2018届下学期北京市一零一中学高三3月月考试卷 数学(文)后附详解

文科数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项正确，请把答案写在答题．．．．．．．．卷上．．
） 1．已知集合A={x| x （x-2）<0}，B={x| lnx>0}，则A B 是（ ） A ．{x| x>0}
B ． {x| x>2}
C ．{x | 1<x<2}
D ．{x | 0<x<2}
2． 已知i 为虚数单位，设复数z 满足z+i=3，则|z|=（ ） A ．3
B ．
C ．4
D ．10
3． 某便利店记录了100天某商品的日需求量（单位：件），整理得下表：
A ．16
B ．16．2
C ．16．6
D ．16．8
4．“sin =
”是“cos2=0”的（ ） A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5． 下列函数中，是奇函数且在（0，1）内是减函数的是（ ）
①f （x ）=-x 3 ②f （x ）=（
）|x| ③f （x ）=-sinx ④f （x ）= A ．①③
B ．①④
C ．②③
D ．③④
6． 某四棱锥的三视图如图所示，网格纸上小正方形的边长为l ，则该四棱锥的体积为（ ）
A ．
B ．4
C ．
D ．4
7．阿波罗尼斯（约公元前262-190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k （k>0且k ≠1）的点的轨迹是圆。

后人将这个圆称为阿氏圆。

若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 与A ，B 距离之比为，当P ，A ，B 不共线时，△PAB 面积的最大值是（ ）
10α2
2
α21||x e
x 3
4
3
2
422此
卷只装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
A ．2
B ．
C ．
D ．
8． 如图，△PAD 为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面
PAD ⊥平面
ABCD 。

若点M 为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP=MC ，则点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为（ ）
A ．椭圆的一部分
B ．双曲线的一部分
C ．一段圆弧
D ．一条线段
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 9．执行如图所示的程序框图，输出S 的值为___________．
10．已知双曲线C 的中心在原点，对称轴为坐标轴，它的一个焦点与抛物线y 2=8x 的焦点重合，一条渐近线方程为x+y=0，则双曲线C 的方程是___________． 11．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD=60°，则·=___________．
12．若变量x ，y 满足约束条件则x 2+y 2的最小值为___________．
13． 高斯说过，他希望能够借助几何直观来了解自然界的基本问题．一位同学受到启发，按以下步骤给出了柯西不等式的“图形证明”：
（1）左图矩形中白色区域面积等于右图矩形中白色区域面积； （2）左图阴影区域面积用a ，b ，c ，d 表示为__________；
223
2
23
2AB ⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥+-≥-+,045,045,
04y x y x y x
（3）右图中阴影区域的面积为；
（4）则柯西不等式用字母a ，b ，c ，d 可以表示为（ac+bd ）2
≤（a 2
+b 2
）（c 2
+d 2
）． 请简单表述由步骤（3）到步骤（4）的推导过程：_____________．
14．已知函数f （x ）= g （x ）=f （x ）-kx （k ∈R ）．
①当k=l 时，函数g （x ）有__________个零点；
②若函数g （x ）有三个零点，则k 的取值范围是___________．
三、解答题（本题共6个小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．把答案写在答题卷上．．．．．．．．．
） 15．（本小题满分13分）
已知函数f （x ）=（sinx+cosx ）2-cos2x ． （I ）求f （x ）的最小正周期；
（II ）求证：当x ∈[0，
]时，f （x ）≥0．
16．（本小题满分13分）
已知由实数构成的等比数列{a n }满足a 1=2，a 1+ a 3+ a 5=42．
（I ）求数列{a n }的通项公式； （II ）求a 2+ a 4+ a 6+…+ a 2n ．
17．（本小题满分13分）
2017年，世界乒乓球锦标赛在德国的杜赛尔多夫举行．整个比赛精彩纷呈，参赛选手展现出很高的竞技水平，为观众奉献了多场精彩对决．图1（扇形图）和表1是其中一场关键比赛的部分数据统计．两位选手在此次比赛中击球所使用的各项技术的比例统计如图1．在乒乓球比赛中，接发球技术是指回接对方发球时使用的各种方法．选手乙在比赛中的接发球技术统计如
BAD d c b a ∠++sin 2222⎩⎨
⎧≥<<,
,
,0,sin ππx x x x x 2
π
表1，其中的前4项技术统称反手技术，后3项技术统称为正手技术．
图1
选手乙的接发球技术统计表
（I ）观察图1，在两位选手共同使用的8项技术中，差异最为显著的是哪两项技术?
（II ）乒乓球接发球技术中的拉球技术包括正手拉球和反手拉球．从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率是多少?
（III ）如果仅从表1中选手乙接发球得分率的稳定性来看（不考虑使用次数），你认为选手乙的反手技术更稳定还是正手技术更稳定?（结论不要求证明）
18．（本小题满分14分）
如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面ABC 为正三角形，侧棱AA 1⊥底面ABC ．已知D 是BC 的中点，AB=AA 1=2．
（I ）求证：平面AB 1D ⊥平面BB 1C 1C ； （II ）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；
（III ）求三棱锥A 1-AB 1D 的体积．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆C ：（b>0）的一个焦点坐标为（2，0）．
（I ）求椭圆C 的方程；
（II ）已知点E （3，0），过点（1，0）的直线l （与x 轴不重合）与椭圆C 交于M ，N 两点，直线ME 与直线x=5相交于点F ，试证明：直线FN 与x 轴平行．
20．（本小题满分13分） 已知函数f （x ）=xcos+a ，a ∈R ．
（I ）求曲线y=f （x ）在点x=
处的切线的斜率； （II ）判断方程f '（x ）=0（f '（x ）为f （x ）的导数）在区间（0，1）内的根的个数，说明理由；
（III ）若函数F （x ）=xsinx+cosx+ax 在区间（0，1）内有且只有一个极值点，求a 的取值范
围．
1522
22=+b
y b x 2
π
2018届下学期北京市一零一中学
高三3月月考试卷
文 科 数 学 答 案
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，只有一个选项正确，请把答案．．．．写在答题卷上．．．．．．
） 1-4：CBDA
5-8：ABAD
第Ⅱ卷
二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分，请把答案写在答题卷上．．．．．．．．．．） 9．48
10． 11．2 12．8
13．ac+bd ；两个要点：（1）两图中的阴影部分面积相等；（2）|sin ∠BAD|≤1
14．1，（0，
] 三、解答题（本题共6个小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卷上）
15． 解：（I ）因为f （x ）=sin 2x+cos 2x+sin2x-cos2x
=1+sin2x-cos2x=sin （2x-
）+1． 所以函数f （x ）的最小正周期为．…………………………7分
12
22
2=-y x π
π
24
π
π
（II ）由（I ）可知，f （x ）=sin （2x-
）+1． 当x [0，
]时，2x-[-，]，sin （2x-）[-，1]，
sin （2x-
）+1∈[0，+l]． 当2x-
=-，即x=0时，f （x ）取了最小值0．所以当x ∈[0，]时，f （x ）≥0．…13分
16．解：（I ）由可得2（1+q 2+q 4）=42．
由数列{a n }各项为实数，解得q 2=4，q=2．
所以数列{a n }的通项公式为a n =2n 或a n =（-1）n-1·2n ………………7分
（II ）当a n =2n
时，a 2+ a 4+ a 6+…+ a 2n =·（4n -1）；
当a n =（-1）
n-1
·2
n
时，a 2+ a 4+ a 6+…+ a 2n =
·（1-4n ）． ． ． ． ． 13分
17． 解：（I ）根据所给扇形图的数据可知，差异最为显著的是正手搓球和反手拧球两项技术．
……………2分
（II ）根据表1的数据可知，选手乙的反手拉球2次，分别记为A ，B ，正手拉球4次，分别记为a,b ，c,d ．则从这六次拉球中任取两次，共15种结果，分别是： AB ，Aa,Ab ，Ac ，Ad,Ba ，Bb ，Bc,Bd,ab ，ac ，ad,bc,bd,cd ．
24
π
∈2π4π∈4π43π4π
∈2
224
π
24π4π2
π
⎩⎨
⎧=++=42
2
5311a a a a ±3
4
41)41(4=--n 3
4
41)41()4(=--⋅-n
其中至少抽出一次反手拉球的共有9种，分别是：AB,Aa ，Ab ，Ac,Ad,Ba ，Bb ，Bc,Bd ． 则从表1统计的选手乙的所有拉球中任取两次，至少抽出一次反手拉球的概率
．………………10分 （III ）正手技术更稳定． ……………………13分
18． （I ）证明：由已知△ABC 为正三角形，且D 是BC 的中点，所以AD ⊥BC ．因为侧棱AA 1⊥底面ABC ，AA 1∥BB 1，所以BB 1⊥底面ABC ．又因为AD 底面ABC ，所以BB 1⊥AD ．而B 1B BC=B ，所以AD ⊥平面BB 1C 1C ．因为AD 平面AB 1D ，所以平面AB 1D ⊥平面BB 1C 1C ．…5分
（II ）证明：连接A 1B ，设A 1B AB 1=E ，连接DE ．
由已知得，四边形A 1ABB 1为正方形，则E 为A 1B 的中点． 因为D 是BC 的中点，所以DE ∥A 1C ． 又因为DE 平面AB 1D ，A 1C 平面AB 1D ， 所以A 1C ∥平面AB 1D ．………………………10分
（III ）由（II ）可知A 1C ∥平面AB 1D ，所以A 1与C 到平面AB 1D 的距离相等，
5
3
159==
P ⊂ ⊂
⊂⊄
所以．由题设及AB=AA 1=2，得BB 1=2，且． 所以=
×，
所以三棱锥A 1-AB 1D 的体积为． …………………………14分 19． 解：（I ）由题意可知所以a 2=5，b 2=1． 所以椭圆C 的方程为=1 ………3分 （II ）①当直线l 的斜率不存在时，此时MN ⊥x 轴．设D （1，0），直线x=5与x 轴相交于点G ，易得点E （3，0）是点D （1，0）和点G （5，0）的中点，又因为|MD|=|DN|，所以|FG|=|DN|．所以直线FN ∥x 轴．
②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y=k （x-1）（k ≠0），
M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．因为点E （3，0），所以直线ME 的方程为y=
（x-3）． 令x=5，所以y F =
（5-3）=． 由消去y 得（1+5k 2）x 2-10k 2x+5（k 2
-1）=0． 显然>0恒成立．所以x 1+x 2=，x 1x 2=．
因为y 2-y F =y 2-
== D AB C D AB A V V 111--=2
3=
∆ACD S ACD B D AB C V V --=1131
3
3223311=⨯⨯=⨯∆BB S ACD 3
3
11=
-D AB A V ⎩⎨⎧==.5,
22
2b a c 22
5
y x +3
11
-x y 311-x y 3
211
-x y ⎩⎨⎧=+-=55),1(2
2y x x k y ∆151022+k k 1
5)
1(522+-k k 3211-x y 32)3(1112---x y x y 3
)
1(2)3)(1(1112-----x x k x x k
==
=·，
所以y 2=y F ．所以直线FN ∥x 轴．综上所述，所以直线FN ∥x 轴．……………14分
20． 解：（I ）f '（x ）=cosx-xsinx ·k=f '（
）=．……………………3分 （II ）设g （x ）=f '（x ），g' （x ）=-sinx-（sin x+xcosx ）=-2sinx-xcosx ． 当x ∈（0，1）时，g '（x ）<0，则函数g （x ）为减函数． 又因为g （0）=1>0，g （1）=cos1-sin1<0， 所以有且只有一个x 0∈（0，1），使g （x 0）=0成立．
所以函数g （x ）在区间（0，1）内有且只有一个零点，即方程f '（x ）=0在区间（0，1）内有且只有一个实数根． …………………………7分
（III ）若函数F （x ）=xsinx+cosx+ax 在区间（0，1）内有且只有一个极值点，由于F '（x ）=f （x ），即f （x ）=xcosx+a 在区间（0，1）内有且只有一个零点x 1，且f （x ）在x 1两侧异号．
因为当x ∈（0，1）时，函数g （x ）为减函数，所以在（0，x 0）上，g （x ）>g （x 0）=0，即f '（x ）>0成立，函数f （x ）为增函数；
在（x 0，1）上，g （x ）<g （x 0）=0，即f '（x ）<0成立，函数f （x ）为减函数． 则函数f （x ）在x=x 0处取得极大值f （x 0）．
当f （x 0）=0时，虽然函数f （x ）在区间（0，1）内有且只有一个零点x 0，但f （x ）
3
]5)(3[12121-++-x x x x x k 3]51510315)1(5[12222-++⨯-+-x k k k k k 1
552+k k 031
5611222=-++--x k k k 2π2
π
在x 0两侧同号，不满足F （x ）在区间（0，1）内有且只有一个极值点的要求． 由于f （1）=a+cos1，f （0）=a ，显然f （1）>f （0）． 若函数f （x ）在区间（0，1）内有且只有一个零点x 1，且f （x ）在x 1两侧异号， 则只需满足：
．即，解得-cos1a<0．…………13分
⎩⎨⎧≥<0)1(0)0(f f ⎩
⎨⎧≥+<01cos 0a a ≤。