牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式

2
t(t
0
2)dt
2 3
C2
(1) 0 2 2!0!
2
t(t 1)dt
0
1 6
P130 表６-1给出了n从1～8的柯特斯系数。
当n = 8时，从表中可以看出出现了负系数，从 而影响稳定性和收敛性，因此实用的只是低阶公式。
数值计算方法
b
1dx 1
a
显然, Ck是不依赖于积分区间[a,b]以及被积函数
f(x)的常数,只要给出n,就可以算出柯特斯系数,譬
如当n=1时
C0
1 1 0!1!
1
(t
0
1)dt
1 2
C1
1
tdt
1
0
2
当n=2时
C0
(1) 2 2 0!2!
2
(t 1)(t 2)dt
0
1 6
C1
(1)1 2 1!1!
k!(n k)!hn 0
(b a) (1)nk
nn
( (t i))dt
nk!(n k)! 0 i0
ik
引进记号
Ck
(1) nk nk!(n k )!
nn
(
0 i0
(t i))dt
ik
( k=0,1…,n )
则
Ak (b a)Ck ( k=0,1…,n )
代入插值求积公式(6.4)有
这里 lk (x) 是插值基函数。即有
Ak
b
a lk (x)dx
bn a
i0
x xi dx xk xi
ik
将积分区间[a,b] 划分为n等分, 步长 h b a
n
求积节点为 xk a kh(k 由于 xk xi (k i)h , 所以
数值计算方法
牛顿—柯特斯(Newton-Cotes)求积公式
在插值求积公式
b
b
n
f (x)dx P(x)dx
a
a
Ak f (xk )
k 0
中,当所取节点是等距时称为牛顿-柯特斯公式
其中
插值多项式 求积系数
n
P(x) lk (x) f (xk ) k 0
b
Ak a lk (x)dx
(xk x0 )(xk xk1 )( xk xk1 )(xk xn ) (1)nk k!(n k)!hn
作变量代换 xk a th 当 x a,b 时,有 t 0, n
,于是可得
Ak
b
a lk (x)dx
bn a
i0
x xi dx xk xi
(1)nk
ik
nt(t 1)(t k 1)(t k 1)(t n)hnhdt
b
n
f (x)dx (b a)
a
Ck f (xk )
k 0
称为牛顿-柯特斯求积公式,Ck称为柯特斯系数
容易验证
n
Ck 1
k 0
∵
Ck
1 ba
Ak
b
Ak a lk (x)dx
∴
n
Ck
k 0
n
1
k0 b a
b
a lk (x)dx
1
ba
b a
n
lk
k 0
( x)dx
b
1
a