7.3.2正弦函数的图像和性质课件高一下学期数学人教B版

在闭区间
π2
π 2
，2k3π2π, 32π
2ykπ,
k
Z
上，是减函数.
1
o -3 5π -2 3π - π
2
2
2
-1
x
π 2
3π 2
2
5π 2
3
7π 2
4
图 像 -2
定义域 值域
y
1
- o
-1
y=sinx
2 3 4 x
R [1,1]
最值
x
2k
2
(k Z)
时， ymax=1
x
2k
2
(k Z)
以及使函数取得最大值、最小值的自变量x的值.
解： y sin x 2和 y sin x同时取得最值，
例4.（2）求函数 y sin x -12 2 的最大值和最小值，
以及使函数取得最大值、最小值的自变量x的值.
解：令 sin x t
y t 12 2，t 1，1
根据二次函数的性 质据函数在1，1上单单调递
3
4
解
(1)
因为
π 2
＜
π ＜ 10
π＜ 18
π 2
，
且
y
＝sin
x
在[
π 2
，π 2
]
上是增函数．
所以 sin( π )＜sin( π ) ．
10
18
(2) 因为
π ＜ 2 π ＜ 3 π ＜π ，
23
4
且
y ＝sin x
在
[
π 2
，π]
上是减函数，
所以
sin
2π 3
＞
sin
3π 4
．
例4.（1）求函数 y sin x 2 的最大值和最小值，
《普通高中教科书 数学（B版）》必修三第七章第三节第一课时
正弦函数的性质与图象
学习目标
1、通过绘制正弦函数图象，归纳出“五点法”，提升直观想象素养。
2、通过例1，提升“五点作图法”及图象变换思想。
3、通过例2、例3、例4，掌握正弦函数的定义域、值域、单调性、 奇偶性，数形结合思想的应用。培养化归转化思想的运用。
它的最小正周期．
(2) 正弦函数的周期性
由公式 sin (x＋k ·2 )＝sin x (kZ) 可知： 正弦函数是一个周期函数，2 ，4 ，… ，－2 ， －4 ，… ， 2k (kZ 且 k≠0)都是正弦函数的周期．
2 是其最小正周期 .
(3) 正弦函数的奇偶性
由公式 sin(－x)＝－sin x
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
x
-1 -
-
-
观察 y sin x, x [0, 2 ] 图象的最高点、最低点和图象与 x 轴的交点？
坐标分别是什么？ y
1-
-
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7 6
4π 3
3π
5π
2
3
11π 6
2π
-1 -
图象的最高点: ( π ，1)； 2
与 x 轴的交点: (0，0)，(π，0)，(2 π，0)；
正弦曲线
由终边相同的角三角函数值相同，所以 y＝sin x 的图象在 … ，
[-4 ，-2 ] ， [-2 ，0] ， [0，2 ] ，[2 ，4 ] ， … 与 y＝sin
x，x[0，2 ] 的图象相同 ，于是平移得正弦曲线 .
sinx=sin（x+2kπ），k∈Z
y
1-
-
-
6π
4π
2
当t=1的时候函数有最小值，此时x 2k (k Z )
2
当t=-1的时候函数有最大值，此时x 2k
2
(k Z )
同学们，其实生活有时就像正弦曲线一样，有
高峰也有低谷。不管我们身处哪里，我们都应：
生命不息，奋斗不止！
感谢你这么好看， 还那么认真的倾听！
时， ymin=
1
图象 周期性 奇偶性
单调性
y=sinx
y 1
-2
-
o
-1
2
3
4 x
2
奇函数
单调增区间: [ 2k , 2k ](k Z)
2
2
单调减区间:
[
2k , 3
2k ](k
Z)
2
2
例 3 不求值，比较下列各对函数值的大小：
(1) sin( π ) 和sin( π )；
18
10
(2) sin 2 π 和 sin 3π ．
o
-1-
2π
4
6
x
正弦函数的图象叫做正弦曲线，它是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
二、正弦函数的性质
观察正弦曲线，得出正弦函数的性质：
y
1
-4 -3
-2
- o
-1
2
3
4
定义域 xR
值域 [－1,1]
x π 2kπ(k Z ) 时，取最大值1； 2
x π 2kπ(k Z ) 时，取最小值－1； 2
5 6 x
例2.已知 sin x t 3, x R ,求t的取值范围。
解： 1 sin x 1,1 t 3 12 t 4
练习.下列各等式有可能成立吗？为什么？
（1）sin2 x 1 , 4
（2）3sin x 4
sin x 1 ,有可能 2
sin x 4 1,不可能 3
周期的概念
一般地，对于函数 f (x)，如果存在一个非零
常数 T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都
有 f ( x＋T )＝ f (x)，那么函数 f (x) 就叫做周期
新疆 王新敞
奎屯
函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数，如果在它的所有周期中
存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做
正弦函数是奇函数．
图象关于原点成中心对称 .
y
1
o -3 5π -2 3π - π
2
2
2
-1
π
2
3π 2
2
5π 2
x
3 7π 4 2
(4) 正弦函数的单调性
观察正弦函数图象
x
π 2
…
0
…π
2
sinx -1
0
1
… 0
3π
…2 -1
在闭区间 π2 π22，kπ2π,π2 2kπ, k Z 上, 是增函数；
图象的最低点:
(3π ，1) ． 2
x
五点 作图法
正弦函数Fra Baidu bibliotek图象
y
(五点作图法)
1-
-
-1
o
6
3
2
2 3
5
7
6
6
4 3
3 2
5 3
11 6
2
-1 -
图象的最高点
(
,1)
2
与x轴的交点
(0,0) ( ,0)(2 ,0)
x
图象的最低点 (32 ,1)
简图作法 (1) 列表(列出对图象形状起关键作用的五点坐标) (2) 描点(定出五个关键点)
(3) 连线(用光滑的曲线顺次连结五个点)
五点作图法
例1 画出函数 y 1 sin x，x [0，2 π] 的简图．
解 列表
x
0
π 2
sin x 0 1
π
3π
2π
2
0
1
0
sin x 1 1
2
1
0
1
描点作图
y
2-
y 1 sin x，x [0，2 π]
1-
o
π 2
π
3π
2π
2
x
1-
y sin x，x [0，2 π]
重点、难点
重点：“五点法”画长度为一个周期的闭区 间上的正弦函数图象；
难点：正弦函数的性质。
问题1 三角函数是一类新的基本初等函数，按照函数研究的路径，学 习了三角函数的定义后，接下来该研究什么问题？怎样研究？
追问1：绘制一个新函数图象的基本方法是什么？ 追问2：根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域的函数图 象吗？选择哪一个区间即可？
y
P(c osx, sinx)
α
o
x
一、正弦函数的图象(几何法)
1.用几何法作正弦函数的图像
利用正弦线作出 y sin x，x 0，2 的图象.
P1
6
o1
M-11 A
y
1p1/
作法: (1) 等分; (2) 作正弦线; (3) 平移;
(4) 连线.
o
π 6
π 3
π 2
2π 3
5π 6
π
7π 6