2014年高考四川文科数学试题及答案(word解析版)
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2014年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数学(文科)
第Ⅰ卷(共50分)
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)【2014年四川卷,文1,5分】已知集合{|(1)(2)0}A x x x =+-≤,集合B 为整数集,则A B =( )
(A ){1,0}- (B ){0,1} (C){2,1,0,1}-- (D ){1,0,1,2}- 【答案】D
【解析】由已知得{}12A x x =-,又集合B 为整数集,所以{}1,0,1,2A B =-,故选D .
(2)【2014年四川卷,文2,5分】在“世界读书日”前夕,为了了解某地5000名居民某天的阅读时间,从中抽取
了200名居民的阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000名居民的阅读时间的全体是( ) (A )总体 (B )个体 (C )样本的容 (D )从总体中抽取的一个样本 【答案】A
【解析】由题目条件知,5000名居民的阅读时间的全体是总体;其中1名居民的阅读时间是个体;从5000名居
民某天的阅读时间中抽取的200名居民的阅读时间是从总体中抽取的一个样本,样本容量是200,故选A .
(3)【2014年四川卷,文3,5分】为了得到函数sin(1)y x =+的图象,只需把函数sin y x =的图象上所有的点
( )
(A )向左平行移动1个单位长度 (B )向右平行移动1个单位长度
(C )向左平行移动π个单位长度
(D )向右平行移动π个单位长度 【答案】A
【解析】根据平移法则“左加右减"可知,将函数sin y x =的图像上所有的点向左平移移动1个单位长度即可得到
函数()sin 1y x =+的图像,故选A .
(4)【2014年四川卷,文4,5分】某三棱锥的侧视图、俯视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )
(锥体体积公式:1
3
V Sh =,其中S 为底面面积,h 为高)
(A )3 (B )2 (C )3 (D)1
【答案】D
【解析】由俯视图可知,三棱锥底面是边长为2的等边三角形.由侧视图可知,三棱锥的高为3.故该三棱锥的
体积11
233132
V =⨯⨯⨯⨯=,故选D .
(5)【2014年四川卷,文5,5分】若0a b >>,0c d <<,则一定有( )
(A)a b d c > (B )a b d c < (C )a b c d > (D )a b
c d
<
【答案】B
【解析】因为0c d <<,所以110c d >>,两边同乘1-,得11
0d c ->->,又0a b >>,故由不
等式的性质可知0a b d c ->->,两边同乘1-,得a b
d c
<,故选B .
(6)【2014年四川卷,文6,5分】执行如图的程序框图,如果输入的,x y R ∈,那么输
出的S 的最大值为( ) (A )0 (B )1 (C )2 (D )3
【答案】C
【解析】由程序框图可知,若输入的x ,y 满足约束条件0
01x y x y ⎧⎪
⎨⎪+⎩,则输出目标函数2S x y =+
的值,否则,输出1S =.如图,作出满足条件的可行域.当1x =,0y =时,目标 侧视图
俯视图
11
2
2
2
21
1
1
y
函数2S x y =+取得最大值2,21>,故输出的S 的最大值为2,故选C .
(7)【2014年四川卷,文7,5分】已知0b >,5log b a =,lg b c =,510d =,则下列等式一定成立的是( )
(A)d ac = (B )a cd = (C )c ad = (D)d a c =+ 【答案】B
【解析】5log b a =,0b >,故由换底公式得lg lg5
b
a =,所以lg lg5
b a =.
因为lg b c =,所以lg5a c =,因为510d =, 所以5log 10d =,即1lg5d =,将其代入lg5a c =中得a
c d
=,即a cd =,故选B .
(8)【2014年四川卷,文8,5分】如图,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分
别为75,30,此时气球的高是60cm ,则河流的宽度BC 等于( ) (A)240(31)m - (B)180(21)m - (C )120(31)m - (D )30(31)m +
【答案】C
【解析】如图,30ACD ∠=,75ABD ∠=,60AD =m ,
在Rt ACD △中,60
603tan tan30
AD CD=ACD ==∠m ,
在Rt ABD △中,()
6060
6023tan tan 7523
AD BD =ABD ===-∠+m ,
所以()()
603602312031BC CD BD =-=--=-m ,故选C .
(9)【2014年四川卷,文9,5分】设m R ∈,过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=
交于点(,)P x y ,则||||PA PB +的取值范围是( ) (A )[5,25] (B)[10,25] (C )[10,45] (D )[25,45] 【答案】B 【解析】直线0x my +=过定点()0,0A ,直线30mx y m --+=过定点()1,3B . ①当0m =时,过定点A 的直线方程为0x =,过定点B 的直线方程为3y =,两条 直线互相垂直,此时()0,3P ,所以4PA PB +=.
②当0m ≠时,直线0x my +=的斜率为1
m -,直线30mx y m --+=的斜率为m ,
因为11m m -⨯=-,所以两条直线互相垂直,即点P 可视为以AB 为直径的圆上 的点.当点P 与点A 或点B 重合时,PA PB +有最小值10.当点P 不与点A ,点B 重合时,PAB
△为直角三角形,且2
2
2
10PA PB AB +==.由不等式性质知22
2
252
PA PB
PA PB
++=,所以
10,25PA PB ⎡⎤+∈⎣⎦.综合①②得10,25PA PB ⎡⎤+∈⎣⎦,故选B .
(10)【2014年四川卷,文10,5分】已知F 为抛物线2y x =的焦点,点A ,B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧,2OA OB ⋅=(其中O 为坐标原点),则ABO ∆与AFO ∆面积之和的最小值是( )
(A )2 (B )3 (C )172
8
(D)10
【答案】B
【解析】如图所示,设()11,A x y ,()22,B x y ,则12122x x y y +=(*).不妨设A 点在第一象
限,则10y >,20y <.设直线AB :x my n =+,代入2y x =中,得20y my n --=,
则12y y n =-,代入(*)式,有220n n --=,解得2n =或1n =-(舍),故直线AB 过定点()2,0,
所以ABO AFO S S +=
△△1211112224y y y ⨯⨯-+⨯⨯129
8
y y =-()1292
3382
n
y y -==≥,故选B . 第II 卷(共100分)
30°75°
60m
C
B
A D C
B
A 75°
30
°60 m
mx-y-m+3=0
x+my=0
y
x 2
1
3
-1-2-1321P
B
A
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分
(11)【2014年四川卷,文11,5分】双曲线2
214
x y -=的离心率等于 .
【解析】由双曲线方程2214
x y -=知24a =,21b =,2225c a b =+=
,所以c e a == (12)【2014年四川卷,文12,5分】复数22i
1i
-=+ .
【答案】2i -
【解析】()()()()
()2
222i 1i 22i 1i 12i i 2i 1i 1i 1i ---==-=-+=-++-.
(13)【2014年四川卷,文13,5分】设()f x 是定义在R 上的周期为2的函数,当[1,1)x ∈-时,242,10,(),01,x x f x x x ⎧-+-≤<=⎨≤<⎩
,则3()2f =________.
【答案】1
【解析】()f x 是定义域在R 上的圆周期为2的函数,且()24210
01x x f x x x ⎧-+-<=⎨<⎩
,
所以2
31142121222f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-=-⨯-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.
(14)【2014年四川卷,文14,5分】平面向量(1,2)a =,(4,2)b =,c ma b =+(m R ∈),且c 与a 的夹角等于c 与
b 的夹角,则m =_______.
【答案】2
【解析】()1,2=a ,()4,2=b ,则()4,22m m m +=++c =a b
,a =
,b =58m ⋅=+a c ,820m ⋅=+b c .因
为c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角,所以
⋅⋅=⋅⋅a c b c a c b c
,解得2m =. (15)【2014年四川卷,文15,5分】以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数()x ϕ组
成的集合:对于函数()x ϕ,存在一个正数M ,使得函数()x ϕ的值域包含于区间[,]M M -.例如,当31()x x ϕ=,
2()sin x x ϕ=时,1()x A ϕ∈,2()x B ϕ∈.现有如下命题:
①设函数()f x 的定义域为D ,则“()f x A ∈”的充要条件是“b R ∀∈,x R ∃∈,()f a b =”; ②若函数()f x B ∈,则()f x 有最大值和最小值;
③若函数()f x ,()g x 的定义域相同,且()f x A ∈,()g x B ∈,则()()f x g x B +∉;
④若函数2()ln(2)1
x
f x a x x =+++(2x >-,a R ∈)有最大值,则()f x B ∈.
其中的真命题有____________.(写出所有真命题的序号). 【答案】①③④
【解析】对于①,()f x A ∈⇔()f x 的值域为R ⇔b ∀∈R ,a D ∃∈,()f a b =,故①正确;
对于②,当()1
f x x
=
,1x >时,()1f x <,即()()[]1,00,11,1-⊆-,但()f x 无最值,故②不正确; 对于③,因为x D ∀∈,()g x M ≤,所以总存在0x D ∈,使得()()00f x g x +趋近于无穷大,即
()()f x g x B +∉,故③正确;
对于④,令2()1x g x x =+,则()()()
222
2222121'11x x x g x x x +--==++()()()22111x x x +-=+,令()'0g x >,解得11x -<<,故()g x 在()1,1-上单调递增,且()112g =
,()1
12
g -=-,又()g x 在()1,+∞上单调递减,1x >时,()0g x >,
又()g x 为奇函数,故()1
2
g x ≤.而()ln(2)h x a x =+,当2x >-时,若0a ≠,则()h x A ∈由③知,
()()h x g x B +∉,即()f x 无最大值, 所以0a =时,()f x 有最大值,此时()2()1
x
f x
g x B x ==∈+,故
④正确.综上:真命题的有①③④.
三、解答题:本大题共6题,共75分.
(16)【2014年四川卷,文16,12分】一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的
数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a ,b ,c . (1)求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率;
(2)求“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同"的概率. 解:(1)由题意知,(),,a b c 所有可能的结果为()1,1,1,()1,1,2,()1,1,3,()1,2,1,()1,2,2,()1,2,3,()1,3,1,()1,3,2,
()1,3,3,()2,1,1,()2,1,2,()2,1,3,()2,2,1,()2,2,2,()2,2,3,()2,3,1,()2,3,2,()2,3,3,()3,1,1,
()3,1,2,()3,1,3,()3,2,1,()3,2,2,()3,2,3,()3,3,1,()3,3,2,()3,3,3,共27种.设“抽取的卡片上的数
字满足a b c +=”为事件A ,则事件A 包括()1,1,2,()1,2,3,()2,1,3,共3种.所以()31
279
P A =
=.因此,“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为1
9
.
(2)设“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同"为事件B ,则事件B 包括()1,1,1,()2,2,2,()3,3,3,共
3种.所以()()
3811279P B P B =-=-
=.因此“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同"的概率为8
9
.
(17)【2014年四川卷,文17,12分】已知函数()sin(3)4
f x x π
=+.
(1)求()f x 的单调递增区间;
(2)若α是第二象限角,4()cos()cos2354
f απ
αα=+,求cos sin αα-的值.
解:(1)因为函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
,k ∈Z .由πππ2π32π242k x k -+++,k ∈Z ,
得π2ππ2π43123k k x -++,k ∈Z .所以函数()f x 的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤
-++⎢⎥⎣⎦
,k ∈Z . (2)由已知,有()22π4πsin cos cos sin 454αααα⎛⎫⎛
⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
所以()22ππ4ππsin cos cos sin cos cos sin sin cos sin 44544αααααα⎛⎫
+=-- ⎪⎝⎭,
即()()2
ππ4sin cos cos sin cos sin sin cos 445
αααααα+=-+.
当sin cos 0αα+=时,由α是第二象限角,知3
π
2π4
k α=+,k ∈Z .此时cos sin αα-=
当sin cos 0αα+≠时,有()2
5cos sin 4
αα-=.由α
是第二象限角,知cos sin 0αα-<,
此时cos sin αα-=
.综上所述,cos sin αα-=
(18)【2014年四川卷,文18,12分】在如图所示的多面体中,四边形11ABB A 和11ACC A 都为矩形. (1)若AC BC ⊥,证明:直线BC ⊥平面11ACC A ;
(2)设D ,E 分别是线段BC ,1CC 的中点,在线段AB 上是否存在一点M ,使直线//DE
平面1A MC ?请证明你的结论.
解:(1)因为四边形11ABB A 和11ACC A 都是矩形,所以1AA AB ⊥,1AA AC ⊥.因为AB ,AC 为平
面ABC 内两
1
A 1
条相交直线,所以1AA ⊥平面ABC .因为直线BC ⊂平面ABC ,所以1AA BC ⊥.又AC BC ⊥,1AA ,
AC 为平面11ACC A 内两条相交直线,所以BC ⊥平面11ACC A .
(2)取线段AB 的中点M ,连接1A M ,MC ,1A C ,1AC ,设O 为1A C ,1AC 的交点.
由已知可知O 为1AC 的中点.连接MD ,OE ,则MD ,OE 分别为ABC ∆,1ACC ∆的中
位线,所以=1//2MD AC ,=1
//2
OE AC ,因此=//MD OE .连接OM ,从而四边形MDEO 为
平行四边形,则//DE MO .因为直线DE ⊄平面1A MC ,所以直线//DE 平面1A MC ,
即线段AB 上存在一点M (线段AB 的中点),使直线//DE 平面1A MC .
(19)【2014年四川卷,文19,12分】设等差数列{}n a 的公差为d ,点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上(n N *∈).
(1)证明:数列{}n b 为等差数列;
(2)若11a =,函数()f x 的图象在点22(,)a b 处的切线在x 轴上的截距为12ln 2
-
,求数列2
{}n n
a b 的前n 项和 n S .
解:(1)证明:由已知可知,20n
a n
b =>,当1n 时,
11
22n n
a a d n n
b b +-+==,所以数列{}n b 是首项为1
2a ,公比为2d
等比数列.
(2)函数()2x f x =在()22,a b 处的切线方程为()()2
2
222ln 2a a y x a -=-,它在x 轴上的截距为21ln 2
a -
. 由题意知,211
2ln 2ln 2
a -
=-
,解得22a =.所以211d a a =-=,n a n =,2n n b =,24n n n a b n =⋅. 于是,()231142434144n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯,()23141424144n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+⨯,
因此()112
1
1
13444444444439n n n
n n n n n T T n n ++++-+--=+++-⨯=-⨯=
.所以()113449n n n T +-+=. (20)【2014年四川卷,文20,13分】已知椭圆C :22221x y a b
+=(0a b >>)的左焦点为(2,0)F -,离心率为6
3.
(1)求椭圆C 的标准方程;
(2)设O 为坐标原点,T 为直线3x =-上一点,过F 作TF 的垂线交椭圆于P ,Q .当四边形OPTQ 是平
行四边形时,求四边形OPTQ 的面积.
解:(1)因为(2,0)F -,所以2c =,又63e =,所以6a =,222
2b a c =-=,即椭圆C 的方程为22162
x y +=.
(2)如图所示,由题意可设直线PQ 的方程为2x my =-.当0m =时,2x =-,此
时()3,0T -,P ,Q 关于点F 对称,但DF TF ≠,故四边形OPTQ 不是平行四 边 形,与题意不符,故0m ≠.直线TF :()2y m x =-+,令3x =-,得y m =, 即()3,T m -,连接OT ,设OT
PQ E =,则3,22m E ⎛⎫
- ⎪⎝⎭,联立方程22216
2x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪
⎩,
消去x 整理得()2
2236my y -+=,即()223420m y my +--=,显然()2216830m m ∆=++>, 令()11,P x y ,()22,Q x y .则12243m y y m +=+,12223y y m -=+,则122
2232
E y y m m
y m +===+,解得21m =. 此时()
()2
2
1212PQ x x y y =
-+-()
2
2
121214m y y y y =++-2126=+=,112TF =+=.
所以四边形OPTQ 的面积1
262232
S PQ TF =⨯⨯⨯=⨯=.
(21)【2014年四川卷,文21,14分】已知函数2()1x f x e ax bx =---,其中,a b R ∈, 2.71828e =⋅⋅⋅ 为自然对
数的底数.
(1)设()g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[0,1]上的最小值;
(2)若(1)0f =,函数()f x 在区间(0,1)内有零点,证明:21e a -<<.
解:(1)()2e 1x f x ax bx =---,()()e 2x g x f x ax b '==--.
()e 2x
g x a '=-.当[]0,1x ∈时,()[]12,e 2g x a a '∈--.
当12a 时,()0g x ',所以()g x 在[]0,1上单调递增.因此()g x 在[]0,1上的最小值是()01g b =-;
当e 2a 时,()0g x ',所以()g x 在[]0,1上单调递减.因此()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g a b =--;
当1e
22
a <<时,令()0g x '=,得()()ln 20,1x a =∈.所以函数()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减, 在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增.于是,()g x 在[]0,1上的最小值是()()()ln 222ln 2g a a a a
b =--.
综上所述,当12a
时,()g x 在[]0,1上的最小值是()01g b =-;当1e
22
a <<时,()g x 在[]0,1上的最小 值是()()()ln 222ln 2g a a a a
b =--;当e
2
a 时,()g x 在[]0,1上的最小值是()1e 2g a
b =--.
(2)设0x 为()f x 在区间()0,1内的一个零点,则由()()000f f x ==可知,()f x 在区间()00,x 上不可能单调
递增,也不可能单调递减.则()g x 不可能恒为正,也不可能恒为负.故()g x 在区间()00,x 内存在零点
1x .同理()g x 在()0,1x 区间内存在零点2x .所以()g x 在区间()0,1内至少有两个零点.
由(1)知,当1
2
a
时,()g x 在[]0,1上单调递增,故()g x 在()0,1内至多有一个零点. 当e 2a 时,()g x 在[]0,1上单调递减,故()g x 在()0,1内至多有一个零点.所以1e 22a <<.
此时()g x 在区间()0,ln 2a ⎡⎤⎣⎦上单调递减,在区间()(ln 2,1a ⎤⎦上单调递增.
因此()(10,ln 2x a ∈⎤⎦,()()2ln 2,1x a ∈,必有()010g b =->,()1e 20g a b =-->.
由()10f =,有e 12a b +=-<,有()01e 20g b a =-=-+>,()1e 210g a b a =--=->,得e 21a -<<. 所以函数()f x 在区间()0,1内有零点时,e 21a -<<.。