人教a版数学【选修1-1】：第三章《导数及其应用》章末检测(b)(含答案)

第三章 章末检测(B)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)
1. 已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f ′(x A )与f ′(x B )的大小关系是( )
A ．f ′(x A )>f ′(x
B ) B ．f ′(x A )<f ′(x B )
C ．f ′(x A )＝f ′(x B )
D ．不能确定
2．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是( )
A ．0
B ．3
C ．－2
D ．3－2t
3．已知曲线y ＝2ax 2＋1过点(a ，3)，则该曲线在该点处的切线方程为( ) A ．y ＝－4x －1 B ．y ＝4x －1 C ．y ＝4x －11 D ．y ＝－4x ＋7
4．若点P 在曲线y ＝x 3－3x 2＋(3－3)x ＋3
4
上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则
角α的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤0，π2
B.⎣⎡⎦⎤0，π2 ∪2,3
ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C. 2,3ππ⎡⎫
⎪⎢
⎣⎭
D.⎣⎡⎦⎤0，2π3 5．函数f (x )＝x 3＋ax －2在区间(1，＋∞)内是增函数，则实数a 的取值范围是( )
A ．[3，＋∞)
B ．[－3，＋∞)
C ．(－3，＋∞)
D ．(－∞，－3)
6．曲线y ＝x
x ＋2
在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A ．y ＝2x ＋1
B ．y ＝2x －1
C ．y ＝－2x －3
D ．y ＝－2x －2
7．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
8．若函数f (x )＝a sin x ＋13cos x 在x ＝π
3
处有最值，那么a 等于( )
A.33 B ．－33 C.36 D ．－36
9．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤
π2，π的最大值是( )
A ．π－1 B.π
2
－1
C ．π
D ．π＋1
10. 函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
11．函数f (x )＝x
1－x
的单调增区间是( )
A ．(－∞，1)
B ．(1，＋∞)
C ．(－∞，1)，(1，＋∞)
D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)
12．某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k (k >0)，贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为x (x ∈(0,0.048))，则存款利率为多少时，银行可获得最大利益( )
A ．0.012
B ．0.024
C ．0.032
D ．0.036 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程是y ＝1
2
x ＋2，则f (1)＋f ′(1)
＝________________________________________________________________________.
14．设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1 (x ∈R )，若对于x ∈[－1，1]，都有f (x )≥0，则实数a 的值为________________________________________________________________________．
15. 如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．
16．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在
x ＝±1处的切
线的倾斜角均为3
4
π，有以下命题：
①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]． ②f (x )的极值点有且只有一个．
③f (x )的最大值与最小值之和等于零． 其中正确命题的序号为________．
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)若函数f (x )＝13x 3－1
2
ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，＋
∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．
18．(12分)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－2
3
与x ＝1时都取得极值．
(1)求a ，b 的值与函数f (x )的单调区间；
(2)若对x ∈[－1,2]，不等式f (x )<c 2恒成立，求c 的取值范围．
19.(12分)某大型商厦一年内需要购进电脑5 000台，每台电脑的价格为4 000元，每次订购电脑的其它费用为1 600元，年保管费用率为10%(例如，一年内平均库存量为150台，
一年付出的保管费用60 000元，则60 000
150×4 000
＝10%为年保管费用率)，求每次订购多少台
电脑，才能使订购电脑的其它费用及保管费用之和最小？
20．(12分)已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .
(1)当x 为何值时，f (x )取得最小值？证明你的结论； (2)设f (x )在[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．
21.(12分)设a 为实数，函数f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R . (1)求f (x )的单调区间与极值；
(2)求证：当a >ln 2－1且x >0时，e x >x 2－2ax ＋1.
22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋ln x .
(1)求函数f (x )在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋1
2
x 2的下方．
第三章 导数及其应用(B) 答案
1．B [f ′(x A )和f ′(x B )分别表示函数图象在点A 、B 处的切线斜率，故f ′(x A )<f ′(x B )．] 2．B [物体的初速度即为t ＝0时物体的瞬时速度，即函数s (t )在t ＝0处的导数． s ′(0)＝s ′|t ＝0＝(3－2t )|t ＝0＝3.]
3．B [∵曲线过点(a ，3)，∴3＝2a 2＋1，∴a ＝1， ∴切点为(1,3)．由导数定义可得y ′＝4ax ＝4x ， ∴该点处切线斜率为k ＝4，
∴切线方程为y －3＝4(x －1)，即y ＝4x －1.] 4．B
5．B [f ′(x )＝3x 2＋a .令3x 2＋a ≥0， 则a ≥－3x 2，x ∈(1，＋∞)，∴a ≥－3.]
6．A [∵y ′＝x ′(x ＋2)－x (x ＋2)′(x ＋2)2＝2
(x ＋2)2，
∴k ＝y ′|x ＝－1＝2
(－1＋2)2
＝2，
∴切线方程为：y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.] 7．C
8．A [f ′(x )＝a cos x －1
3
sin x ，由题意f ′⎝⎛⎭⎫π3＝0， 即a ·12－13×32＝0，∴a ＝33
.]
9．C [y ′＝1－cos x ≥0，所以y ＝x －sin x 在⎣⎡⎦⎤
π2，π上为增函数．∴当x ＝π时， y max ＝π.]
10．A [由图象看，在图象与x 轴的交点处左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0的点才满足题意，这样的点只有一个B 点．]
11．C [∵f ′(x )＝x ′(1－x )－x (1－x )′
(1－x )2
＝1－x ＋x (1－x )2＝1(1－x )2
>0，又x ≠1， ∴f (x )的单调增区间为(－∞，1)，(1，＋∞)．]
12．B [由题意知，存款量g (x )＝kx (k >0)，银行应支付的利息h (x )＝xg (x )＝kx 2， x ∈(0，0.048)．设银行可获得收益为y ，则y ＝0.048kx －kx 2.于是y ′＝0.048k －2kx ，令y ′＝0，解得x ＝0.024，依题意知y 在x ＝0.024处取得最大值．故当存款利率为0.024时，银行可获得最大收益．]
13．3
解析 由切点(1，f (1))在切线y ＝1
2
x ＋2上，
得f (1)＝12×1＋2＝52.又∵f ′(1)＝1
2
，
∴f ′(1)＋f (1)＝12＋5
2
＝3.
14．4
解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0，显然成立；
当x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可转化为a ≥3x 2－1
x
3，
设g (x )＝3x 2－1
x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4
，
所以g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤1
2，1上单调递减， 因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎫
12＝4，从而a ≥4； 当x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0
可转化为a ≤3x 2－1
x
3，
设g (x )＝3x 2－1
x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4
，
所以g (x )在区间[－1,0)上单调递增． 因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4， 综上所述，a ＝4. 15.439
解析 设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝⎛⎭
⎫x
2，0. 点B 坐标为⎝
⎛⎭⎫x
2，1－⎝⎛⎭⎫x 22， ∴矩形ABCD 的面积
S ＝f (x )＝x ·⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫x 22 ＝－x
34
＋x (x ∈(0,2))．
由f ′(x )＝－3
4x 2＋1＝0，
得x 1＝－23(舍)，x 2＝2
3，
∴x ∈⎝⎛⎭⎫0，2
3时，f ′(x )>0，f (x )是递增的，
x ∈⎝⎛⎭⎫2
3，2时，f ′(x )<0，f (x )是递减的， 当x ＝23
时，f (x )取最大值43
9.
16．①③
解析 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ， 由题意得f (0)＝0，
f ′(－1)＝f ′(1)＝tan 3π
4
＝－1.
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
c ＝03－2a ＋b ＝－13＋2a ＋b ＝－1
，∴a ＝0，b ＝－4，c ＝0.
∴f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]．故①正确．
由f ′(x )＝3x 2－4＝0得x 1＝－233，x 2＝23
3
.
根据x 1，x 2分析f ′(x )的符号、f (x )的单调性和极值点.
x ＝233
是极小值点也是最小值点．
f (x )min ＋f (x )max ＝0.∴②错，③正确． 17．解 f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1，
由题意知f ′(x )≤0在(1,4)上恒成立， 且f ′(x )≥0在(6，＋∞)上恒成立． 由f ′(x )≤0得x 2－ax ＋a －1≤0， 即x 2－1≤a (x －1)．
∵x ∈(1,4)，∴x －1∈(0,3)，
∴a ≥x 2－1x －1
＝x ＋1.
又∵x ＋1∈(2,5)，∴a ≥5， ① 由f ′(x )≥0得x 2－ax ＋a －1≥0， 即x 2－1≥a (x －1)．
∵x ∈(6，＋∞)，∴x －1>0，
∴a ≤x 2－1x －1
＝x ＋1.
又∵x ＋1∈(7，＋∞)，∴a ≤7， ② ∵①②同时成立，∴5≤a ≤7.
经检验a ＝5或a ＝7都符合题意， ∴所求a 的取值范围为5≤a ≤7. 18．解 (1)f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ， f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，
由f ′⎝⎛⎭⎫－23＝129－4
3
a ＋
b ＝0， f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝－1
2
，b ＝－2.
f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，
令f ′(x )>0，得x <－2
3或x >1，
令f ′(x )<0，得－2
3
<x <1.
所以函数f (x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，递减区间是⎝⎛⎭
⎫－2
3，1. (2)f (x )＝x 3－1
2
x 2－2x ＋c ，x ∈[－1,2]，
由(1)知，当x ＝－2
3
时，f ⎝⎛⎭⎫－23＝2227＋c 为极大值， 而f (2)＝2＋c ，则f (2)＝2＋c 为最大值， 要使f (x )<c 2，x ∈[－1,2]恒成立，
则只需要c 2>f (2)＝2＋c ，得c <－1或c >2.
19．解 设每次订购电脑的台数为x ，则开始库存量为x 台，经过一个周期的正常均匀
销售后，库存量变为零，这样又开始下一次的订购，因此平均库存量为1
2
x 台，所以每年的
保管费用为1
2
x ·4 000·10%元，
而每年的订货电脑的其它费用为5 000
x
·1 600元，
这样每年的总费用为5 000x ·1 600＋1
2
x ·4 000·10%元．
令y ＝5 000x ·1 600＋12x ·4 000·10%，
y ′＝－1x 2·5 000·1 600＋1
2
·4 000·10%.
令y ′＝0，解得x ＝200(台)．
也就是当x ＝200台时，每年订购电脑的其它费用及保管费用总费用达到最小值，最小值为80 000元．
20．解 (1)对函数f (x )求导数，得 f ′(x )＝(x 2－2ax )e x ＋(2x －2a )e x ＝[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x .
令f ′(x )＝0，得[x 2＋2(1－a )x －2a ]e x ＝0， 从而x 2＋2(1－a )x －2a ＝0.
解得x 1＝a －1－1＋a 2，x 2＝a －1＋1＋a 2， 其中x 1<x 2.
当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化如下表：
12当a ≥0时，x 1<－1，x 2≥0.
f (x )在(x 1，x 2)为减函数，在(x 2，＋∞)为增函数． 而当x <0时，f (x )＝x (x －2a )e x >0；
当x ＝0时，f (x )＝0，所以当x ＝a －1＋1＋a 2时，f (x )取得最小值．
(2)当a ≥0时，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1＋1＋a 2≥1，
解得a ≥3
4
.
综上，f (x )在[－1,1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥34
.即a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫34，＋∞.
21．(1)解 由f (x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R 知f ′(x )＝e x －2，x ∈R .令f ′(x )＝0，得x ＝ln 2. 于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
故处取得极小值，极小值为f (ln 2)＝e ln 2－2ln 2＋2a ＝2(1－ln 2＋a )．
(2)证明 设g (x )＝e x －x 2＋2ax －1，x ∈R ， 于是g ′(x )＝e x －2x ＋2a ，x ∈R .
由(1)知当a >ln 2－1时，g ′(x )取最小值为g ′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a )>0. 于是对任意x ∈R ，都有g ′(x )>0，所以g (x )在R 内单调递增． 于是当a >ln 2－1时，对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>g (0)． 而g (0)＝0，从而对任意x ∈(0，＋∞)，都有g (x )>0， 即e x －x 2＋2ax －1>0， 故e x >x 2－2ax ＋1.
22．(1)解 ∵f (x )＝x 2＋ln x ，∴f ′(x )＝2x ＋1
x
.
∵x >1时，f ′(x )>0，
∴f (x )在[1，e]上是增函数，
∴f (x )的最小值是f (1)＝1，最大值是f (e)＝1＋e 2. (2)证明 令F (x )＝f (x )－g (x ) ＝12x 2－2
3
x 3＋ln x ， ∴F ′(x )＝x －2x 2＋1x ＝x 2－2x 3＋1x
＝x 2－x 3－x 3＋1x ＝(1－x )(2x 2＋x ＋1)x
.
∵x >1，∴F ′(x )<0，
∴F (x )在(1，＋∞)上是减函数，
∴F (x )<F (1)＝12－23＝－1
6
<0.
∴f (x )<g (x )．
∴当x ∈(1，＋∞)时，函数f (x )的图象在g (x )＝23x 3＋1
2
x 2的下方．
小课堂：如何培养中学生的自主学习能力？
自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。

在中学阶段，至关重要！！以学生作为学习的主体，学生自己做主，不受别人支配，不受外界干扰通过阅读、听讲、研究、观察、实践等手段使个体可以得到持续变化（知识与技能，方法与过程，情感与价值的改善和升华）的行为方式。

如何培养中学生的自主学习能力？
01学习内容的自主性
1、以一个成绩比自己好的同学作为目标，努力超过他。

2、有一个关于以后的人生设想。

3、每学期开学时，都根据自己的学习情况设立一个学期目标。

4、如果没有达到自己的目标，会分析原因，再加把劲。

5、学习目标设定之后，会自己思考或让别人帮助分析是否符合自己的情况。

6、会针对自己的弱项设定学习目标。

7、常常看一些有意义的课外书或自己找(课外题)习题做。

8、自习课上，不必老师要求，自己知道该学什么。

9、总是能很快选择好对自己有用的学习资料。

10、自己不感兴趣的学科也好好学。

11、课堂上很在意老师提出的重点、难点问题。

12、会花很多时间专攻自己的学习弱项。

02时间管理
13、常常为自己制定学习计划。

14、为准备考试，会制定一个详细的计划。

15、会给假期作业制定一个完成计划，而不会临近开学才做。

16、常自己寻找没有干扰的地方学习。

17、课堂上会把精力集中到老师讲的重点内容上面。

18、做作业时，先选重要的和难一点的来完成。

19、作业总是在自己规定的时间内完成。

20、作业少时，会多自学一些课本上的知识。

03 学习策略
21、预习时，先从头到尾大致浏览一遍抓住要点。

22、根据课后习题来预习，以求抓住重点。

23、预习时，发现前面知识没有掌握的，回过头去补上来。

24、常常归纳学习内容的要点并想办法记住。

25、阅读时，常做标注，并多问几个为什么。

26、读完一篇文章，会想一想它主要讲了哪几个问题。

27、常寻找同一道题的几种解法。

28、采用一些巧妙的记忆方法，帮助自己记住学习内容。

29、阅读时遇到不懂的问题，常常标记下来以便问老师。

30、常对学过的知识进行分类、比较。

31、常回忆当天学过的东西。

32、有时和同学一起“一问一答”式地复习。

33、原来的学习方法不管用时，马上改变方法。

34、注意学习别人的解题方法。

35、一门课的成绩下降了，考虑自己的学习方法是否合适。

36、留意别人好的学习方法，学来用用。

37、抓住一天学习的重点内容做题或思考。

38、不断试用学习方法，然后找出最适合自己的。

04学习过程的自主性
39、解题遇到困难时，仍能保持心平气和。

40、在学习时很少烦躁不安。

41、做作业时，恰好有自己喜欢的电视节目，仍会坚持做作业。

42、学习时有朋友约我外出，会想办法拒绝。

43、写作文或解题时，会时刻注意不跑题。

44、解决问题时，要检验每一步的合理性。

45、时时调整学习进度，以保证自己在既定时间内完成任务。

05学习结果的评价与强化
46、做完作业后，自己认真检查一遍。

47、常让同学提问自己学过的知识。

48、经常反省自己一段时间的学习进步与否。

49、常常对一天的学习内容进行回顾。

50、考试或作业出现错误时，仔细分析错误原因。

51、每当取得好成绩时，总要找一找进步的原因。

52、如果没有按时完成作业，心里就过意不去。

53、如果因贪玩而导致成绩下降，就心里责怪自己。

54、考试成绩不好的时候，鼓励自己加倍努力。

06学习环境的控制
55、总给自己树立一个学习的榜样。

56、常和别人一起讨论问题。

57、遇到问题自己先想一想，想不出来就问老师或同学。

58、自己到书店选择适合自己的参考书。

59、常到图书馆借阅与学习有关的书籍。

60、经常查阅书籍或上网查找有关课外学习的资料。