第四角动量守恒五章刚体力学

例1 :一质量为m，长为L的匀质细杆，在水平面内绕端点O的铅直
轴 为转μ。动求，（如1图）所细示杆，所若受初的始摩角擦速力度矩为Mf；o，（杆2）与若水细平杆面只的受摩此擦摩系擦数
T1
2m2m1 g m1 m1 m2
Mf R
a
(m1
m2 )g
Mf R
m1 m2
T2
2m1m2 g m2 m1 m2
Mf R
若 M f 0, m 0, 则有：
a m1 m2 g m1 m2
T1
T2
2m1m2 m1 m2
g
例 题5 : 一质量为 m半径为R的匀质圆盘，以角速度 0绕垂直于盘 面的中心轴旋转，如图所示。今将该圆盘置于水平面上，其间的
摩擦系数为 ，问圆盘转动多长时间停止。
解: 设 0 的方向为正
0
前面例题已求出圆盘所受的的摩擦力矩：
Mf
2 mgR
3
mO R
由转动定律 M J 得：
M f 2 m g R 1m R 2 4 g
J
3
2
3R
∴ 是匀变速转动， 由 0 t , 令 0 得：
t 0
0 3R0 4 g / 3R 4 g
当 0 时， 2
由 M J 得：
⑵ 由 M J 得：
t
k
0J
dt
0
Mf
k ( 0
2
)2
,
k ( 0 )2 J ,
2
k 2
J
J
d
d 2
,
k
dt
t
(
J
1
k
2 0
4J
1 ),
0
J0 , 令 0得：
J k0t
2
t J
k0
练习题：质量为m的物体悬于轻绳的一端，绳绕在一轮轴 上，如图所示。轴水平，轮半径为 r，物体由静止释放， 在时间 t内下降距离为h，试求整个轮轴的转动惯量J（ 用 m、 r 、t和h表示）
取质元： 其中：
dm dl
m 2 R
dm
m
RO
J R2dm R2 dl
R2
2
0
R dl
R2 2 R
mR2
课本 P.98 例 5-3
例题3: 匀质薄圆盘的 J (质量 m ，半径 R ，轴过圆心垂直盘面)。
取细圆环 其中：
d m 2 r d r
m
R2
dr
R
r
dJ
r 2dm
r2
fi
由牛顿定律: Fi fi miai
,
fi
ri
Fi
mi
自然坐标系中，法向分力的力矩为零， 故只列切向分量式：
Fi sin i fi sin i m i a i t , 两端同乘 ri 得：
Fi sin i fi sin i m i a i t , 两端同乘 ri 得：
ri Fi sini ri fi sini ri miai t miri2 ai t ri , 对组成刚体的所有质元求和得：
( ) riFi sin i ri fi sini
miri2
i
i
i
刚体的合外力矩 合内力矩 = 0
J
由此得出： 其中：
M外 J
J mi ri2 i
— 转动定律 (5-15） — 称刚体的 转动惯量
转动定律 — 刚体所受合外力矩 = 刚体转动惯量×角加速度。
M外 J
3. 讨论
⑴ J 一定，则 ， M M 是改变刚体转动状态的原因。
并能用其分析有关问题。
§ 5-1 刚体的运动
★ 刚体 — 受力而不形变的物体。
★ 说明：
1. 刚体是理想模型。 2. 在外力的作用下, 其上任意两点
均不发生相对位移。
一、刚体的平动和转动
A
A
1. 刚体的平动
连接刚体中任意两点
B
A
B
的线段在运动中始终保持
平行。
B
特点: 刚体上所有点的 运动轨迹 、r 、v、a 都相同,
m
R2
2
r dr
J
r 2dm
R
0
m
R2
2
r3
dr
1 mR2 2
6. 平行轴定理
JA JC md 2
(5-7)
说明：
⑴ 两轴平行；
⑵ JC 为刚体绕质心轴的转动惯量； ⑶ d 为两平行轴间的距离。
d
A
C
适用情况:
A
C
CA
例：匀质细杆
J端
J
c m
(
l 2
)2
1 12
ml
2
1 4
ml
2
1 3
ml
方向。
对于定轴转动, 力矩的方向可用正、负号表示之。
2. 讨论:
若力F 不在参考平面内, M = ?
(1) 与转轴垂直且通过转轴的力不产生力矩。 (2) 与转轴平行的力对转轴不产生力矩。 (3) 合力矩的大小等于各力矩的代数和。
2 F2
F1
r2 O
r1
1
例：
M r1F1 sin1 r2F2 sin2
⑵ M 一定，则 1 J ，J 是刚体转动惯性大小的量度。 ⑶ M = 0，则 α = 0，ω = 常量，刚体保持转动状态不变。
⑷ M = 常量，则 α = 常量，刚体做匀变速转动。
0 t ,
0
t
1
2
t2
⑸
M,
J ,均 对同一转轴,
具有瞬时性，M
指合外力矩。
五、转动惯量 J
1. J 的计算
定轴转动时各质元动能：
ΔEki
1 2
Δmi
vi
2
1 2
Δmi
ri
2
2
刚体的转动动能 = 各质元动能的总和：
ri
vi
mi
Ek
i
ΔEki
i
1 2Δmi
ri2
2
1( 2
i
Δm i
ri
2
)
2
1 2
J
2
Ek
1 J 2
2
— 刚体的转动动能
(5-5)
★ 特点: 1. 是刚体上所有质元动能之和。
2. 因转动而存在，可使刚体反抗阻力矩做功。
基本要求
一、理解描述刚体定轴转动的物理量：角坐标、角位移、 角速度和角加速度等概念。
二、理解力矩的概念，能求解力对固定转轴的力矩
三、了解转动惯量的概念，理解刚体绕定轴转动的转动定 律，能熟练用其求解定轴转动问题。
四、理解力矩的功、刚体定轴转动的动能定理。 五、了解角动量概念，理解角动量定理和角动量守恒定律，
2
六、转动定律的应用（重点）
1. 隔离法分析研究对象，建立坐标系。 2. 对刚体列转动定律方程，对质点列牛顿定律方程。 3. 列出辅助方程。
★ 注意： ⑴ 力矩和转动惯量必须对同一转轴而言。 ⑵ 选定转轴正方向, 以确定力矩、角加速度、角速度的正负。 ⑶ 当系统中既有转动物体，又有平动物体时, 用隔离法解题。 对转动物体用转动定律建立方程, 对平动物体则用牛顿定律建立方 程。
dr＝F
cos
d r
F sin r d Md
dA Md
2. 总功： A Md
3. 说明:
(5-11)
⑴ 反映力矩的空间累积结果。
⑵ 恒力矩的功 A M
⑶ 合外力的功 = 合外力矩的功。
⑷ 合内力矩的功 = 0。
d
dr
F
r
八、刚体的转动动能 (P.94)
刚体分为质元 Δm1,Δm2 ,,Δmi ,
d
dt
d2
dt 2
6. 角量与线量的关系 (P.103)
s r
v r
v
r
s
O
x
v r
a r
a n r 2
at
an
r
v
2r
三、力矩 (课本p81)
M
1. 力矩的定义
对 O 点力矩: M rF
O
r
F
大小: M rF sin
M
方向:
M
r F
,
r
和
F
所决定的平面
右手法则： 伸经出小右于手的四角指度垂转直向拇指F的，方让向四，指指 拇指向指r的向方M的向，
九、刚体定轴转动的动能定理 (P.100)
由转动定律 M J
得 Md J d J d d J d d J d
dt
dt
A
2 1
Md
2 J
1
d
1 2
J22
1 2
J12
刚体的转动动能定理
— 合外力矩对刚体所做的功 = 刚体转动动能的增量。
A
2
1
Md
1 2
J22
1 2
J12
(5-14)
★ 说明：
(1) 转轴过中心与杆垂直
取质元： dm m dx l
J
l
r 2dm
2 l
2
x2 m dx 1 m l 2
l
12
dm
O x dx x
(2) 转轴过棒一端与棒垂直
O
J
r2dm
l
0
x2 m dx l
1m l2 3
dm
x dx x
例 题2: 均匀细圆环的 J (质量 m，半径 R，轴过圆心垂直环面)。
⑴ 单个质点
J m r2
m●
rO
⑵ 质点组 J mi ri2
⑶ 质量连续分布的刚体
线分布 dm dl , 面分布 dm dS , 体分布 dm dV ,
J r 2dm dm — 质量线密度 dl dm — 质量面密度 dS dm — 质量体密度 dV
2. J 的单位
A• •
•A •
二、定轴转动的描述
参考平面 — 与转轴相垂直的平面。
1. 角坐标
— 位矢与 ox 轴夹角。
★ 规定：
位矢沿ox 轴 逆时针
方向转动时角位置 为正，
o
反之为负。 2. 运动方程
参考平面
(t)
定轴转动只有 两个转动方向
参考
x 方向
3. 角位移
4. 角速度
d
dt
Δ
O
x
5. 角加速度
m : T1R T2R Mf J 辅助方程： a R
从以上各式解得
①
R
m
②
③ m2 a
④ m1
T2 T2
m2
m2g
T1 T1
a
m1
m1g
a
m1 m2 g Mf /
m1 m2 J / R2
R
m1
m1
m2 g Mf /
m2 m / 2
R
T1 m1g a
(2m2 m 2) m1g m1Mf / R m1 m2 m / 2
T2 m1g a
(2m1 m 2) m2g m2Mf / R m1 m2 m / 2
若忽略 Mf ，则： a m1 m2 g
m1 m2 m / 2
T1
(2m2 m m1 m2
2) m1g m/2
,
T2
(2m1 m m1 m2
2) m2g m/2
若 m 0,则有：
kg m2
3. 决定 J 的三个因素
⑴ 刚体的总质量；
⑵ 质量分布；
⑶ 转轴的位置。 ★ 结论：
同一刚体对不同转轴的转动惯量不同， 凡是提到转动惯 量，必须指明它是对哪个轴的才有意义。
J 的意义：刚体转动惯性大小的量度。
5. J 的计算举例
例题1:
课本 P.97 例 5-2 计算匀质细杆的 J 。
例题4:一轻绳跨过定滑轮如图所示，绳两端分别悬挂质量为m1、m2
的物体，且m1 m，2 滑轮可视为质量为m半径为R的匀质圆盘，轴
处摩擦力矩为
M
，绳不可伸长且与滑轮间无相对滑动，求重物的
f
加速度及绳中的张力。
Mf R O
m
解: 隔离法 列出运动方程
m 1 : m1g T1 m1a m 2 : T2 m2g m2a
2
r df
O
r
df
dr
dm
Mf
M f
dMf
rd f
l mgrdr 1m gl
0l
2
方向：
例 2：水平桌面上匀质薄圆盘半径 R ，质量 m ，绕中心垂直轴
转动，已知摩擦系数为 μ ，求：圆盘受的摩擦力矩 Mf 。
解： 选细圆环，半径 r ，宽 dr
d S 2 r d r ,
dm
m R
可用质点运动来描述。
2. 刚体的定轴转动
刚体上各点都绕同一转轴作 半径不同的圆周运动， 在相同时 间内转过相同的角度。 特点： ⑴ 刚体上各点在垂直转轴的平面内作圆周运动；
⑵ 刚体上各点的 、、 均相同。
3. 刚体的一般运动
将刚体的运动看作其 质心的平动与相对于通过 质心并垂直运动平面的轴 的转动的叠加。
2
2
r
d
r
dMf df r dm g r
R
dr
r
Mf
dMf
0R
m R
2
2
r
dr
gr
2 m g
R2
R r 2dr
0
2 mgR
3
方向：
四、转动定律 (重点）（课本p100）
1. 刚体定轴转动 的转动定律
M J
(5-15)
2. 转动定律的推导
刚体上任意质元
mi
,
位矢
ri
O
合外力 Fi ,
合内力
(4) 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。
O
d r1 r2
1
f21
1 f12 2
2
3. 力矩的计算举例
例 1：水平桌面上匀质细杆长 l ，质量 m，绕一端垂直轴转动，
已知摩擦系数为 μ ，求：细杆受的摩擦力矩 Mf 。
解： dm m dr
l
df dm g m gdr
l
dMf
r
df
sin
解： 对m : mg T ma (1)
对轮轴： Tr J (2)
r
a r
(3)
联立（1）—（3）解得：
J m(g a)r 2 (4)
a
v0 0
h 1a t2 2
2h a t2
h
代入（4）式得： J mr 2 ( gt 2 1)
2h
七、力矩的功 （ 课本p98）
1. 元功
dA
F
1. 定理描述了力矩作用的空间累积效果,适用于定轴转动的刚体。
2. 定轴转动刚体的机械能 = 势能 + 转动动能。
E mgh 1 J 2
2
（其中 h 为刚体质心到势能零点的垂直高度）
3. 系统 ( 刚体+质点 ) 的动能定理为
A
(
1 2
mv
2
1 2
J
2
)
(
1 2
mv02
1 2
J02
)
4. 系统仅保守力做功 ,机械能守恒。
例 题6:
物理练习二 填空题 1 飞轮绕中心垂直
轴转动,转动惯量为 制动过程,阻力矩 M
J的,大在小t 与0角时速角度速度的为平方0 ,此成后正飞比轮,比经例历系