高中数学三点共线在解题中的应用专题辅导

三点共线在解题中的应用
路传诚
一、三点共线研究交点坐标
例1 已知A （4，0）、B （4，4）、C （2，6），试求直线AC 与直线OB （O 为坐标原点）的交点P 的坐标。

解：设P （x,y ），则)y ,4x (),y ,x (-==。

因P 是AC 与OB 的交点，所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上，即∥，∥⎩⎨⎧=-=+-=-=,0y 4x 4,0y 2)4x (6),4,4().6,2(.所以又解得)3,3(P ,3y ,3x 知⎩
⎨⎧==。

评注：若a=(x 1，y 1)，b=(x 2，y 2)，则a ∥b 0y x y x 1221=-⇔。

利用这一结论，避免了求直线的方程，使问题的解决简单明了。

练习1：已知点M 1（6，2）、M 2（1，7），若直线y=4x －7与线段M 1M 2的交点为M ，求M 分21M M 所成的比及点M 的坐标。

答案提示：设21MM M λ=、⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧λ+λ+=λ+λ+=,172y ,16x )y ,x (M 则代入直线y=4x －7，得23=λ，此时M （3，5）。

二、三点共线研究向量共线
例2 设,不共线，点P 在AB 上，求证：λ=μ+λμ+λ=,1,且、R ∈μ。

解：由点P 在AB 上，得共线与。

可设=-=-=),(t ,t 得 t )t 1(+-。

∴令λ=μ+λμ+λ=μ=λ=-,1,,t ,t 1且则、R ∈μ。

评注：由点P 在AB 上，可知与共线，得t =，然后用以O 为起点的向量表示。

练习2：平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （－1，3），若点C 满足αβ+α=,、1,R =β+α∈β，则点C 的轨迹方程为（ ）。

A 、5)2y ()1x (22=-+-
B 、011y 2x 3=-+
C 、0y x 2=-
D 、05y 2x =-+
答案提示：由条件易得点A 、B 、C 共线，又直线AB 的方程为05y 2x =-+，所以点C 的轨迹方程为05y 2x =-+，应选D 。

三、三点共线研究定比分点问题
例3 已知△ABC 所在平面内有一点O ，使得52+=，则△ABC 与△OBC 的面积比是（ ）。

A 、2：3
B 、1：6
C 、6：1
D 、7：1 解：由题意得7
1.757271=+=
令，则B 、D 、C 三点共线。

由OA DA OD +=，得6=。

∴△ABC 与△OBC 的面积比是6：1，应选C 。

评注：巧妙利用B 、D 、C 三点共线，再利用平面几何知识求得面积比。

练习3：若PQ 过△ABO 的重心G ，且:,nb ,ma ,b ,a 求证==== 3n
1m 1=+。

答案提示：令111),(,λ
+λ+λ+=-λ=-λ=故则。

所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧λ
+λ=λ+=λ+λ+λ+=+,1n 31,1m 31,1nb 1ma 3b a 由题意得解得⎩⎨⎧=+3n 1m 1。

四、三点共线研究参数的值
例4 设e 1、e 2是两个不共线的向量，如果=+=+=,e 3e ,ke e 22121 21e e 2=，且A 、B 、D 三点共线，求k 的值。

解：由题意，2121ke e 2AB ,e 4e CD CB DB +=+-=-=。

由A 、B 、D 共线，得∥8k ,2
1
,.-=-=λλ=得设。

评注：将三点共线转化为向量共线，用共线向量结合平面向量基本定理来解决问题。

其中由共线向量可建立向量之间的关系，根据平面向量定理中的唯一性可建立方程组。

练习4：已知a （1，3）、b=（2，λ）的夹角角为锐角，求λ的取值范围。

答案提示：两非零向量a 、b 的夹角为锐角的充要条件是a ·b>0且a 不平行于b ，由θ
为锐角，得1cos 0<θ<。

由0cos >θ得3
2,0321->λ>λ+⨯解得。

又a 、b 共线时6,0321=λ=⨯-λ⨯得。

由上知λ的取值范围是)6,3
2(-∪),6(+∞。