高中数学人教A版(2019)选择性必修第二册知识点归纳含答案

答卷时应注意事项
１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；
３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；
４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；
５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；
６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；
７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！
高中数学选择性必修第二册必备知识手册2024一轮复习
【数列】
1、一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。

其中第1项叫做首项。

项数有限的的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列。

2、数列的一般形式是1a ，2a ，…，n a ，…，简记为{}n a 。

由于数列{}n a 中的每一项n a 与它的序号n 是一一对应的，所以数列{}n a 是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n }）到实数集R 的函数，其自变量是序号n ，对应的函数值是数列的第n 项n a ，记为()n a f n =。

也就是说，当自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一系列函数值(1)f ，(2)f ，…，()f n ，…就是数列{}n a 。

3、一般函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数。

与函数类似，我们可以定义数列的单调性。

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递减数列。

特别地，各项都相等的数列叫做常数列。

4、如果数列{}n a 的第n 项n a 与它的序号n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。

通项公式就是数列的函数解析式，根据通项公式可以写出数列的各项。

5、(1)n -或+1(1)n -常常用来表示正负相间的变化规律。

6、如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式。

知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项。

7、我们把数列{}n a 从第1项起到第n 项止的各项之和，称为数列{}n a 的前n 项和，记作n S ，即
12=n n S a a a +++L 。

显然11=S a ，而1121=(2)n n S a a a n --+++³L ，于是我们有
11,1,=, 2.
n n n S n a S S n -=ìí-³î8、一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常熟，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。

9、由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列。

这时，A 叫做a 与b 的等差中项。

根据等差数列的定义可以知道，2A a b =+。

10、首项为1a ，公差为d 的等差数列{}n a 的通项公式为1(1)n a a n d =+-。

11、由于11(1)()n a a n d dn a d =+-=+-，所以当0d ¹时，等差数列{}n a 的第n 项n a 是一次函数1()()()f x dx a d x R =+-Î当x n =时的函数值，即()n a f n =。

与此相通，任给一次函数()f x kx b =+（k ，b 为常数），则(1)f k b =+，(2)2f k b =+，…，()f n nk b =+，…构成一个等差数列{}nk b +，其首项为()k b +，公差为k 。

12、已知数列{}n a 是等差数列，p ，q ，s ，N t Î*，且p q s t +=+，则
p q s t a a a a +=+。

13、等差数列{}n a 的前n 项和公式1()2
n n n a a S +=。

把等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-代入公式，可得1(1)2n n n S na d -=+。

14、等差数列的前n 项和公式可以写成21()22
n d d S n a n =+-，所以当0d ¹时，n S 可以看成二次函数21()22
d d y x a x =+-（x R Î）当x n =时的函数值。

当0d <时，n S 关于n 的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点；
当0d >时，n S 关于n 的图像是一条开口向上的抛物线上的一些点。

15、已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，则{
}n S n 是等差数列。

16、已知等差数列{}n a 的公差为d ，则m n a a d m n
-=-，这个公式可以从直线的斜率这个角度
来理解。

17、一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（显然0q ¹）。

18、与等差中项类似，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，2G ab =。

19、首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为
11n n a a q -=。

20、类似于等差数列与一次函数的关系，由1n n a a q q
=×可知，当0q >且1q ¹时，等比数列{}n a 的第n 项n a 是指数函数1()x a f x q q =
×（x R Î）当x n =时的函数值。

与此相通，任给指数函数()x f x ka =（k ，a 为常数，0k ¹，0a >，且1a ¹），则(1)f ka =，
2(2)f ka =，…，()n f n ka =，…构成一个等比数列{}n ka ，其首项为ka ，公比为a 。

21、等比数列{}n a 的前n 项和公式1(1)(1)1n n a q S q q
-=¹-，因为11n n a a q -=，所以n S 还可以写成
1(1)1n n a a q S q q
-=¹-。

22、已知等比数列{}n a 的公比1q ¹-，前n 项和为n S ，则n S ，2n n S S -，32n n S S -成等比数列，这个数列的公比为n
q 。

23、已知a b ¹，且0ab ¹，对于n N Î*，11
1221n n n n n n n
a b a a b a b ab b a b ++----+++++=-L 。

24、一般地，证明一个与正整数n 有关的命题，可按下列步骤进行：
（1）（归纳奠基）证明当0n n =（0N n Î*）时命题成立；
（2）（归纳递推）以“当n k =（N k Î*，0k n ³）时命题成立”为条件，推出“当1n k =+时命题也成立”。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从0n 开始的所有正整数n 都成立，这种证明方法称为数学归纳法。

25、记()P n 是一个关于正整数n 的命题。

我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下：
条件：（1）0()P n 为真；（2）若()P k （N k Î*，0k n ³）为真，则(1)P k +也为真。

结论：()P n 为真。

26、数学归纳法常见的应用公式：①222112(1)(21)6
n n n n +++=++L ；②333
21
12[(1)]2n n n +++=+L ；③22212(1)1335(21)(21)2(21)
n n n n n n ++++=´´-++L 。

27、类比等差数列和等比数列的定义、通项公式、常用性质等，发现它们具有如下的对偶关系：只要将等差数列的一个关系式中的运算“＋”改为“×”，“－”改为“÷”，正整数倍改为正整数指数幂，相应地就可得到等比数列中一个形式相同的关系式，反之也成立。

m n k l
a a a a +=+m n k l
b b b b ×=×112()2n n n a a a a a ++++=L 2
121()n
n n b b b b b ×××=L 【一元函数的导数及其应用】1、对于函数()y f x =，设自变量x 从0x 变化到0+x x D ，相应地，函数值y 就从0()f x 变化到0(+)f x x D 。

这时，x 的变化量为x D ，y 的变化量为00()()y f x x f x D =+D -。

我们把比值y x
D D ，即00()()=f x x f x y x x
+D -D D D 叫做函数()y f x =从0x 到0+x x D 的平均变化率。

2、如果当0x D ®时，平均变化率y x D D 无限趋近于一个确定的值，即y x
D D 有极限，则称()y f x =在0x x =处可导，并把这个确定的值叫做()y f x =在0x x =处的导数（也称为瞬时变化率），记作0'()f x 或0'|x x y =，即00000()()'()=lim
lim x x f x x f x y f x x x D ®D ®+D -D =D D 。

3、x D 可以是正值，也可以是负值，但不为0。

4、在曲线()y f x =上任取一点P （x ，()f x ）沿着曲线()y f x =无限趋近于点0P （0x ，0()f x ）时，割线0P P 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线0PT 称为曲线()y f x =在点0P 处的切线。

容易发现，割线0P P 的斜率可以用平均变化率来表示，当0P P 无限趋近，则它的斜率可以用瞬时变化率来表示。

5、导数的几何意义：在曲线()y f x =上任取一点P （x ，()f x ），在它附近取一点0P （0x ，0()f x ），记0x x x D =-，当点P 沿着曲线()y f x =无限趋近于点0P 时，当0x D ®时，k 无限趋近于函数()y f x =在处的导数。

因此，函数()y f x =在0x x =处的导数。

因此，函数()y f x =在0x x =处的导数0'()f x 就是切线0PT 的斜率0k ，即
00000()()lim '()x f x x f x k f x x
D ®+D -==D ，这就是导数的几何意义。

6、从求函数()y f x =在0x x =处导数的过程可以看到，当0x x =时，0'()f x 是一个唯一确定的数。

这样，当x 变化时，'()y f x =就是x 的函数，我们称它为()y f x =的导函数（简称导数）。

()y f x =的导函数有时也记作'y ，即
0()()'()'lim
x f x x f x f x y x
D ®+D -==D 。

7、基本初等函数的导数公式表
8、一般地，对于两个函数()f x 和()g x 的和（或差）的导数，我们有如下法则：
[()()]''()'()
f x
g x f x g x ±=±
对于两个函数()f x 和()g x 的乘积（或商）的导数，我们有如下法则：
[()()]''()()()'()
f x
g x f x g x f x g x =+2
()'()()()'()[]'()[()]f x f x g x f x g x g x g x -= 由函数的乘积的导数法则可以得出，[()]''()'()'()cf x c f x cf x cf x =+=，
也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数和函数的导数的积，即[()]''()cf x cf x =。

9、一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过中间变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作(())y f g x =。

10、一般地，对于由函数()y f u =和()u g x =复合而成的函数(())y f g x =，它的导数与函数()y f u =，()u g x =的导数间的关系为'''
x u x y y u =×，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积。

11、一般地，函数()f x 的单调性与导函数'()f x 的正负之间具有如下的关系：
在某个区间（a ，b ）上，如果'()f x ＞0，那么函数在()y f x =在区间（a ，b ）上单调递增；
在某个区间（a ，b ）上，如果'()f x ＜0，那么函数在()y f x =在区间（a ，b ）上单调递减。

12、一般情况下，我们可以通过如下步骤判断函数()y f x =的单调性：
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数'()f x 的零点；
第3步，用'()f x 的零点将()f x 的定义域划分为若干个区间，列表给出'()f x 在各区间上的正负，由此得出函数()y f x =在定义域内的单调性。

13、一般地，函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，'()f a ＝0；而且在点x a =附近的左侧'()f x ＜0，右侧'()f x ＞0。

我们把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值。

14、一般地，函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，'()f b ＝0；而且在点x b =附近的左侧'()f x ＞0，右侧'()f x ＜0。

我们把b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值。

15、极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值。

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质。

16、导数值为0的点不一定是函数的极值点。

例如，对于函数3()f x x =，我们有2'()3f x x =。

虽然'(0)0f =，但由于无论x ＞0，还是x ＜0，恒有'()f x ＞0，即函数3()f x x =是增函数，所以0不是函数3()f x x =的极值点。

一般地，函数()y f x =在一点的导数值为0是函数()y f x =在这点取极值的必要条件，非充分条件。

17、一般地，可按如下方法求函数()y f x =的极值：解方程'()f x ＝0，当0'()f x ＝0时，
（1）如果在0x 附近的左侧'()f x ＞0，右侧'()f x ＜0，那么0()f x 是极大值；
（2）如果在0x 附近的左侧'()f x ＜0，右侧'()f x ＞0，那么0()f x 是极小值。

18、一般地，如果在区间[a ，b ]上函数()y f x =的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。

求函数()y f x =在区间[a ，b ]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求函数()y f x =在区间（a ，b ）上的极值；
（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。

19、常见不等式的证明：
（1）当x ＞0时，11ln x x -
£； （2）当x ＞0时，1ln x x -³；（3）当0x ¹时，1x e x >+；
（4）当x ＞0时，ln x x x e <<。

20、函数()f x 的图像可以直观地反映函数()f x 的性质。

通常可以按如下步骤画出()f x 的大致图像：
（1）求出函数()f x 的定义域；
（2）求导数'()f x 及函数'()f x 的零点；
（3）用'()f x 的零点将()f x 的定义域划分为若干个区间，列表给出'()f x 在各区间上的正负，并得出()f x 的单调性与极值；
（4）确定()f x 的图像所经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势；
（5）画出()f x 的大致图像。