广东省湛江市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题

广东省湛江市第一中学2023-2024学年高一下学期第一次月考
数学试题
一、单选题
1．已知复数(12)(2)z i i =+-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数在复平面内对应的点为（ ） A ．（3，4） B ．（3，－4） C ．（4，3）
D ．（4，－3）
2．已知AD 是△ABC 的中线，AB a u u u r r
=，AD b =u u u r r ，以,a b r r 为基底表示AC u u u r ，则AC u u u r ＝（ ）
A ．12(a b -r r )
B ．2b a -r r
C ．12
(b a -r r )
D ．2b a +r r
3．若一个几何体存在两个全等的矩形面，则这个几何体可能是（ ） A ．三棱柱
B ．四棱台
C ．三棱锥
D ．圆锥
4．已知向量a r ，b r ，且||2a =r ，||1b =r ，a b
⊥r r ，则|2|a b -=r r （ ）
A ．8
B ．9
C D
5．已知α为锐角，若πsin 24α⎛
⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α=（ ）
A B ．C ．2 D ．23
6．如图所示，矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，其中6cm O A ''=，
2cm C D ''=，则原图形OABC 的面积是（ ）2cm .
A ．12
B ．
C ．6
D ．
7．在ABC V 中，AC =O 是ABC V 的外心，M 为BC 的中点，8AB AO ⋅=u u u r u u u r
，N 是直线
OM 上异于M 、O 的任意一点，则AN BC ⋅=uuu r uu u r
（ ）
A ．3
B ．6
C ．7
D ．9
8．记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22222
2a b a b c
c ab
-+-=
，若ABC V 为锐角三角形，则角B 的取值范围是（ ） A ．π0,6⎛⎫
⎪⎝⎭
B ．ππ,64⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．ππ,43⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭
二、多选题
9．【多选题】已知()(),24,a t b t =-=-r r
，，则（ ）
A ．若//a b r r ，则t =±
B ．若a b ⊥r r ，则0=t
C ．a b -r
r 的最小值为2
D ．若向量a r
与向量b r 的夹角为钝角，则t 的取值范围为()0,∞+
10．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法正确的是（ ）
A ．若A
B >，则sin sin A B >
B ．若602 1.74A c a =︒==，，，则AB
C V 只有一解 C ．若tan a
A b
=，则ABC V 为直角三角形 D ．cos cos cos 0A B C ++>
11．在ABC V 中，D 、E 为
AB 边上的两点，且AE ED DB == ）
A ．若CD =ABC V 为钝角三角形
B ．若π3ACD ∠=，则AB
C V
C ．若π
3
ACD ∠=
，则BC
D ．若π3ACD BC
E ∠=∠=
，则cos DCE ∠=
三、填空题
12．已知i 是虚数单位，复数z 满足
2i i
z
z =-+，则复数z 的模为.
13．已知函数()()sin πf x x ω=（其中0)ω>在区间()0,1上单调递增，且在区间()0,7上有3个零点，则ω的取值范围为.
14．在锐角ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c S 为ABC V 的面积，且222()a S b c =+-，
则222sin sin sin sin B C B C
+的取值范围为.
四、解答题
15．如图，在平面直角坐标系xOy 中，22OA AB ==u u u r u u u r ，2π3
OAB ∠=，(BC =-u u u
r ．
(1)求点B ，C 的坐标；
(2)判断四边形OABC 的形状，并求出其周长．
16．已知函数()1
cos 2
f x x x m ωω=
--，其中0ω>． (1)若函数()f x 的最大值是最小值的5倍，求m 的值；
(2)当m =
时，函数()f x 的正零点由小到大的顺序依次为1x ，2x ，3x ，…，
若21π236x x -=，求ω的值．
17．如图，某运动员从A 市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时5km 的速度向东进行长跑训练，长跑开始时，在A 市南偏东方向距A 市25km ，且与海岸距离为15km 的海上B 处有一艘小艇与运动员同时出发，要追上这位运动员.
(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员？ (2)求小艇以最小速度行驶时的行驶方向与AB 的夹角.
18．如图，已知ABC V 是边长为2的正三角形，P 在边BC 上，且3BP BC =u u u r u u u r
，Q 为线段AP
上一点．
(1)若115
AQ AB BC λ=+u u u r u u u r u u u r ，求实数λ的值；
(2)求QA QC ⋅u u u r u u u r
的最小值；
(3)当ABC V 的重心在直线CQ 上时，求PQC ∠的余弦值． 19．在Rt ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos cos cos A B C
a b c
+=+. (1)求角A ；
(2)已知2,,c b a P Q ≠=是边AC 上的两个动点（,P Q 不重合），记PBQ θ∠=. ①当π
6
θ=
时，设PBQ V 的面积为S ，求S 的最小值； ②记,BPQ BQP ∠α∠β==.问：是否存在实常数θ和k ，对于所有满足题意的,αβ，都有
()sin2sin22cos k k αβαβ++=-求出θ和k 的值；若不存在，说明理由.。