r＝1，圆心到直线l：y＝k(x＋2)的距离d＝|0×k－0＋2k|k2＋(－1)2＝2|k|k2＋1，直线l与圆C相离时d＞r，即2|k|k2＋1＞1，解得k＜－33或k＞33，故所求的概率P＝2×⎝⎛⎭⎪⎫1－331－(－1)＝3－33.6.从1～9这9个自然数中任取7个不同的数，则这7个数的平均数是5的概率为________.解析：从1～9这9个自然数中任取7个不同的数的取法共有C79＝36种，从(1,9)，(2,8)，(3,7)，(4,6)中任选3组，有C34＝4种选法，故这7个数的平均数是5的概率P＝436＝19.答案：1 97.一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称这个三位数为“好数”(如213,134)，若a，b，c ∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“好数”的概率是________.解析：从1,2,3,4中任选3个互不相同的数并进行全排列，共组成A34＝24个三位数，而“好数”的三个位置上的数字为1,2,3或1,3,4，所以共组成2A33＝12个“好数”，故所求概率P＝1224＝12.答案：1 28.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，展现了一种相互转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在如图所示的平面直角坐标系中，圆O被函数y＝3sin π6x的图象分割为两个对称的鱼形图案，其中小圆的半径均为1，现在大圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为________.解析：根据题意，大圆的直径为函数y＝3sin π6x的最小正周期T，又T＝2ππ6＝。
古典概型与几何概型
B 所含的样本点数为
C82C332 C83C322 C84C312 C85C302
显然这样计算是比较麻烦的．
⑶ 事件 C 所含的样本点数为C85 ．所以
PC
C85 C450
8.5105105 ．
第一章 第三节 古典概型
23
例4
同时掷 5 颗骰子，试求下列事件的概率：
⑴ A 5颗骰子不同点 ；⑵ B 5颗骰子恰有 2个同点； ⑶ C 5颗骰子中有 2个同点，另外 3颗同是另一个点 ．
第一章 第三节 古典概型
7
古典概型中事件概率的计算公式
设 A 是一个随机事件，假设 A 中 含有 m 个样本点，即
， A i1 , i2 , , im
则 PA P i1 , i2 , , im Pi1 Pi2 Pim
1 1 1 m n n n n
m个
第一章 第三节 古典概型
位置放黑球，共有 Caab 种不同的放法．这就是样本点 总数．
先在第 k 个位置上放黑球，有1 种放法；然后在其
余 a b 1个位置上选 a 个位置放白球， b 1 个位置
放黑球，有
Ca a b 1
种不同的放法．因此
P
A
Ca ab1
Caab
a
b
b
．
第一章 第三节 古典概型
20
例3
一批产品共 40 件，其中有 8 件次品，从中取出 5 件．试
则样本点总数为 10． 又一个自然数的平方后的个位数为 1 当且仅当该数
的个位数为 1 或者 9，即随机事件 A 中含有 2 个样本 点．所以，
PA
2 10
0.2
．
第一章 第三节 古典概型
古典概型和几何概型
Ｃ ＝ ４ ５ 。 ．令 ＡＣ ＝ Ｉ ， 则Ｐ（ Ｃ ） ＝
ｓ ｜ △ ２
ｄ 的测 度 △ Ａ ｃ ｃ 一、 ／
区 域 应满 足｛ ， 则 Ｐ （ Ｄ ） ＝ Ｉ ＂ Ｄ Ｂ Ｅ Ｆ Ｇ ＝
｛ ＋ ＞ ｖ ．
３ ２
二、 古 典 概 型 与 几 何 概 型 的 辨 别
下：
件。 并用字母表示所求事件．
求解 的关键是要 注意古典概 型与几
② 计算基 本 事件 的个 数／ １ ， 及事
件Ａ中所包含 的基本事件的个数ｒ ｔ ＇ ， ／ ．
何概型 的区别 （ 基本事件的有限性 和无 限性 ） 。 构造 出随机 事件对应 的
几何 图形 ． 利用 图形 的几 何度量来
古典概型和几何概 型都是特殊的随机事件概率模型 ， 是高考常考 的知识点 ． 高
考试卷 中， 古典概型和几何概型常以选择题、 填空题 的形式出现 ， 有时也有解答题 ， 属 中、 低档题 目： 理科绝大多数 与排列组合 、 分布列、 期望、 方差、 平面几何 、 函数、 向 量等一起综合考查 ． ，
古典概型和 几何概型
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
黼
０ 甘肃 山丹县第一 中学
王
盛
重点 ：明确古典概 型的等可能 性和有限性 ；明确几何概 型的等可 能性 和无 限性． 会 灵活应用古典 概 型 和几何概 型 的概率 计算公 式 。 特 别是 古典概 型 中 。 文科学 生主要 掌 握借助表格 、树形 图用列举 法求解
序” ．
（ １ ） 对简单的概率问题要能迅速 判 断出是 哪种类 型的概 率问题 。 再 套用公式解决．
古典概型与几何概型
古典概型与几何概型一、古典概型 1、定义（1）样本空间的元素只有有限个； （2）每个基本事件发生的可能性相同。
比如：抛掷一枚均匀硬币的试验，抛掷一枚均匀骰子的试验,从一副扑克牌中随机抽取一张。
称具备条件（1）、（2）的实验称为等可能概型，考虑到它在概率论早期发展中的重要地位，又把它叫做古典概型。
2、古典概型中事件概率的计算设{}ωωωn ，，， 21=Ω ，由古典概型的等可能性，得}{}{}{21n P P P ωωω=== 又由于基本事件两两互不相容；所以},{}{}{}{121n P P P P ωωω ++=Ω=.,,2,1,1}{n i n P i ==ω若事件A 包含m 个样本点，即{}ωωωi i i A m,,,21 =， 则有 ：中元素个数中元素个数Ω=A P(A)基本事件总数发生的基本事件数使A =n m= 1．（2010佛山一模）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数： 5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281 据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为 （ ） A ．0.85 B ．0.8192 C ．0.8 D ． 0.752．(2007·广东)在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是A ．310B ．15C ．110D ．1123.（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为 .4．（2009·安徽文）从长度分别为2、3、4、5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________。
古典概型和几何概型的意义和主要区别
专题六作业：3．在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，是否更有利于从事相应的教学，举例说明；在初中阶段的教学过程中，作为教师，理解古典概型和几何概型的意义和主要区别，更有利于从事相应的数学教学。
一、古典概型1、古典概型的意义如果随机试验E具有下列性质：（1）E的所有可能结果（基本事件），只有有限多个；（2）E的每一个可能结果（基本事件），发生的可能性大小相等；则称E为有限等可能型随机试验或等可能概型。
因为它是概率论发展初期的主要研究对象，所以它被称为古典概型.2.古典概型的两个基本特点（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，由试验产生随机数。
（2）每个基本事件出现的可能性相等.2、常见的三种古典概型基本模型(1) 摸球模型；同类型的问题还有1) 中彩问题；2) 抽签问题；3) 分组问题；4) 产品检验问题；5) 扑克牌花色问题；6) 英文单词、书、报及电话号码等排列问题.(2) 分房问题；同类型的问题还有：1) 电话号码问题2) 骰子问题3) 英文单词、书、报等排列问题.(3) 随机取数问题.同类型的问题还有：1) 球在杯中的分配问题(球→人，杯→房)2) 生日问题；(日→房，N=365天) ( 或月→房，N=12月)3) 旅客下站问题；( 站→房)4) 印刷错误问题；(印刷错误→人，页→房)5) 性别问题(性别→房，N=2)在老教材中的古典概型是强调用排列组合的公式计算事件个数，而新教材中的古典概型是强调利用枚举法，画树形图来排出所有的事件个数。
二、几何概型1 ．几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点。
用这种方法处理随机试验，称为几何概型．（这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等）2 ．几何概型的基本特点：（ 1 ）基本事件的个数，有无限多个。
古典概型与几何概型
例1.9 一个地质构造由9层构成:4个页岩层、3个砂 岩层和2个石灰岩层．假设这些层是随机排列的,如 果在上面3层凿一个洞．这3个样本层都是页岩层的 概率是多少?
解：从9层中依次取3层, 所有可能的取法为987, 都是页岩层的所有可能取法为432.因此所求概 率为:
p4320.476 987
3!1284 3! 12!.
4 44
4!4!4!
12!
mN 1 P(A)nNmNm1
（2）从N个盒子中取出m个盒子的总取法为CNm, m个棋子落入选出的m个盒子(每盒一个棋子)里共 有m!种方法，因而B中所含样本点个数为：
mm!CNm
P(B)
m!CNm Nm
N! Nm(N m)!
例1.14 在1～2000的整数中随机地取一个数,问取到 的整数即不能被6整除,又不能被8整除的概率是多 少?
若B发生，即3次取的小球中有2次取的是红球,一 次取的是白球,考虑到红球出现的次序，中所含样 本点个数m=C32×42×6 , 所以
P(B)m nC32 143 0260.288
2)无放回抽样
第一次从10个小球中抽取1个,由于不再放回,因此
第二次从9个小球中抽取1个,第三次从8个小球中
抽取1个,因而样本空间中的元素个数 n=1098.
8
故得 P(B) 250 2000
又由于一个数同时能被6与8整除,就相当于能被24 整除,因此,由
83 200084 24
得 P(AB) 83 2000
于是, 所求概率为:
p1 2 30 30 2 3 2050 2 0 803 01 02 50 00 4 3 00
例7 将15名新 生随机 地到 平三 均个 分班 配级
古典概型与几何概型
(2)摸出的3个球为2个黄球1个白球的概率是多少？
(3)假定一天中有100人摸奖，试从概率的角度估算一下这 个摊主一个月（按30天计）能赚多少钱？
书P149 例4 举一反三
引例：在x轴[0,3]上任取一点，求此点的横坐标小于1的概率？ P150基础梳理 二．1.几何概型的概念： 一个随机试验，将每个基本事件理解为从给定的几何区 域D内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样； 而一个随机事件A的发生则理解为恰好取到上述区域内的某 个指定区域d中的点．用这种方法处理随机试验，称为几何 概型． 2. 几何概型的特点 (1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； (2)每个基本事件出现的可能性相等．
书P148基础达标1
举一反三： 判断下列命题正确与否. （1）先后抛掷两枚均匀硬币，有人说一共出现“两枚正 面”，“两枚反面”，“一枚正面，一枚反面”三种结果，
1 因此出现“一枚正面，一枚反面”的概率是 3
;
（2）射击运动员向一靶心进行射击.试验的结果为：命中 10环，命中9环,…，命中0环，这个试验是古典概型； 书P148例1（1）（2）
基础梳理
2．古典概型定义： （1）有限性：在一次试验中,可能出现的基本事 件只有有限个。 （2）等可能性：每个基本事件发生的可能性是 相等的。 具有这两个特征的概率模型称为古典概率 模型简称古典概型．
3、古典概型计算公式
事件A包含的基本事件数 m P（A）= 试验的基本事件总数 n
例1: 下列概率模型中，是古典概型的有_____ ①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率； ②从1-10中任意取出一个整数，求取到1的概率； ③向一个正方形ABCD内投掷一个点，求P恰好与 A点重合的概率； ④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率；
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试卷化作业之古典概型、几何概型
班级 姓名 评价等级 批阅日期
1．随机掷一枚质地均匀的硬币三次，至少有一次正面朝上的概率为 ( ) A.78 B.18 C.38 D.58
2．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是 ( ) A.12 B.13 C.14 D.16
3．甲、乙两人一起去游玩，他们约定，各自独立地从1至6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后1小时他们同在一个景点的概率是 ( )
A.136
B.19
C.536
D.16
4．在一盒子中有编号为1,2的红色球2个，编号为1,2的白色球2个，现从盒子中摸出2个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的2个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率是 ( )
A.16
B.14
C.13
D.12
5．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 ( )
A.13
B.12
C.23
D.34
6．从1,2,3,4这4个数字中任意取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个数能被3整除的概率为 ( )
A.13
B.12
C.23
D.34
7．已知直线l 1∶x －2y －1＝0，直线l 2∶ax －by ＋1＝0，其中a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}．则直线l 1与l 2的交点位于第一象限的概率为 ( )
A.16
B.13
C.12
D.56
8．已知P 是△ABC 所在平面内一点，PB →＋PC →＋2P A →＝0，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，
则黄豆落在△PBC 内的概率是 ( )
A.14
B.13 .12 D.23
9．在线段AB 上任取一点P ，以P 为顶点，B 为焦点作抛物线，则该抛物线的准线与线段AB 有交点的概率是 ( )
A.13
B.12
C.23
D.34
10．任意画一个正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了4个正方形，如图所示，若向图形中随机投一点，则所投点落在第四个正方形中的概率是 ( ) A.24 B.14 C.18 D.116
11．已知函数f (x )＝ax 2－bx －1，其中a ∈(0,2]，b ∈(0,2]，在其取值范围内任取实数a ，b ，则函数f (x )在区间[1，＋∞)上为增函数的概率为 ( ) A.12 B.13 D.34
12．同时抛掷两颗骰子，得到点数分别为a ，b 则|a －b |≤1的概率是________．
13．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y ＝5下方的概率为________．
14．现有10个数，它们能构成一个以1为首项，－3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是________．
15．某学生几次数学测试成绩的茎叶图如图所示，将该学生成绩作为一个总体，从总体中任取两次成绩作为一个样本，则样本平均数大于总体平均数的概率是________．
16．在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为________．
17．已知△ABC 的面积等于S ，在△ABC 的边AB 上任取一点P ，则△PBC 的面积不小于S 7
的概率等于________．
18．点P 是圆x 2＋y 2＋2x －3＝0上任意一点，则点P 在第一象限内的概率为________．
19．已知集合Ω＝{(x ，y)|x ＋y ≤6，x ≥0，y ≥0}，A ＝{(x ，y)|x ≤4，y ＞0，x －y 2≥0}，若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是________．
20．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.
(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片中至少有一张蓝色的概率；
(2)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．。