高三数学数列综合练习题答案与解析

高三数学数列综合练习题答案与解析
一．选择题（共23小题）
1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）
A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）
2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）
3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）
A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负
4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）
A．2 B．lg50 C．10 D．5
5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）
A．B．C．D．
7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）
A．B．C．D．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）
9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：
①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|，
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）
A．①②③④B．①④C．①②④D．②③
10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）
A．③④B．①②④C．①③④D．①③
11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）
A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2
12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）
A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列
14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．
15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）
A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）
16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）
A．98 B．99 C．100 D．101
17．数列1，，，…，的前n项和为（）
A．B． C． D．
18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣1008
19．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）
A．130 B．132 C．134 D．136
20．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）
A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2
C．++…+=1 D．++…+＜1
21．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）
A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）
22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺
序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）
A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55
23．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]
二．解答题（共4小题）
24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．
25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；（2）若T3=21，求S3．
26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．
（1）求{a n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和．
27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．
数列综合练习题答案与解析
一．选择题（共23小题）
1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）
A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4）
【解答】解：函数f（x）=，数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，
∴，
解得2＜a＜4．
故选：C．
2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞）
【解答】解：∵{a n}是递增数列，
∴a n
＞a n，
+1
∵a n=n2+λn恒成立
即（n+1）2+λ（n+1）＞n2+λn，
∴λ＞﹣2n﹣1对于n∈N*恒成立．
而﹣2n﹣1在n=1时取得最大值﹣3，
∴λ＞﹣3，
故选D．
3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（）
A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负
【解答】解：∵f（a11）＞f（0）=0，a9+a13=2a11＞0，a9＞﹣a13，
∴f（a9）＞f（﹣a13）=﹣f（a13），f（a9）+f（a13）＞0，
∴f（a9）+f（a11）+f（a13）＞0，
故选：A．
4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（）
A．2 B．lg50 C．10 D．5
【解答】解：∵等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，
∴a1a10=a2a9=…=a4a7=10，
∴数列{lga n}的前10项和S=lga1+lga2+…+lga10
=lga1a2…a10=lg105=5
故选：D
5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：杨辉三角形中，每一行的第一个数和最后一个数都是1，首尾之间的数总是上一行对应的两个数的和，
∴a=3+3=6；
故选C．
6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（）
A．B．C．D．
【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q，且q＞0，
由a7=a6+2a5得：a6q=a6+，
化简得，q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍去），
因为a m a n=16a12，所（a1q m﹣1）（a1q n﹣1）=16a12，
则q m+n﹣2=16，解得m+n=6，
+=×（m+n）×（+）=×（17++）≥×（17+2）=，
当且仅当=，解得：m=，n=，
因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，+＞，
验证可得，当m=1、n=5时，取最小值为．
故答案选：B．
7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（）
A．B．C．D．
【解答】解：由A（m，n）表示第m行的第n个数可知，A（10，12）表示第10行的第12个数，
根据图形可知：
①每一行的最后一个项的项数为行数的平方，所以第10行的最后一个项的项数为102=100，即为a100；
②每一行都有2n﹣1个项，所以第10行有2×10﹣1=19项，得到第10行第一个项为100﹣19+1=82，所以第12项的项数为82+12﹣1=93；
所以A（10，12）=a93=
故选A．
8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，）
【解答】解：∵
=
=
=
=
=
=﹣
=﹣sin（4d），
∴sin（4d）=﹣1，
∵d∈（﹣1，0），∴4d∈（﹣4，0），
∴4d=﹣，d=﹣，
∵S n=na1+==﹣+，
∴其对称轴方程为：n=，
有题意可知当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，
∴＜＜，解得π＜a1＜，
故选：A．
9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数：
①f（x）=3x，
②f（x）=，
③f（x）=x3，
④f（x）=log2|x|，
则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（）
A．①②③④B．①④C．①②④D．②③
【解答】解：不妨设等比数列{a n}中，a n=a1•q n﹣1，
①∵f（x）=3x，
∴==
==常数，
故当q≠1时，{f（a n）}不是等比数列，
故f（x）=3x不是等比函数；
②∵f（x）=，
∴===，
故{f（a n）}是等比数列，
故f（x）=是等比函数；
③∵f（x）=x3，
∴=═q3，
故{f（a n）}是等比数列，
故f（x）=x3是等比函数；
④f（x）=log2|x|，
∴==，
故{f（a n）}不是等比数列，
故f（x）=log2|x|不是等比函数．
故其中是“等比函数”的f（x）的序号②③，
故选：D．
10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（）
A．③④B．①②④C．①③④D．①③
【解答】解：设数列{a n}的公比为q（q≠1）
①由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；
②由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=a n+1﹣a n不是常数，∴数列{lnf（a n）}不为等差数列，不满足题意；
③由题意，lnf（a n）=ln，∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；
④由题意，lnf（a n）=ln（2a n），∴lnf（a n+1）﹣lnf（a n）=ln（2a n+1）﹣ln（2a n）=lnq是常数，∴数列{lnf（a n）}为等差数列，满足题意；
综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③④
故选：C．
11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（）
A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2
【解答】解：∵a1=1，a n+1=，
∴=+3，即﹣=3，
∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，
∴=1+（n﹣1）×3=3n﹣2，
∴a n=，
故选：A．
12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（）
A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣
【解答】解：由已知可得﹣=﹣1，
设b n=，则数列{b n}是以为首项，公差为﹣1的等差数列．
∴b31=+（31﹣1）×（﹣1）=﹣，
∴a31=﹣．
故选：B．
13．如果数列{a n}是等比数列，那么（）
A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列
C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列
【解答】解：对于A：设b n=，则==（）2=q2，
∴{b n}成等比数列；正确；
对于B：数列{2}，
=2≠常数；不正确；
对于C：当a n＜0时lga n无意义；不正确；
对于D：设c n=na n，
则==≠常数．不正确．
故选A．
14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D．
【解答】解：在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，
可得a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
由==（﹣），
可得
=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=（1﹣）=．
故选：A．
15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（）
A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C）
【解答】解：由等差数列的前n项和公式的性质可得：A，B﹣A，C﹣B也成等差数列．∴2（B﹣A）=A+C﹣B，解得3（B﹣A）=C．
故选：C．
16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（）A．98 B．99 C．100 D．101
【解答】解：数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），
前50项和T50=﹣1+5﹣9+13﹣17+…+197
=（﹣1+5）+（﹣9+13）+（﹣17+21）+…+（﹣193+197）
=4+4+4+…+4=4×25=100．
故选：C．
17．数列1，，，…，的前n项和为（）
A．B． C． D．
【解答】解：===2（）．
数列1，，，…，的前n项和：
数列1+++…+=2（1++…）
=2（1﹣）=．
故选：B．
18．数列{a n}的通项公式为，其前n项和为s n，则s2017等于（）
A．1006 B．1008 C．﹣1006 D．﹣1008
【解答】解：∵，
n=2k﹣1（k∈N*）时，a n=a2k﹣1=（2k﹣1）=0．
n=2k时，a n=a2k=2kcoskπ=2k•（﹣1）k．
∴s2017=（a1+a3+…+a2017）+（a2+a4+…+a2016）
=0+（﹣2+4﹣…﹣2014+2016）
=1008．
故选：B．
19．数列{a n}中，，则数列{a n}前16项和等于（）
A．130 B．132 C．134 D．136
+（﹣1）n a n=2n﹣1，
【解答】解：∵a n
+1
∴a2﹣a1=1，a3+a2=3，a4﹣a3=5，a5+a4=7，a6﹣a5=9，a7+a6=11，…a16﹣a15=29．
从而可得a3+a1=2，a4+a2=8，a7+a5=2，a8+a6=24，a9+a11=2，a12+a10=40，a13+a15=2，a16+a14=56，从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，
依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．
∴{a n}的前16项和为4×2+8×4+=136．
故选：D．
20．《庄子•天下篇》中记述了一个著名命题：“一尺之锤，日取其半，万世不竭”．反映这个命题本质的式子是（）
A．1+++…+=2﹣B．1+++…++…＜2
C．++…+=1 D．++…+＜1
【解答】解：根据已知可得每次截取的长度构造一个以为首项，以为公比的等比数列，
∵++…+=1﹣＜1，
故反映这个命题本质的式子是++…+＜1，
故选：D
21．在数列{a n}中，若=+，a1=8，则数列{a n}的通项公式为（）
A．a n=2（n+1）2B．a n=4（n+1）C．a n=8n2D．a n=4n（n+1）
【解答】解：∵=+，a 1=8，则数列{}为等差数列．
∴=+（n﹣1）=（n+1）．
∴a n=2（n+1）2．
故选：A．
22．已知函数f（x）=，把函数g（x）=f（x）﹣x的零点按从小到大的顺
序排列成一个数列，则该数列的前n项的和为S n，则S10=（）
A．210﹣1 B．29﹣1 C．45 D．55
【解答】解：当0＜x≤1时，有﹣1＜x﹣1＜0，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣1，
当1＜x≤2时，有0＜x﹣1≤1，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣2+1，
当2＜x≤3时，有1＜x﹣1≤2，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣3+2，
当3＜x≤4时，有2＜x﹣1≤3，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣4+3，
以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x﹣1）+1=2x﹣n﹣1+n，
所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），
由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．
然后：
①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x﹣1和y=x 的图象，
取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．
即当x≤0时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=0．
②取①中函数f（x）=2x﹣1和y=x图象﹣1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．
即当0＜x≤1时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=1．
③取②中函数f（x）=2x﹣1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，
即得到f（x）=2x﹣2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．
即当1＜x≤2时，方程f（x）﹣x=0有且仅有一个根x=2．
④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…
（n+1，n+1）．
即方程f（x）﹣x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．
综上所述方程f（x）﹣x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：
0，1，2，3，4，…，
其通项公式为：a n=n﹣1，前n项的和为S n=，
∴S10=45，
故选C．
23．设等差数列{a n}满足，公差d∈（﹣1，0），当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，求该数列首项a1的取值范围（）A．B．[，]C．（，）D．[，]
【解答】解：∵等差数列{a n}满足，
∴（sina4cosa7﹣sina7cosa4）（sina4cosa7+sina7cosa4）
=sin（a5+a6）=sin（a4+a7）=sina4cosa7+sina7cosa4，
∴sina4cosa7﹣sina7cosa4=1，或sina4cosa7+sina7cosa4=0
即sin（a4﹣a7）=1，或sin（a4+a7）=0（舍）
当sin（a4﹣a7）=1时，
∵a4﹣a7=﹣3d∈（0，3），a4﹣a7=2kπ+，k∈Z，
∴﹣3d=2kπ+，d=﹣﹣π．
∴d=﹣
∵S n=na1+=n2+（a1﹣）n，
且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，
∴8.5＜﹣＜9.5，
∴π＜a1＜
故选：C
二．解答题（共4小题）
24．已知{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且b2=3，b3=9，a1=b1，a14=b4．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）设c n=a n+b n，求数列{c n}的前n项和．
【解答】解：（1）设{a n}是公差为d的等差数列，
{b n}是公比为q的等比数列，
由b2=3，b3=9，可得q==3，
b n=b2q n﹣2=3•3n﹣2=3n﹣1；
即有a1=b1=1，a14=b4=27，
则d==2，
则a n=a1+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1；
（2）c n=a n+b n=2n﹣1+3n﹣1，
则数列{c n}的前n项和为
（1+3+…+（2n﹣1））+（1+3+9+…+3n﹣1）=n•2n+
=n2+．
25．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2．（1）若a3+b3=5，求{b n}的通项公式；
（2）若T3=21，求S3．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q，
a1=﹣1，b1=1，a2+b2=2，a3+b3=5，
可得﹣1+d+q=2，﹣1+2d+q2=5，
解得d=1，q=2或d=3，q=0（舍去），
则{b n}的通项公式为b n=2n﹣1，n∈N*；
（2）b1=1，T3=21，
可得1+q+q2=21，
解得q=4或﹣5，
当q=4时，b2=4，a2=2﹣4=﹣2，
d=﹣2﹣（﹣1）=﹣1，S3=﹣1﹣2﹣3=﹣6；
当q=﹣5时，b2=﹣5，a2=2﹣（﹣5）=7，
d=7﹣（﹣1）=8，S3=﹣1+7+15=21．
26．设数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．
（1）求{a n}的通项公式；
（2）求数列{}的前n项和．
【解答】解：（1）数列{a n}满足a1+3a2+…+（2n﹣1）a n=2n．
n≥2时，a1+3a2+…+（2n﹣3）a n﹣1=2（n﹣1）．
∴（2n﹣1）a n=2．∴a n=．
当n=1时，a1=2，上式也成立．
∴a n=．
（2）==﹣．
∴数列{}的前n项和=++…+=1﹣=．
27．已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．
（Ⅰ）求{a n}的通项公式；
（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．
【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，
所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，
等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，
{b2n
}是等比数列，公比为3，首项为1．﹣1
b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．。