椭圆 基础

选修1-1 2.1 椭圆
一、基础知识：
1、椭圆的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数( 大于|F1F2|)
的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的，两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的．
☆思考：平面内动点M满足|MF1|＋|MF2|＝2a，当2a＝|F1F2|时，点M的轨迹是什么？当2a<|F1F2|时呢？
|x|≤a；|y|≤b |x|≤b；|y|≤a
曲线关于X轴、y轴对称曲线关于X轴、y轴对称
长轴顶点(0，±a)
短轴顶点(±b,0)
(0，±c)
x2 a2＋y2
b2＝1(a＞b＞0)
y2
a2＋
x2
b2＝1(a＞b＞
（一）求椭圆的标准方程：
1、一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题．
2、求椭圆的标准方程时，要“先定型，再定量”，即要先判断焦点位置，再用待定系数法设出适合题意的椭圆的标准方程，最后由条件确定待定系数即可．
注意：当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设为x 2m ＋y 2
n ＝1(m >0，n >0，m ≠n )，也可设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0且A ≠B ). 3、用待定系数法求椭圆方程的一般步骤
(1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能．
(2)设方程：根据上述判断设方程x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)或x 2b 2＋y 2
a
2＝1(a >b >0)．
(3)找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 例一、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)； (2)焦点在y 轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)．
变式训练1 根据下列条件，求椭圆的标准方程．
(1)坐标轴为对称轴，并且经过两点A (0,2)和B (1
2
，3)；
(2)经过点(2，－3)且与椭圆9x 2＋4y 2＝36有共同的焦点．
(二)利用圆的定义求椭圆的方程
思路：先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义，若符合
椭圆的定义，则用待定系数法求解即可
例二、已知动圆M 过定点A (－3,0)，并且内切于定圆B ：(x －3)2＋y 2＝64，求动
圆圆心M 的轨迹方程．
（三）椭圆定义的应用
椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形 解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．
例三、已知P 为椭圆x 216＋y 2
9＝1上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积S .
（四）椭圆的简单几何性质求解
1、已知椭圆的方程讨论其性质时，应先把椭圆的方程化成标准形式，找准a 与b ，求顶点
坐标和焦点坐标时，应注意焦点所在的坐标轴
1．椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1，有－a ≤x ≤a ，
－b ≤y ≤b,0<e <1等，在求与椭圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值或最小值时，经常用到这些不等关系．
2．求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形进行
分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形．当涉及到顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系．
3．求椭圆离心率问题，应先将e 用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出
关于e 的等式或不等式，从而求出e 的值或范围．离心率e 与a 、b 的关系：e 2
＝c 2a 2＝a 2－b 2a
2
＝1－b 2a 2⇒b a
＝1－e 2
.
例四、求椭圆4x 2＋9y 2＝36的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率
（五）利用几何性质求标准方程
思路关键：1、确定为x 还是y 型椭圆 2、求出a 、b 、c 3、得出标准方程 例五、求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)长轴长是6，离心率是2
3
；
(2)在x 轴上的一个焦点，与短轴的两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.
（六）椭圆的离心率
常见思路：一是先求a ，c ，再计算e ；二是依据条件中的关系，结合有关知识和a 、b 、
c 的关系，构造关于e 的方程，再求解．注意e 的范围：0<e <1.
例六、过椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠
F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为 ( )
A.22
B.33
C.12
D.13
☆ 补充：
1、椭圆的定义中若|F 1F 2|＝2a 时动点的轨迹是线段F 1F 2， |F 1F 2|>2a 时动点的轨迹是不存在的．
2、椭圆中有一个十分重要的三角形OF 1B 2(如下图)，它的三边长分别为a 、b 、c .易见c 2＝a 2－b 2，且若记∠OF 1B 2＝θ，则cos θ＝c
a ＝e .
3、椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个量，其取值范围是0<e <1.离心率越大，椭圆越扁；离心率越小，椭圆越接近于圆．
★课后练习
1.圆6x 2
+ y 2
=6的长轴的端点坐标是
A.(-1,0)､(1,0)
B.(-6,0)､(6,0)
C.(-6,0)､(6,0)
D.(0,-6)､(0,6)
2.离心率为23
,且过点(2,0)的椭圆的标准方程是
A.1422=+y x
B.1422=+y x 或142
2
=+y x C.1412
2
=+y x D.1
4
22=+y x 或11642
2=+y
x
3.椭圆1222
2=+b y a x 和k b y a x =+22
22(k >0)具有
A.相同的离心率
B.相同的焦点
C.相同的顶点
D.相同的长､短轴
4．(教材习题改编)椭圆x 210－m ＋y 2
m －2
＝1的焦距为4，则m 等于( )
A ．4
B ．8
C ．4或8
D ．12
5．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12， 离心率为1
3
，则椭圆方程为 ( )
A.x 2144＋y 2128＝1
B.x 236＋y 2
20＝1
C.x 232＋y 236＝1
D.x 236＋y 2
32
＝1
6.椭圆192522=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为
A.5
B.6
C.4
D.10
7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该 椭圆的离心率是 ( )
A.45
B.3
5
C.25
D.15
8.已知F 1、F 2为椭圆122
2
2=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点，过F 2作椭圆的弦AB ，若
△AF 1B 的周长为16，椭圆离心率
23
=
e ,则椭圆的方程是
A.13422=+y x
B.131622=+y x
C.1121622=+y x
D.14162
2=+y x
9.已知F 1､F 2是椭圆19252
2=+y x 的两个焦点,AB 是过焦点F 1的弦,若︱AB ︳=8,则︱F 2A ︳+︱
F 2B ︳的值是
A.16
B.12
C.14
D.8
10．(教材习题改编)已知椭圆x 25＋y 2m ＝1的离心率e ＝10
5
，则m 的值
为________．
11．(教材习题改编)设P 是椭圆x 225＋y 2
16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆
的两焦点，则△PF 1F 2的周长为________．
12.椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(-10，0)，则焦点坐标
是 .
13、到两定点F 1(0，－1)，F 2(0,1)的距离的和等于4 的动点M 的轨迹方程是_______________.
14、已知P 为椭圆x 216＋y 2
9＝1上的点，F 1，F 2是椭圆的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，求△F 1PF 2
的面积．
15、求椭圆4x 2＋y 2＝1的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
16、已知椭圆的两个焦点为F 1、F 2，A 为椭圆上一点，且AF 1⊥AF 2，∠AF 2F 1＝60°，求该椭圆的离心率．
17、 已知动圆M 和定圆C 1：x 2＋(y －3)2＝64内切，而和定圆C 2：x 2＋(y ＋3)2＝4外切．求动圆圆心M 的轨迹方程．。