最新教案竖直平面内的圆周运动及实例分析

竖直平面内的圆周运动及实例分析
说明：竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动(带电粒子在匀强磁场中运动除外)，运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以对此要根据牛顿第二定律的瞬时性解决问题：在变速圆周运动中，虽然物体在各位置受到的向心力分别产生了物体通过各位置的向心加速度，但向心力公式仍是适用的．但要注意，对于物体做匀速圆周运动的情况，只有在物体通过最高点和最低点时，向心力才是合外力．一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。

同时，还可以向学生指出：此问题中出现的对支持面的压力大于或小于物重的现象，是发生在圆周运动中的超重或失重现象．
一、教学目标： 1.知识与技能：
（1）理解匀速圆周运动是变速运动；
（2）进一步理解向心力的概念；（3）掌握竖直平面内最高点和最低点的圆周运动。

2.过程与方法：
通过对竖直平面内特殊点的研究，培养学生观察能力、抽象概括和归纳推理能力。

3.情感态度价值观：渗透科学方法的教育。

二、重点难点：
教学重点：分析向心力来源． 教学难点 ：实际问题的处理方法．
向心力概念的建立及计算公式的得出是教学重点，也是难点。

通过生活实例及实验加强感知，突破难点。

三、授课类型：习题课 四、上课过程： （一）、情景引入： （二）、两类模型——轻绳类和轻杆类
(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做
圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m r
v 2
，这时的速度是做圆周
运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）.
类此模型：竖直平面内的内轨道，竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动，水流星的运动（水流星在竖直平面内作圆周运动过最高点的临界条件），过山车运动等，
A O
(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.）
①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力； ②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力 于小球的重力； ③当v ＝gr 时，杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时，杆对小球提供 力.
类此模型：汽车过凸形拱桥，小球在竖直平面内的（光滑）圆环内运动，小球套在竖直圆环上的运动等。

（三）、例子讲解
1、圆周运动中绳模型的应用
【例题1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。

设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点 B 时恰好对轨道无压力。

求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。

【训练1】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求： (1)最高点水做圆周运动的最小速率。

(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力． r
B A h
v
R 2、圆周运动中的杆模型的应用
【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求： (1)小球通过最高点时的最小速度；
(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？
【训练2】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ）
A.小球到达最高点的速度必须大于gL
B .小球到达最高点的速度可能为0
C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力
D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力
牛刀小试：
【练习1】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。

若小球恰能在圆环轨道中完成圆周运动，则小球在通过最高点时 受到轨道给它的作用力为___________。

若小球通过圆环轨道 最高点时速度恰为gL ，则小球在通过最高点时受到轨道给 它的作用力为___________。

【练习2】如图所示，用一连接体一端与一小球相连，绕过O 点的水平轴在竖直平面内做圆周运动，设轨道半径为r ，图中P 、Q 两点分别表示小球轨道的最高点和最低点，则以下说法正确的是( )
A.若连接体是轻质细绳时，小球到达P 点的速度可以为零
B.若连接体是轻质细杆时，小球到达P 点的速度可以为零
C.若连接体是轻质细绳时，小球在P 点受到细绳的拉力可能为零
D.若连接体是轻质细杆时，小球在P 点受到细杆的作用力为拉力， 在Q 点受到细杆的作用力为推力 O L m
填写表格：
轻绳模型轻杆模型常见类型
过最高点的临界条件动力学规律：
临界速度：
小球能运动即可
V=0
讨论分析1、能通过最高点条件
是：
a\动力学规律：
b\物体受弹力方向：
1、当时，杆对小球的支持力
小球的重力，方向为：
2、当时，
杆对小球的支持力于零
2、不能通过最高点的条
件是：
3、当，杆提供力，
动力学规律：
方向指向；且随速度的增大而；
3、在只有重力做功的情况
下，质点在最低点的速度
不得小于，质点
才能运动过最高点；
d\过最高点的最小向心加
速度
4、当时，支持力于小
球的重力；方向指向；且随速度的增大
而；
5、质点在只有重力做功的情况下，最低点
的速度，才能运动到最高点。

过
最高点的最小向心加速度。

过最低点时：
轻杆和轻绳都只能提供拉力，向心力的表达式相同，即，向心加速度的表达式也相同，即。

质点能在竖直平面内做圆周运动（轻绳或轻杆）：证明质点运动到最低点和最高点的向心力之差等于4mg，向心加速度大小之差等于。

证：
基础巩固、
1．如图6-11-5所示，细线的一端有一个小球，现给小球一初速度，使小球绕细线另一端O 在竖直平面内转动，不计空气阻力，用F 表示
球到达最高点时细线对小球的作用力，则F 可能 （ ）
A ．是拉力
B ．是支持力
C ．等于零
D ．可能是拉力，可能是支持力，也可能等于零
2．如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O 点的水
平轴自由转动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a 、b 分别
表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是 （ ）
A ．a 处为拉力，b 处为拉力
B ．a 处为拉力，b 处为推力
C ．a 处为推力，b 处为拉力
D ．a 处为推力，b 处为推力
3．长为L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。

现给小球一个初速度，使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v ，则下列叙述正确的是 （ ）
A ．v 的最小值为gL
B ．v 由零逐渐增大，向心力也逐渐增大
C ．v 由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大
D ．v 由gL 逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大
4．质量为m 的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点而不脱离轨道的临界速度为v ，当小球以2v 的速度经过最高点时，对轨道的压力是 （ ）
A ．0
B ．mg
C ．3mg
D ．5mg
5．长为L 的细绳一端拴一质量为m 的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动并恰能通过最高点，不计空气阻力，设小球通过最低点和最高点时的速度分别为1v 和2v ，细线所受拉力分别为1F 、2F ，则 （ ）
A ．1v =5gL
B ．2v = 0
C ． 1F = 5mg
D ．2F = 0
6．质量可忽略，长为L 的轻棒，末端固定一质量为m 的小球，要使其绕另一端O 图6-11-5
a O · b
点在竖直平面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为（）
A．v≥2gL B．v≥3gL C．v≥2gL D．v≥5gL
7.如图所示光滑管形圆轨道半径为R（管径远小于R）固定，小球a、b大小相同，质量相同，均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，以下说法正确的是（）
A．速度v至少为，才能使两球在管内做圆周运动
B．当v=时，小球b在轨道最高点对轨道无压力
C．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a比小球b所
需向心力大5mg
D．只要v≥，小球a对轨道最低点压力比小球b对轨道最高点压力都大6mg
8．如图所示，位于竖直平面内的过山车轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，一切摩擦不计，圆形轨道的半径为R。

一质量为m的过山车从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动。

（1）若要求过山车安全通过圆形轨道最高点B，过山车过圆形轨道最高点B的速度至少是多少？
（2）为使过山车在B点达到该速度，A点的高度应该是多少？
（3）要求物块能通过圆形轨道最高点B，且在该最高点与轨道间的压力不能超过5mg（g为重力加速度）。

求物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h的取值范
9．如图6-11-8所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：
v为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？
（1）小球在最高点A时速度
A
（2）小球在最高点A时，杆对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少？
（3）如m = 0.5kg, L = 0.5m, A v = 0.4m/s, 则在最高点A 和最低点B 时, 杆对小球m 的作用力各是多大? 是推力还是拉力?
A 图6-11-8
O A v。