量子力学第一章习题答案

第一章习题
1.1 在0 K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求德布罗意波长。

解： A 09.71009.7210
=⨯≈==-m mE
h p h λ
1.2 用单色光和金属钠作光电效应实验发现，当入射光波长
A 3000=λ时，打
出的光电子动能为1.85eV ；当
A 4000=λ时，光电子的动能为0.82eV 。

求：
（1）Planck 常数h 的数值；
（2）用电子伏特为单位表示的钠的逸出功； （3）钠金属光电效应的截止波长。

解： 钠金属光电效应
已知：
A 30001=λ 1k E =1.85eV
A 40002=λ 2k E =0.82eV
① 求Planck 常数。

设钠的逸出功为W ，则有
W -11νh E k =，W -22νh E k = ，两式相减得：
)1
-1()-(E -E 2
121k2k1λλννhc h ==
所以：7
819
2110)4
1
31(109979.2106021.103.1)1-1()(21⨯-⨯⨯⨯=
-=-λλc E E h k k S J ⋅⨯=-34106.6053
② 逸出功
82.010
6021.1104109979.2106053.619
78
34
22
-⨯⨯⨯⨯⨯⨯=-=---k E h W ν
eV 27.282.06021.14/109979.26053.60
=-⨯⨯⨯=
③ 截止频率
0W -E K ==νh
∴W h =min ν
h W /min =ν 3419106053.6/106021
.127.2--⨯⨯⨯= z H ⨯=14
10506.5
1.3 设
)(11)(t x i e x af ωαψ-=和)(22)(t x i e x bf ωβψ-=分别表示微观粒子的两个可能状态，求当粒子处于叠加态
21ψψψ+=时的相对几率分布。

a ，b 为复常数，1f ，2f 为实函数。

解：2)(22)(12212||||||||
t x i t x i e bf e af ωβωαψψψ--+=+=
21)()(222212)(21)(21][)(||)(||f f e ab be a x f b x f a e f f ab e f bf a x i x i x
i x i βαβαβαβα-*--*-**--**+++=++
代入2=a
，i b =得
i
e e
f f x f x f x
i x i 24)()(4||)()(2
122
21
2
--++=---βαβαψ
x f f x f x f )sin(4)()(4212221βα-++=
1.4 计算下面两个定态波函数的几率流密度，并说明其物理意义。

（1）ikr e r r 1)
(1=
ψ （2）ikr e r
r -=ψ1)(2 解：① 球坐标系中 ϕ
θθϕ
θ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin 1r e e r e r
由于)()(11r r ψψ=
只与变量r 有关，所以
)(11r r e r ψψ⋅∂∂=∇ ]1[2ikr ikr r e r e r ik e -= ikr r e r
r ik e ]1
[2-=
同理有 ikr r e r
r ik e ---=∇]1[2*
1 ψ 所以 ][2*
111*11ψψψψμ
∇-∇-= i j
)}1()1({222r
r ik r e e r r ik r e e e i ikr ikr ikr ikr r --⋅--⋅-=--μ
2122r e ik i r ⋅⋅-=
μr e r
k
2μ=r e r v 2= [v k p μ== ] 这是一个以速度v 向外传播的球面波； ② 对于ikr e r
r -=ψ1
)
(2用相同的方法可以解得 r r e r
e r k j
222νμ-=-=，为向中心点收敛的球面波。

1.5 试将下列波函数归一化：
（1）
2
/2
x
Ae -=ψ
（2）⎩⎨⎧≤≥=-0,
00
,x x Axe x λψ
（3）
)()(x a Ax x -=ψ，.0a x <<
积分公式
()()()()()()()2
325
311012211234231458n ax f n x e dx
f f a a f f a a f f a a πππ∞
-===
===
=
⎰
解：（1）
2
2
2
22
20
||21x
x dx A e
dx A
e
dx A ψπ+∞
+∞
∞---∞
-∞
====⎰⎰⎰
4
/11
π
=
A ，2
/4
/12
1
x
e -=
π
ψ
（2）
⎰⎰+∞
∞
--+∞
∞
-==1||2222
dx e x A dx x
λψ
由分部积分可得
042]2101[2]
20[223
2
22
20
2220
22220
222
∞
+-
==-∞+-=-∞+-=-∞
+∞
--∞
+--+∞
--+∞
-⎰⎰⎰⎰x x
x x x x x
e A dx
e
A dx xe xe A dx xe e x A dx e
x A
λλλλλλλλ
λλλλλ
2
/32λ=∴A ，⎩
⎨⎧≤≥=-0,00
,22/3x x xe x λλψ
（3）])(32)(3[)(|)(|0
30232
02
2
2
02
⎰⎰⎰-+-=-=a
a
a a dx x a x x a x A dx x a x A dx x ψ 30
5432]432)(432[50
520
4042
a x A dx x x a x A a
a
a
=⋅⋅=⋅+-⋅=⎰ 5
230A A =
∴
，
.305A
A =
1.6 一维谐振子处于第一激发态：
2
/4
/112
2e 2)x (x x α
απ
α
ψ-=
，求其几率最大值的位置。

【解1】：由第一激发态函数
2x 4
1
12
2xe
2)x (ααπ
α
ψ-=
可知
几率密度
2
2
x -222
1e x 2)x (α
απ
α
ψ=
=w
令
x αζ=， 则 22e 2)(ζζπ
α
ζ-=
w
由
02
=ζd dw ，得 }e -e {20222ζζζπα--=)1(e 22
2ζπ
αζ-=-
因为 2ζ=1 即 1x 22=α
所以 α
1
±
=x (μω
±=)
【解2】：
时，粒子出现的几率大
根据物理意义，当α
α
ααπ
α
ψαα
1
1
0010±
=±
=∞===-==
=x x ,x ,x )x (e x ,)x (w dx
d
e x 2)x (w 22x -x
-222
1222
2
1.7 粒子在如下的一维势场中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

⎩⎨⎧<<->-<∞=)()
(0
)(a x a a x a x x V 或
解：一维势阱 ()
()0
()
x a x a V x a x a ∞
≤-≥⎧=⎨
-<<⎩或
(x <-a 或x >a ) ：
ψ=0
(-a <x <a )定态方程为 ψψ
μE dx
d =-2
222
令2
2
2E k μ= ，E >0, 所以k 为实数，定态方程化为： 222
0d k dx
ψ
ψ+= 其通解为：()sin cos x A kx B kx ψ=+
有连续性条件x =-a:
0sin cos A ka B ka =-+ ------------------①
x=a: 0sin cos A ka B ka =+--------------------②
①+② 得
2cos 0B ka =
若 B=0， 则A ≠0，sin 0ka =， 所以 2,462
ka n
n π
== ，
2
2
2E
k μ=
22222
2
,2,4628n k E n n a πμμ∴=== ，
sin ,2,462n n A x n a
π
ψ== ，
①-② 得 2sin 0A kx =
-a a
0 V (x )
若 A =0， 则 B ≠0，
cos 0ka =→1,3,52
ka n
n π
==
222
2
,1,3,58n E n n a
πμ==
cos
,1,3,52n n B x n a
πψ==
归一化常数 2
2
1(sin )1,(cos
)1,22a
a
n n A x B x A B a
a
a
ππ====
⎰⎰
222
2
1sin ,,(=246)201cos ,,(=135)20,(1,2,3......)8n n n n x
x a n a a
x a
n x
x a n a a
x a
n E n a
πψπψπμ⎧≤⎪
=⎨⎪>⎩⎧≤⎪
=⎨⎪>⎩
== ，，，，
1.8 粒子在一维有限深势阱中运动，势能为
⎩
⎨⎧<>>=a x a
x V x V ,0,0)(0
，求束缚态（0<E <V 0
）的能级。

（答案见教材P22） 本题改为：粒子（
0V E <）在一维半无限深势阱中运动，势能为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤<<-≤∞
=0000)(0x a x V x x V ，求束缚态的能
量满足的条件。

解：由E 满足分别求解定态方程可得：
12
2
022222222
3333
22
00
2()
0()()0,2()()0,x V E d x a
x k x k dx
d E x a x k x k dx ψμψψμψψ≤≡-<<+==
≤-==
x k B x k A x 22222cos sin )(+=ψ，边界x =0处波函数为0， x k A x B 2222sin )(,0==ψ
x k x k e B e A x 3
3
333)(-+=ψ 考虑波函数的有限性，x k e B x A 3
333)(,
0-==ψ
由x =a 处连续性条件有
x ctgk k k dx d dx d a
x a x 2233322-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==ψψψψ,
І Ⅱ
Ш
由2
22
0232
32
02202
2
2,222k V k k V E V k -=
-=-=
μμμμ，代入上式
得：
12,222
20
2222
22222
0-=
=-k V x k ctg x k ctg k k V
μμ
可采用数值解法或作图法可求得不同n 值的2k 值，由 )(202E V k -=μ进而求出n E 。

1.9 一个电子局限在10-14cm 的区域中运动，试计算该电子的基态能量（提示：可按长、宽、高均为10-14的三维无限深势阱计算）。

解：由三维势阱能量公式有基态能
)1
11(222222111c
b a E ++=μπ 2
2223a μπ =2283a h μ⨯=
2
214312
34)1010(10109.98)106256.6(3----⨯⨯⨯⨯⨯⨯=
52
10109
.986256.63-⨯⨯⨯=
J 510809.1-⨯=
1.10 二维线性谐振子的哈密顿算符为：
)(2
12ˆ2ˆˆ22222y x p p H y x +++=μωμμ
试求其本征函数和相应的本征值。

解：由定态薛定谔方程
ψψμωψμE y x y x =++∂∂+∂∂-)(2
1)(222222222
显然
H 可以分成两项之和：y
x H H H ˆˆˆ+=，其中 2222
2
2
2222
122ˆ212ˆy y d H x dx d H y
x μωμμωμ+-=+-=
所以原方程可以分离变量，设21E E E +=，其中1E ，2E 分别是x H ˆ与y
H ˆ的本征值，本征函数),(y x ψ可表达为两项之积：
)()(),(21y x y x ψψψ=
由于x
H ˆ，y
H ˆ数学形式完全相同，各自为以为线性谐振子的哈密顿算符，所以： )()(1221
2
1x H e
N x n x n αψα-
=，a n E ++=ω )2
1
(11
)()(2222
2
2y H e
N x n y n αψα-
=，a n E -+=ω )2
1
(22
其中a 为常数
)()(),(112222
1
2
)
(y H x H e
N N y x n n y x n n ααψα+-
=
ω )1(21++=n n E ，...2,1,0,21=n n
零点能与能级间距均为ω
简并度：
1+=N f N ，21n n N +=
1.11入射粒子0>E ，在如下的一维势场中运动，求透射系数T ，并讨论T 的极大，极小条件。

⎩
⎨
⎧><<<-=a x x a x V x V 或0,00,
)(0 解： 当粒子以能量E 入射高度为0V 的势垒（0V E
>）时，透射系数为：
22
12
222
222222
21212212
222
122
2
2212212222222
21
33,(1.7.16)
41
()()sin 41sin 41
1
111()sin 1(2)sin 44P k k T k k k k k a k k k a k k k k
k k k a k a k k k k ==--++=
=
+-+-+
其中
12E
k μ=
，02
2()
E V k μ+=
（1）00=V 时，21k k =，1=T ，此时无势阱。

（2）00
≠V 时，1<T ，0||2≠R ，粒子有一定的几率被反射，这是量子力学特有的效应。

当2
2sin 0k a =，即2k a n π=，...3,2,1=n 1=T ，取极大值，称为共振透射；2
22202a n V E n μπ +
-=
当22sin 1k a =，即21()2k a n π=+，...2,1,0=n T 取极小值；2
2
2202)21(a n V E n μπ ++
-=。

1.12粒子以X 反方向入射到如下势阶中，求反射系数。

⎩⎨
⎧>-≤=0
0)(00
x V x V x V
解：（1）00
V E <<
定态薛定谔方程为 Ⅰ区：
2
0112
11221
1012
22)
(202 E V k k dx
d E V dx
d +=
=+=--μψψψψψμ
Ⅱ区：
20222
22222
202222)
(202
E V k k dx
d E V dx
d -=
=-=--μψψψψψμ
波函数的解为
)
0()0(221
1
2211≤+=>+=--x e
B e
A x e
B e A x
k x
k x
ik x ik II I ψψ
考虑波函数有限性，有
x k e A x B 2
222)(,
0==ψ
0x =处波函数及导数的连续性条件：)0()0(21ψψ=和)0()0(21
ψψ'='可得
12
12
112
211112
11B k ik k ik A A k B ik A ik A B A -+=
⎩⎨
⎧=-=+
入射波：
11ik x B e -， 反射波：11
ik x
Ae ， 几率流密度为
2
2
1
1
11k k j B j A μ
μ
=-
=
入反，
，
反射系数
12
2
121
2
1
21=-+==
=
k ik k ik B A j j R 入
反
全反射
（2）0V E
>
定态薛定谔方程为 Ⅰ区：
2
0112
11221
1012
22)
(202 E V k k dx
d E V dx
d +=
=+=--μψψψψψμ
Ⅱ区：
2
0222
22222
2022
22)(202 V E k k dx d E V dx d -=
=+=--μψψψψψμ
波函数的解为
)
0()0(221
1
2211≤+=>+=--x e
B e
A x e
B e A x
ik x
ik x
ik x ik II I ψψ
Ⅱ区无反射波，有
x ik e B x A 2
222)(,
0-==ψ
0x =处波函数及导数的连续性条件：)0()0(21ψψ=和)0()0(21
ψψ'='可得
12
12
112
211112
11B k k k k A B ik B ik A ik A B A +-=
⎩⎨
⎧-=-=+
入射波：
11ik x B e -， 反射波：11
ik x Ae ， 透射波：22ik x
B e - 几率流密度为
2
2
2
1
1
2
112
k k k j B j A j B μ
μ
μ
=-=
=-
入反透，
，
反射系数
2
21212
2
121
2
1
21)(41k k k k R T k k k k B A j j R +=
-=+-==
=
入
反。